Контрольные вопросы к 5 разделу.

1. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?

2. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения?

3. Какова размерность статического момента сечения?

4. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?

5. Как определяются координаты центра тяжести простых и сложных сечений?

6. Что называется осевым моментом инерции поперечного сечения. Какова размерность моментов инерции сечения?

7. Что такое главные и что такое главные центральные моменты инерции?

8. Какие оси называются главными осями инерции?

9. Какие оси называются главными центральными осями инерции?

10. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?

11. В каких случаях можно без вычисления установить положение главных осей

12. С учетом каких соображений производится разбивка с ложного сечения на простые части при определении моментов инерции?

13. В какой последовательности определяются значения главных центральных моментов инерции сложного сечения?

Раздел 6. Кручение стержней круглого сечения

6.1. Общие сведения

Кручение — это такой вид деформации стержня (бруса), при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор — крутящий момент, обозначаемый М_кДеформация кручения возникает при нагружении бруса внешними парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначатьМ. Если скручивающих моментов, приложенных к стержню будет несколько, то будем их обозначать соответственно какМ₁,М₂и т. д. На рис. 6.1,а изображен стержень, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. Это условное изображение моментов применено взамен пары сил.

Рис. 6.1. Схема скручивания стержня моментом М

На рис. 6.1,б изображен тот же брус в иной проекции. На этом рисунке дан еще один способ условного изображения внешних моментов, часто применяемый в технической литературе; момент представлен в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестом — силу, направленную от наблюдателя.

Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т. е. брус находится в равновесии. Стержень, работающий на кручение, называется валом. Будем рассматривать валы, имеющие круглое сплошное или полое сечение.

Для определения внутреннего силового фактора - крутящего момента М_кв произвольном сечении с абсциссойх (рис.6.1,а) воспользуемся методом сечений, подробно рассмотренный в разделе растяжение-сжатие. Крутящий момент, возникающий в произвольном сечении вала, численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на вал справа или слева от рассматриваемого сечения.

Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности при построении эпюр условимся о следующем правиле знаков. Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на сечение, он представляется направленным по часовой стрелке (рис. 6.2). Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки.

Рис. 6.2. Правила знаков для крутящего момента М_к

Для вращающихся валов величина крутящего момента зависит от передаваемой им мощности. Если мощность Wзадана вкВт, а скорость вращения валаn— числом оборотов в минуту, то крутящий момент определяется так:

. (6.1)

Если мощность Nвыражается в лошадиных силах, тогда

. (6.2)

При кручении стержня в его поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см. рис. 6.3), определяемые по формуле

, (6.3)

где - касательные напряжения в равноудаленных от центра точках поперечного сечения вала на расстояние;

- полярный момент инерции сечения.

Наибольшее значение касательные напряжения достигают на поверхности вала, т.е. при

. (6.6)

Учитывая, что величина (называется полярным моментом сопротивления, размерность см³) формулу (6.6) запишем в виде

. (6.5)

Рис. 6.3. Распределение касательных напряжений в сплошном (а) и полом (трубчатом) сечении вала

Полярный момент сопротивления зависит от размеров и типа сечения вала. Для сплошного сечения (рис. 6.3,а)

, (6.6)

для кольцевого сечения (полый вал)

. (6.7)

Если крутящий момент по длине стержня постоянного сечения не изменяется, то взаимный поворот двух поперечных сечений (в радианах), отстоящих друг от друга на расстоянии l, будет определяться по зависимости

, [радиан] (6.8)

где G– модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Для получения угла закручивания в градусах воспользуемся общеизвестной формулой

, [град]. (6.9)

Если крутящий момент изменяется по длине вала скачкообразно или вал имеет ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых сечений вала определяется суммированием углов закручивания по участкам, на которых ипостоянны:

. (6.10)

Часто при расчете валов на жесткость используется погонная (на единицу длины) или относительная величина угла закручивания

[рад/м].