Приклад №3

На площині проведено n кіл так, що кожні два з них перетинаються і жодні три не мають спільної точки. Довести, що вони ділять площину на n²-n+2 частин.

Доведення.

1)При n=1 коло ділить площину на дві частини та n²-n+2=1-2+2=2. Отже, при n=1 твердження істинне.

2) Нехай k кіл ділять площину на k²-k+2 частини. Доведемо, що (k+1) коло ділить площину на (k+1)²-(k+1)+2 частини.

(k+1)-ше коло має 2k спільних точок з іншими k колами (з кожним колом по дві спільні точки). Ці 2k точок розбивають (k+1)-ше коло на 2k дуг. Кожна з цих дуг ділить на дві частини одну з 2k частин площини, на які вона була розбита k колами. Отже, число частин збільшилось на 2k і дорівнює k²-k+2+2k=

=k²+2k+1-(k+1)+2=(k+1)²-(k-1)+2. Значить твердження істинне і при n=k+1.

За припущенням математичної індукції воно істинне і при будь-якому натуральному n.

Висновок

Сучасність змушує людину займатися пошуком і вирішенням різноманітних виробничих, наукових і побутових проблем. Від того, наскільки вона володіє методами їх розв’язування, залежить її місце в суспільстві. Особливу роль серед них відіграють математичні методи доведення і розв’язування задач.

За своїм первинним змістом слово “індукція” застосовується до міркувань, за допомогою яких одержують загальні висновки, зроблені на основі спостережень і досвіду, тобто одержані шляхом розгляду частинних випадків і узагальнення закономірностей на загальний випадок. Слово “індукція” означає “наведення”. В наукових дослідженнях (особливо в експериментальних науках) використовується індуктивне мислення. Індукція широко застосовується у природничих науках. Так, багато фізичних законів (наприклад, закон Ома, закон Джоуля-Ленца, закон Кулона, тощо) були сформульовані саме на основі узагальнення ряду окремих спостережень.

Cписок літератури

1. Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики. Вища шкла”, К., 1976, стор 201, 202, 173.

2. А.В.Шевченко Математична індукція. Київ, 1996.

3. Г.И.Глейзер История математики в школе IX – X классы стр 53.

4. В.А.Кречмар Задачник по алгибре , М., 1968 стр. 92, 335.

5. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин, А.Г.Мордкович “Математика” Минск, 1996, стр 471.

6. И.А.Галицкий, А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре”. М,1995, стр 8.

7. И.А.Кушнир “Математика для поступающих в вузы”. Киев, 1996, стр 409.

8. И.А.Кушнир “Математическая энциклопедия”, К., 1995, стр389.

9. И.А.Кушнир “Шедевры школьной математики”, кн.1, стр 471, 476.

10. И.А.Кушнир “Неравенства”, стр 345.

11. Т.В.Коваль “400 задач з математичних олімпіад”. Тернопіль, 1998.

12. А.Д.Кутасов, Т.С.Пиголкина, В,И,Чехлов, Т.Х.Яковлева “Пособие по математике для поступающих в вузы ”, М., стр 331