- •Глава 6
- •6.1. Общие понятия
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •6.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.4. Однородные уравнения первого порядка
- •6.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •6.6. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Глава 7
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды
Задачи для самостоятельного решения
№ |
Задания |
Ответы |
1 |
| |
2 |
| |
3 |
2. Найти решения задач Коши |
|
4 |
| |
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
6.4. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение вида (6.14) называется однородным уравнением первого порядка, если функция представляется в виде функции, зависящей только от величины:
=.
Таким образом, однородное уравнение первого порядка имеет вид
. |
(6.27) |
Для решения уравнения (6.26) используется подстановка , где- новая искомая функция. Производнаянаходится по формуле нахождения производной произведения, кроме этого. В результате подстановки последних выражений уравнение (6.27) преобразуется к виду
. |
(6.28) |
После переноса в правую часть уравнение (9.28) превращается в уравнение с разделяющимися переменными
. |
(6.29) |
Разделение переменных приводит уравнение (6.29) к виду
. |
(6.30) |
В результате интегрирования (6.30)
получаем
. |
(9.31) |
Здесь постоянная интегрирования представлена в виде для удобства записи окончательного ответа.
Дальнейший ход решения заключается в вычислении интеграла при известной функции.
Пример 6.7.
Найти общее решение уравнения .
Решение
,
, ,,
, ,,
, ,
, ,,
,
Ответ:
, где – произвольная постоянная.
6.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
. |
(6.32) |
где и – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение уравнения (6.32) будем искать в виде произведения
(6.33) |
двух неизвестных функций и . Подстановка (6.33) в (6.32) дает . После преобразований получаем
. |
(6.34) |
Выражение в круглых скобках в уравнении (6.34) приравняем
нулю:
, |
(6.35) |
тогда из уравнения (6.34) и условия (6.35) следует равенство
. |
(6.36) |
Из уравнения (6.35), которое представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, можно найти функцию . Далее найденную функциюподставим в уравнение (6.36) и будем решать его относительно второй неизвестной функции.
Разделяя переменные в уравнении (6.35) и интегрируя, последовательно получаем: ,,откуда
. |
(6.37) |
Подстановка функции из (6.37) в уравнение (6.36) дает
, откуда . Интегрируя последнее равенство, находим вторую неизвестную функцию
. |
(6.38) |
Возвращаясь к подстановке (6.33), находим общее решение уравнения (6.32) в виде
. |
(6.39) |
Полученное соотношение (6.39) можно рассматривать как формулу, дающую общее решение уравнения (6.32) при заданных функциях и.
Пример 6.8
Найти общее решение уравнения .
Решение
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка (6.32), в котором ,. Подставляя эти выражения дляив формулу (6.39) и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
==
= .
Таким образом, – общее решение исходного уравнения.
Пример 6.9 (Закон перехода вещества в раствор.)
Рассмотрим процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при фиксированной температуре количество вещества, содержащееся в определенном объеме растворителя, не может превзойти некоторого, определенного для каждого вещества числа , соответствующего насыщенному раствору. Известно также, что по мере приближения к насыщенному раствору уменьшается количество вещества, переходящего в раствор за единицу времени. Иными словами, чем больше вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода.
Решение
Пусть — количество вещества, перешедшего в раствор к моменту времени . Тогда — скорость перехода, и в соответствии со сказанным можно написать:
,
где стремится к нулю при, . Эксперименты показывают, что для многих веществ функция пропорциональна разности, т.е. , и, следовательно,
, где > 0 – коэффициент пропорциональности.
Далее преобразуем последнее уравнение к виду .
Это – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Согласно формуле (6.39) имеем:
Пусть - момент времени, с которого начался процесс перехода вещества в раствор. Очевидно, . Поэтому , откуда , и, значит,
. |
(6.40) |
Значения и определяются характером растворенного вещества и растворителя. Из (6.40) видно, что при любых и величина стремится к , если . Вид функции хорошо согласуется с экспериментальными данными. Поэтому формулу (6.40) можно рассматривать как закон перехода вещества в раствор.
Пример 6.10
Конденсатор емкостью включается в цепь с напряжением и сопротивлением . Определить заряд конденсатора в момент после включения.
Решение. Сила электрического тока представляет производную от количества электричества , прошедшего через проводник, по времени
В момент заряд конденсатора и сила тока ; в цепи действует электродвижущая сила Е, равная разности между напряжением цепи и напряжением конденсатора , т. е.
Согласно закону Ома
Поэтому
Отсюда:
Теперь согласно формуле (6.39) имеем:
.
По условию при и потому и.
Таким образом, в момент времени
.