Тема 2. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной

Производные высших порядков

2.1. Найти производные 2-го порядка от функций:

1) y = e^x cosx; 2) y = x²e^x ; 3) y = ln(2x+5); 4) y = x lnx.

2.2. Найти производные n-го порядка от функций:

1) y = ; 2) y = e^2x; 3) y = 5^x; 4) y = ln(1+x).

Понятие дифференциала

2.3. Найти дифференциалы функций:

1) y = x³ – 3ln x; 2) y = ; 3) y = sin 3x; 4) y = tg ln x.;

5) y = x² arctg x; 6) y = ; 7) y = ; 8) y = .

2.4. Найти приближенно приращение у:

1) функции у = , если х = 4,х = 0,08;

2) функции у = sinx, если х = ,х = 0,02.

Дифференциал второго порядка

2.5. Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:

1) y = x³ – 3x² + x + 1; 2) y = (0,1x+1)⁵;

3) y = xcos2x; 4) y = sin²x.

Вычисление пределов с помощью производных (правило Лопиталя)

2.6. Найти пределы с помощью правила Лопиталя:

1) ; 2); 3); 4);

5); 6); 8); 9)

Тема 3. Частные производные и дифференциалы функции двух переменных

Частные производные первого порядка

3.1. Найти частные производные 1-го порядка функции:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6) ;

7) ; 8); 9); 10).

Частные производные высших порядков

3.2. Найти частные производные 2-го порядка. Убедиться в равенстве смешанных производных.

1) ; 2);

3) ; 4).

3.3. Найти частные производные 3-го порядка для функций.

1) ; 2).

Градиент функции двух переменных

3.4. Найти для функции:

1) 2)

3) ; 4)

3.5. Построить линии уровня и в точке А(1;2) для функций:

1) ; 2); 3).

Дифференциалы функций двух переменных

3.6. Найти полный дифференциал и вычислить его в точке .

1) ;

2) .

3.7. Найти дифференциалы второго порядка для функций.

1) ; 2); 3).

Тема 4. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной

Экстремум функции

4.1. Найти максимумы, минимумы и промежутки возрастания и убывания функций.

1) ; 2)

3) ; 4) .

Наибольшее и наименьшее значения функции

4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1. на отрезке [0;2]; 2)на отрезке [-3;0];

3) на отрезке; 4)на отрезке.

Тема 5. Экстремум функции двух переменных

Безусловный экстремум функции

Найти экстремумы функции .

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

Условный экстремум функции

5.7. Найти условные экстремумы функций, применяя метод подстановки.

1. , если ;

2. , если ;

3. , если .

Тема 6. наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

1 случай. Функция общего вида и произвольная область

6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.

1) функция , границы области {,,};

2) функция область решений неравенств

3) функция , границы области {,,};

4) функция , область решений неравенств {,,};

5) функция , область решений неравенств

2 случай. Линейная функция и область решений линейных неравенств

6.2. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции в области, заданной системой линейных неравенств.

1) функция область

2) функция , область {,,};

3) функция область

4) функция область {,,}.

Модуль 3. Интегральное исчисление

Тема 1. Непосредственное интегрирование

Понятие неопределенного интеграла.

1.1. Проверить, что:

Вычисление неопределенных интегралов

1.2. Вычислить интегралы:

Тема 2. Интегрирование методом замены переменной и по частям

Замена переменной в неопределенном интеграле

2.1. Найти интегралы методом замены переменной

1. ; 2) ;

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10);

11) ; 12).

Метод интегрирования по частям

2.2. С помощью метода интегрирования по частям найти интегралы.

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6)

Тема 3. Интегрирование рациональных и иррациональных функций

Интегралы от рациональных дробей и

3.1. Найти интегралы.

1) ; 2); 3); 4).

Интегралы от рациональной дроби ()

3.2. Найти интегралы.

1) ; 2); 3).

Интегралы от правильной дробно-рациональной функции

3.3. Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов.

1) ; 2) ; 3);

4) ; 5); 6) .

Интегралы от неправильной дробно-рациональной функции

3.4. Найти интегралы.

1) ; 2); 3).

Интегралы от простейших иррациональных функций

3.5 Найти интегралы.

1) ; 2); 3); 4).