Примеры решения задач

Пример 22

От двух когерентных источников S₁ и S₂ ( = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33),интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщинеd_min пленки это возможно?

Дано Решение

 = 0,8 мкмИзменение интерференционной картины на про-

n= 1,33тивоположную означает, что на тех участках, где на-

d_min = ? блюдались интерференционные максимумы, стали

наблюдаться интерференционные минимумы.

Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половин длин волн, т.е.

(1)

где ₁– оптическая разность хода лучей до внесения пленки;₂– оптическая разность хода тех же лучей после внесения пленки.

Наименьшей толщине d_minпленки соответствуетk= 0. При этом формула (1) примет вид:

(2)

Выразим оптические разности хода ₁и₂

₁=l₁ – l₂,

Подставим выражения ₁ и₂в формулу (2):

или

d_min(n - 1) = /2.

Отсюда

Подставив числовые значения, найдем

Проверка размерности: .

Пример 23

На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падет параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны  = 0,6 мкм. Числоmвозникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на1 см, равно 10. Определить угол клина.

Дано: Решение

d_k+m-d_k

 = 0,6 мкм.¹

m =10 ²

l = 1^.10^-2 м  d_k

 = ? _{k k+1 k+9 k+m}

Рис.22

Лучи, падая нормально к грани клина, отражаются как от верхней, так и от нижней грани. Эти лучи когерентны. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные лучи 1 и 2 (рис.22) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половины длин волн:

(1)

Разность хода двух лучей складывается из разности оптических длин путей2dcosi₂ этих лучей и половины длины волны/2.Величина/2представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении лучаI от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода лучей, получим

2d_k n cosi₂+/2 =(2k+1)/2,(2)

где n– показатель преломления стекла (n = 1,5); d_k– толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеруk;i₂– угол преломления.

Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления i₂равен нулю, аcosi₂ = 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим

2d_k n = k. (3)

Пусть произвольной темной полосе k– го номера соответствует толщинаd_kклина, а темной полосе (k+m)-го номера – толщинаd_k+mклина. Тогда на рис.22, учитывая, чтоmполос укладывается на расстоянииl, найдем

. (4)

Выразим из (3) d_k т d_k+mи подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что из-за малости угла sin  , получим

.

Подставляя числовые значения физических величин, найдем

.

Выразим в градусах. Для этого можно воспользоваться соотношением между радианом и секундой:1 рад = 20656 2,06^. 10⁵ , т.е.  = 2^.10^-4.2,06^.10⁵ = 41,2

Проверка размерности: .

Пример 24

На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного(₁ = 0,7 мкм)и в случае фиолетового (₂ = 0,41 мкм)света?

Дано: Решение

d = 2 мкм На основании известной формулы дифрак-

₁ = 0,7 мкм ционной решетки напишем выражение порядка

₂ = 0,41 мкм дифракционного максимума

m= ?

(1)

где d – период решетки;  - угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке; -длина волны монохроматического света. Так как sin не может быть большеI, то, как это следует из формулы (1), числоmне может быть большеd/ , т.е.

m  d/. (2)

Подставив в формулу (2) числовые значения, получим:

для красных лучей m  2/0,7 = 2,86;

для фиолетовых лучей m 2/0,41 = 4,88.

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света m_max = 2 и для фиолетового m_max = 4.

Проверка размерности:

.

Пример 25

Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол  = 97⁰с падающим лучом (рис.23). Определить показатель преломленияn₁ ;жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Дано: Решение

n₁ i₁

 = 97⁰

n₂ = 1,5 

n₁ = ?

i₂

Рис.23

Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления: tg i₁ = n_2I,, где n_2I - показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, tg i₁= n₂,/ n₁.

Так как угол падения равен углу отражения, то i_I = /2, и, следовательно, tg/2 = n₂/n₁, откуда

.

Подставив числовые значения, получим

Пример 26

Две призмы Николя N₁ и N₂расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет = 60⁰. Определить, во сколько раз уменьшиться интенсивностьI₀естественного света: 1) при прохождении через одну призму НиколяN₁; 2) при прохождении через обе призмы. Коэффициент поглощения света в призме Николяk= 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Дано Решение

= 60^{0 Естественный луч света} _А

k = 0,05 _{е 0 е}

I₀ /I₁ = ? _{0 В}

^N₁ ^N₂

Рис.24

1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя (рис.24), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскости главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч овследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный лучеепроходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через призму,

Относительное уменьшение интенcивности света получим, разделив интенсивность I₀ естественного света, падающего на первый николь, на интенсивностьI₁ поляризованного света:

(1)

Подставив в (1) числовые значения, найдем:

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1раза.

2. Плоскополяризованный луч света интенсивностью I₁падает на второй никольN₂и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного лучаI₂, вышедшего из призмыN₂, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

I₂ = I₁cos²,

где - угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николяN₂.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим:

I₂ = I₁(1-k)cos²..

