2. Теоретический анализ

Получим аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил. Для этого запишем систему уравнений для аксиальной компоненты скорости в цилиндрической системе координатах:

,

,

.

Пользуясь тем, что параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений (1.13), а так же уравнением состояния газа (1.16), запишем соотношение .

Подставляя его в первое уравнение системы и решая систему относительно , получим уравнение:

.

Перепишем это уравнение, предполагая что ,

а :

. (2.10)

Решение уравнения (2.10) будет состоять из общего однородного и частного неоднородного:

.

Решая общее однородное уравнение

,

получим:

.

Решая частное неоднородное уравнение

получим:

.

Их сумма запишется как:

Усредняя, получаем:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, окончательно получим:

,

где - нормировочная постоянная.

Так как вторая вязкость не внесёт значительного вклада, а теплопроводность на этом этапе не учитывается, перепишем формулу (1.24) без второй вязкости и теплопроводности:

Запишем коэффициент поглощения звуковых волн в единицу времени:

Принимая во внимание то, что k=ω/cи перейдя к единым обозначениям получим выражение для распределения энергии:

где ,, а– нормировочная постоянная,

которое принимает вид резонансной кривой.

Теперь перейдем к выводу коэффициента затухания звука в центробежном поле сил. Для этого запишем общий вид коэффициента затухания звука в трубе без вращения [10]:

,

где .

Для коэффициента затухания звука во вращающейся системе:

,

где ,.

Домножив числитель и знаменатель выражения для коэффициента затухания звука во вращающейся системе на :

,

Откуда сразу имеем:. После подстановкии, и преобразований, получаем следующее выражение для коэффициента затухания звуковых волн в центробежном поле сил:

. (2.11)

Коэффициентимеет размерность [1/c] и характеризует затухание звуковой волны, бегущей вдоль оси вращающейся центрифуги, в единицу времени. Энергия такой волны будет убывать с течением времени по закону

, а амплитуда.

3. Описание программы

Структура программы довольно проста. Первым делом производится расчет давления и плотности газа в роторе с помощью распределений (2.6) и (2.7), после чего решается система однородных дифференциальных уравнений (2.1)-(2.5), которая после линеаризации [14] принимает вид:

,

,

,

,

,

,

.

с граничными условиями (2.8) или (2.9).Далее по формуле:,где считается суммарная энергия волны.По полученным значениям строится график зависимости энергии волны от ее частоты. Рис. 7.

Рис.7. Пример расчетного графика зависимости энергии волны от её частоты

Предполагая вид кривой, полученный в прошлой главе:

,

где aиb– искомые параметры,

проводится аппроксимация полученных значений к данному виду, и наконец зная численное значение , находится значение коэффициента затухания из формулы.

Все вышеизложенные вычисления проводятся с заранее заданными шагом по частоте и параметрами, приведенными в таблице2.1.

Таблица 2.1. Расчетные параметры центрифуги

Параметр	Значение
M	352 грамммоль-1
rвнеш	0,065 м
rвнут	0,0001 м
Ω	2π 1700 с-1
T0	300 K
P	10665 Па
K	2π 10 - 2π 200 м-1
cp	385 Дж кг-1 К-1
μ	1,83 10-5 Па с
J	2π 868 – 2π17376с-1
Λ	0,0061 Втм-1 К-1
R	8,314462 м2 кг с-2 К-1 Моль-1
G	1,067

где M– молярная масса гексофторида урана (UF₆),r_внеш –внешняя граница расчетов, r_внут – внутренняя граница расчетов, Ω – круговая частота вращения ротора, T₀ – температура на внешней границе, p – давление на внешней границе, k – волновое число задаваемых возмущений,  c_p – удельная теплоемкость гексофторида уранаUF₆при постоянном давлении,μ –динамическая вязкость гексофторида уранаUF₆, j – частота задаваемых возмущений,  λ – теплопроводность гексофторида уранаUF₆,R – универсальная газовая постоянная, g – показатель адиабаты.