2. Построение доверительного интервала.

Интервал EMBED Equation.3 называетсядоверительным интервалом для неизвестного параметра θ, если, с заданной доверительной вероятностью  (надежностью) можно утверждать, что неизвестный параметр находится внутри этого интервала (накрывается интервалом). В данной работе будем искать доверительный интервал для математического ожидания m с заданной доверительной вероят-ностью  = 0,95.

Ввиду большого объема выборки доверительный интервал имеет вид EMBED Equation.3.Параметр t определяется из равенства

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3.

Таблица 4

Номер интер-вала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Неко-торые результаты
EMBED Equation.3	-3,75	-3,25	-2,75	-2,25	-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75
EMBED Equation.3	0,005	0	0,005	0,01	0,055	0,08	0,17	0,17	0,185	0,19	0,09	0,040
EMBED Equation.3	-0,019	0	-0,014	-0,023	-0,096	-0,1	-0,128	-0,043	0,046	0,143	0,113	0,07	EMBED Equation.3 = - 0,052
EMBED Equation.3	0,070	0	0,038	0,051	0,168	1/8	0,096	0,011	0,012	0,107	0,141	0,123	EMBED Equation.3 = 0,942

EMBED Equation.3 = 0,052; S ² = EMBED Equation.3 = 0,942 - 0,003 = 0,939

Округляя полученные результаты, принимаем EMBED Equation.3 = 0,05; S ² = 0,94.

Для рассматриваемого примера будем иметь при = 0,95, EMBED Equation.30,975,

откуда t=1,95, поэтому в нашем примере имеем

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания имеет вид EMBED Equation.3 .

3. Проверка статистических гипотез.

Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой произ-ведена выборка, имеет нормальный закон распределения (такое предположение может быть сделано по виду гистограммы). Применим критерий согласия EMBED Equation.3 (Пирсона). Так как математическое ожидание m и дисперсия EMBED Equation.3 генеральной совокупности нам неизвестны, то вместо них возьмем их выборочные характеристики: выборочное среднее EMBED Equation.3 и выборочную дисперсию S².

Проверка гипотезы сводится к следующему алгоритму.

Объединим в один интервал интервалы с малыми частотами так, чтобы в каждом из интервалов было не менее 6-8 элементов выборки. Обозначим полученное число интервалов буквой k ( EMBED Equation.3 ). Вычислим статистику

EMBED Equation.3 ,

где n_i - число элементов выборки в каждом из k интервалов;p_i – теоретичес-кая вероятность попадания случайной величины в i -й интервал, которая опре-деляется по формуле

EMBED Equation.3

где вместо m берем EMBED Equation.3 , а вместо EMBED Equation.3 = S ², т. е. EMBED Equation.3 .

Устанавливаем число степеней свободы r, которое для нормального закона вычисляем по формуле r = k - 3.Назначаем уровень значимости EMBED Equation.DSMT4 = 0,05.

Для заданного уровня значимости р и найденного числа степеней свободы r по таблицам EMBED Equation.3 -распределения Пирсона находим значение EMBED Equation.3 и сравниваем между собой это значение и вычисленное значение статистики EMBED Equation.3 . Если окажется, что EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 , то гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то есть экспериментальные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности.

Замечание. При вычислении теоретических вероятностей EMBED Equation.DSMT4 крайние интервалы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3заменяются интервалами EMBED Equation.3и EMBED Equation.3.

Применим критерий EMBED Equation.3 к рассматриваемому примеру при уровне значимости p = 0,05. Результаты вычислений помещены в таблице 5.Из этой таблицы имеем EMBED Equation.3 = 209,16; EMBED Equation.3 =209,16 - 200 = 9,16. По таблице EMBED Equation.3 -распределения находим: EMBED Equation.3 =11,07.Так как полученное нами значение EMBED Equation.3 = 9,16 < 11,07, то ги-потеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.