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I₀естественного света на интенсивностьI₂ света , прошедшего систему из двух николей:

Заменяя отношение I₀/I₁его выражением по формуле (1), получим:

Подставляя данные, произведем вычисления:

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86раза.

Пример 27

Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластину, интенсивность I луча cвета после поляроида стала равной половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом можно пренебречь, постоянную вращениякварца принять равной48,9 град/мм.

Дано: Решение

 = 48,9 град/ммп

I₀ = 2I  

ℓ= ? ^{1 1}

п

Рис.25

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рис.25) перпендикулярна плоскости колебаний (1-1) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

  l,(1)

где l– толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол , который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (П-П) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса:I = I₀cos²..

Заметив, что .=, можно написать

I = I₀cos²(/2 - ),

или

I = I₀sin². (2)

Из равенства (2) с учетом (1) получим:

,

откуда искомая толщина пластины

Подставим числовые значения и произведем вычисления (во внесистемных единицах).

.

Проверка размерности:

 ℓ  =

Пример 28

Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела ₀= 0,58 мкм.Определить энергетическую светимость (излучательность)R_eповерхности тела.

Дано: Решение

₀= 0,58 мкм Энергетическая светимостьR_e абсолютно черного

R_e.= ? тела в соответствии с законом Стефана - Больцмана

пропорциональна четвертой степени абсолютной

температуры и выражается формулой:

R_e = T⁴(1)

где  - постоянная Стефана-Больцмана;Т– термодинамическая температура.

Температуру Тможно вычислить с помощью закона Вина:

₀ = b/T,(2)

где b – постоянная смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получим:

(3)

Выпишем числовые значения величин, входящих в эту формулу:  = 5,65^.10^-8 Вт/(м^2.К⁴); b = 2,90^.10^-3м^.К; ₀=5,8^.10^-7 м, и подставив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:

Проверка размерности:

Пример 29

Пучок параллельных лучей монохроматического света с длиной волны  = 663 нмпадает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излученияФ_е = 0,6 Вт. Определить: 1) силу давленияF, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов n₁ ежесекундно падающих на поверхность.

Дано: Решение

 = 663 нм 1. Сила светового давления на поверхность равна

Ф_е = 0,6 Вт произведению светового давлениярна площадьS

t= 1 cповерхности:

F, n₁ = ? F = pS (1)

Световое давление может быть найдено по формуле:

(2)

где Е_е– энергетическая светимость (облученность);с– скорость света в вакууме;- коэффициент отражения.

Подставляя выражение давления света из (1) в формулу (2), получим

(3)

Энергетическая светимость Е_еесть величина, численно равная энергии, падающей на единичную площадку в единицу времени. ПроизведениеЕ_е и Sесть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадкуSв единицу времени, т.е. поток излученияФ^е – Е_еS. С учетом этого формула примет вид:

. (4)

Величины, входящие в формулу (4), выпишем в единицах СИ: Ф_е = 0,6 Вт, с = 3^.10⁸ м/с, = 1 (поверхность зеркальная). После подстановки этих величин в формулу (4) получим:

.

Проверка размерности:

.

2. Произведение энергии одного фотона на число фотонов n₁, падающих на поверхность в единицу времени, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения:Ф_е =  n₁, а так как энергия фотона = hc/, то

откуда

(5)

Выпишем величины, входящие в формулу (5), в единицах СИ: Ф_е = 0,6 Вт;  = 636^.10^-7 м; h = 6,63^.10^-34 Дж; с = 3^.10⁸ м/с.Подставим полученные значения в расчетную формулу и произведем вычисления:

Проверка размерности:

.

Пример 30

Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость R_эабсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал длин волн=10 ангстрем, соответствующий максимуму энергетической светимости при температуре телаТ = 3^.10³ К.

Дано Решение

 = 10^-9 м Физическую систему составляет абсолютно чер-

Т = 3^.10³ К. ное тело. Энергетическая светимостьdR_э, приходя-

R₃ щаяся на интервал длин волн отдо + d, связа-

на с распределением энергии излучения по длинам

волн r_Тсоотношением

dR_э =r_Тd. (1)

Для нахождения r_Твоспользуемся формулой Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного телаr_,T:

(2)

где  - частота излучения =1,054^.10^-23 Дж^.К– постоянная Больцмана;с = 3^.10⁸ м/с –скорость света в вакууме.

Найдем связь между интервалом частот d.Длина волны с частотой связана соотношением:

(3)

Дифференцируя выражение (3), получим:

(4)

Энергетическая светимость, приходящаяся на интервал длин волн d, равна с противоположным знаком энергетической светимости, приходящейся на интервал частотd., т.е.

. (5)

Подставляя выражение (4) в формулу (5), получаем

откуда следует

(6)

С учетом формул (1) – (3) и формулы (6) окончательно получаем

(7)

Поскольку речь идет о конечном и достаточно узком интервале длин волн, то

R_э = r_o, (8)

где r_ - максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре.

