4.4.4. Схема Бернулли

Пусть производится одинаковых независимых опытов. В каждом испытании некоторое событие А может произойти с вероятностью(а, значит, не произойти с вероятностью).

Вычислим вероятность того, что событие произойдет ровно раз в проведенныхопытах.

 – вероятность того, что во всех опытах событие не произойдет (см. также пример 4.7)

 – вероятность того, что событие произойдет ровно в одном опыте.

 – вероятность того, что событие произойдет ровно 2 раза в n опытах.

…………………………

 – вероятность того, что событие произойдет РОВНО k раз в n попытках.

…………………………

– вероятность того, что событие произойдет во всех опытах.

4.5. Случайные величины

Случайные величины (с.в.) – численное значение появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества.

Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов измерений, связанных с подсчетом и выражаемых целыми числами.

Примеры дискретных случайных величин: оценка, полученная на экзамене, число попаданий в мишень в серии из 10 выстрелов и т. п.

Вероятность принятия дискретной случайной величиной каждого из возможных ее значений больше нуля. Эта вероятность может быть записана как

,

где i =... −1, 0, 1 ...

Здесь X — обозначение случайной величины; x_i — конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной; p_i — вероятности этих значений.

Индекс i может в общем случае пробегать значения от −до.

Функция , связывающая значения дискретной случайной величины с их вероятностями, называется еераспределением (законом распределения). Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида 

Х	x1	x2	…	xn	…
Р	p1	p2	…	pn	…

Пример 4.12. Пусть Х – число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала.

Примеры непрерывных случайных величин: спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др.

Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико и чаще всего нет оснований предположить, что одни значения появляются существенно чаще других, то вероятность принятия непрерывной случайной величиной каждого отдельного значения оказывается равной нулю. По этой причине нельзя описать распределение непрерывной случайной величины в виде вероятностей ее отдельных значений, как в случае дискретных случайных величин. Здесь необходимы другие подходы, которые рассмотрены в разделах 4.6 и 4.7.

4.6. Функция распределения

Рассмотрим вероятность того, что случайная величина X окажется меньше или равной некоторому заданному числу х, т. е.

.                                                             (4.11)

Эта вероятность, рассматриваемая как функция переменной х, называется функцией распределения случайной величины X. Она используется для записи распределений как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины будет непрерывной функцией (рис. 4.8).

Как было сказано ранее, вероятность принятия непрерывной случайной величиной какого-либо конкретного значения равна 0.

Для непрерывной случайной величины обычно интересует вероятность попадания ее в заданный интервал , которая по известной функции распределения находится как

 (4.12)

В этом выражении совершенно не обязательно записывать интервал таким образом. Можно было бы записать ,или, при этом вероятность попадания случайной величины в интервал не изменится. Это связано с тем, что, как уже отмечалось, функция распределения случайной непрерывной величины не имеет скачков ни при каких значенияхх.

Свойства функции распределения совпадает со свойствами эмпирической функции распределения (см. 2.3.4)

1. F(x) неубывающая функция.

2. 

3. 

График функция распределения представляет собой теоретический аналог полигона накопленных частот, рассмотренного в разделе 2.3.3.

Рис. 4.8. Функция распределения непрерывной случайной величины