Для определения длины волны ₀, на которую приходится максимумr_о, воспользуемся законом смещения Вина

₀ = b/T (9)

где b = 2,90^.10^-3 м^.К – постоянная Вина,Т– температура тела.

Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (8), получаем, что энергетическая светимость R_эабсолютно черного тела, приходящаяся на интервал длин волн, соответствующий максимуму энергетической светимости при данной температуре,

(10)

Подставляя в формулу (10) значения величин, получаем:

R_э= 3,2^.10³Вт/м².

Проверка размерности:

Пример 31

Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны   5000 ангстрем. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии, излучаемой Солнцем; 3) массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за одну секунду.

Дано: Решение

5^.10^-7 м 1. Энергетическая светимостьR_эабсолютно черного

Ф,R_э, m = ?тела выражается формулой Стефана-Больцмана:

R_э = Т⁴ (1)

где  - постоянная Стефана-Больцмана;Т– абсолютная температура излучающей поверхности.

Температура может быть определена из закона смещения Вина:

₀ = b/T

где ₀ - длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела;b– постоянная Вина.

Выразив из закона смещения Вина температуру Ти подставив ее в формулу (1), получим:

(2)

Подставив числовые значения в выражение (2) и произведя вычисления, получим:

Проверка размерности:

2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадьSего поверхности:

Ф = R_eS,

или

Ф = 4r²R_e,, (3)

где r– радиус Солнца.

Подставив числовые значения в формулу (3), найдем:

Ф = 4^.3,14^.(7^.10⁸)^2.6,4^.10⁷ Вт = 3,910²⁶ Вт.

Проверка размерности:

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 сопределим, применив закон пропорциональности массы и энергии:

Е = mc²

Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии (мощности излучения) на время

Е = Фt.

Следовательно, Фt= mc², откудаm = Фt/c².

Сделав подстановку числовых значений величин, найдем:

Проверка размерности:

.

Пример 32

Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью  = 0,5^.10^-3 с энергиюW = 1 Джв виде почти параллельного пучка с площадью сеченияS =0,8 см².Длина волны = 0,694 мкм.Определить плотность потока фотонов в пучке и давление света на площадку, расположенную перпендикулярно пучку. Коэффициент отражения = 0,6,(расчет давления произвести с помощью корпускулярных представлений).

Дано: Решение

 = 0,5^.10^-3 с Общее число фотонов, излучаемых лазером

W = 1 Дж

S =0,8 см² (1)

 = 0,694 мкм Если мощность лазера постоянна в течение времени

= 0,6 излучения и постоянна по площади поперечного се-

j,_c = ? чения пучка, то плотность потока фотонов можно запи-

сать в виде

(2)

Подставляя выражение (1) в (2), получаем

Проверка размерности:

Изменение импульса одного фотона в результате удара

_у = -2_у, _у = -_у. (3)

Число отразившихся фотонов:

N= N. (4)

Если за некоторый промежуток времени tо площадку ударитсяNфотонов, причемN из них отразится, то суммарное изменение импульса всех ударившихся о площадку фотонов

(5)

Чтобы определить давление света, Подставим выражения (3) и (4) в (5):

Тогда сила, действующая на площадку ,

(6)

Как видно из выражения (6), сила сонаправлена вектору импульса фотонов в падающем пучке и, следовательно, перпендикулярна площадке:

р_с = р_уN(1+)/t.

Так как плотность jпотока фотонов не изменяется со временем и вдоль сечения светового пучка, то очевидно, чтоN)/ t= j, откуда получаем

Р_с = hj(1+)/ = 0,13 Па

Проверка размерности:

.

Пример 33

Определить мощность, необходимую для того, чтобы поддерживать температуру расплавленной платины 1773⁰ С неизменной, если площадь ее поверхности1,0 см².Считать платину абсолютно черным телом и потери энергии не учитывать. Чему равна длина волны в спектре излучения платины, на которую приходится максимальная энергия?

Дано: Решение

Т = 1773⁰ С Искомую мощностьРможно определить

S =10^-4 м²из соотношенияЕ = Рt, где Е– энергия,

 = 5,67^.10^-8 Вт/(м^2.К⁴) уносимая излучением с поверхности

b = 0,0029 м^.Кпластины за времяt, т.е.Е= ISt. Суммар-

Р, = ? ная интенсивность излучения пластины

определяется законом Стефана-Больцмана

I = T⁴ (1)

Поскольку Р = Е/t, имеемР = IS/t = IS.

Заменяем Iего значением, найденным из закона Стефана-Больцмана, получим

Р = Т⁴S = 5,67^.10^-8 Вт/(м^2.К⁴)^.10^-4 м² = 99,4 Вт.

Проверка размерности: .

Длину волны ₀, на которую в спектре приходится максимум энергии, можно найти из закона Вина:₀Т = b.

Проверка размерности: