Размерность физической величины

Определим теперь понятие размерности физической величины.

Аналогично существованию противоположных точек зрения на то, как должны строиться системы единиц (в частности, каково должно быть число основных единиц и какие единицы должны быть приняты за основные), имелись противоположные точки зрения на физическую сущность размерностей.

Согласно одной из них, размерность выражает физическую связь между данной величиной и основными величинами системы. Противоположная точка зрения предполагает, что единственный смысл размерности – указание на то, как изменится единица данной величины при известном изменении единиц, принятых за основные. Изменение выбора основных единиц и определяющих уравнений может коренным образом изменить размерность.

Очень четко эта точка зрения была выражена М. Планком, который писал: «… ясно, что размерность какой-либо величины не есть свойство, связанное с существом ее, но представляет просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений»⁵.

Практически во всей литературе в настоящее время под размерностью понимается только обобщенное выражение зависимости единицы данной величины от основных единиц при принятом определяющем уравнении.

Соотношение, показывающее, как изменяется единица какой-либо величины при изменении основных величин, называется размерностью этой величины.

Наряду с использованием размерностей для перевода из одной системы в другую и установления соотношения между единицами, их применяют для проверки правильности формул, полученных в результате того или иного теоретического вывода. Неизменность размерности в рамках данной системы требует, чтобы размерности в левой и правой частях любого равенства, связывающего различные физические величины (или, точнее, числа, которыми эти величины выражаются), были одинаковы. В противном случае при переходе от одних величин к другим равенство бы нарушилось.

Размерность показывает, как связана данная величина с основными физическими величинами, поэтому нет необходимости отдельно определять единицу измерения для каждой физической величины: они выражаются через произведение основных физических единиц с целыми показателями степени и численными множителями, равными 1. В Международной системе единиц СИ основным физическим величинам соответствуют основные единицы измерения: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества и сила света. Для обозначения размерности произвольной физической величины используется ее буквенное обозначение, взятое в квадратные скобки. Так, например, символ [v] означает размерность скорости. Для размерностей основных величин используются специальные обозначения: для длины L, для массы M, для времени T. таким образом, обозначив длину буквой l, массу m и время буквой t, можно написать: [l] = L, [m] = M, [t] = T.

В указанных обозначениях размерность произвольной физической величины в общем виде выражается в системе СИ как

В этом выражении все показатели степени ‑ целые числа, они могут быть как положительными, так и отрицательными. Если все они равны нулю, то величина G будет безразмерной. Так, например, размерность кинетической энергии Е_кин имеет вид

Е_кин = dim (mv²/2) = ML²T^-2

Физическая величина и ее размерность ‑ это не одно и то же. Одинаковую размерность могут иметь совершенно разные по своей природе физические величины, например работа и вращающий момент или сила электрического тока и напряженность магнитного поля. Размерность не содержит информации о том, является ли данная физическая величина скаляром, вектором или тензором. Однако величина размерности важна для проверки правильности соотношений между физическими величинами.

Поскольку физические законы не могут зависеть от выбора единиц входящих в них величин, размерности обеих частей уравнений, выражающих эти законы должны быть одинаковыми. Это условие может быть использовано, во-первых, для проверки правильности полученных физических соотношений и, во-вторых, для установления размерностей физических величин. Так, например, скорость определяется как . Размерность равна L, размерность равна T. Размерность правой части написанного соотношения равна [s][t] = L/T = LT^-1. Размерность левой части должна быть такой же. Следовательно, [v] = LT^-1. написанное соотношение называется формулой размерности, а его правая часть – размерностью соответствующей величины, в данном случае скорости.

На основании соотношения можно установить размерность ускорения:

Размерность силы

Аналогично устанавливаются размерности всех прочих величин.

1 Л. А. Сена «Единицы физических величин и их размерности»

2 Катодные лучи — поток электронов, излучаемый катодом. Катодные лучи используются в телевизионных трубках, компьютерных мониторах, осциллографах, электронных микроскопах и радиолампах. В этих приборах катодные лучи распространяются в вакууме. Катодные лучи отклоняются магнитным и электрическим полем.

С 1895 года Джозеф Джон Томсон в Кавендишской лаборатории Кембриджского университета начинает методическое количественное изучение отклонения катодных лучей в электрических и магнитных полях. Итоги этой работы были опубликованы в 1897 г. в октябрьском номере журнала «Philosophical Magazine». В своем опыте Томсон доказал, что все частицы, образующие катодные лучи, тождественны друг другу и входят в состав вещества. Суть опытов и гипотезу о существовании материи в состоянии ещё более тонкого дробления, чем атомы, Томсон изложил на вечернем заседании Королевского общества 29 апреля 1897 г. За это открытие Томсон в 1906 году получил Нобелевскую премию по физике.

Опыт Томсона заключался в изучении пучков катодных лучей проходящих через систему параллельных металлических пластин, создававших электрическое поле и систем катушек, создававших магнитное поле. Обнаружено, что лучи отклонялись при действии отдельно обоих полей, а при определенном соотношении между ними пучки не изменяли прямой траектории.   скорость движения частиц гораздо ниже скорости света ‑ таким образом было показано, что частицы должны обладать массой. Далее была выдвинуто предположение о наличии этих частиц в атомах и модель атома, впоследствии развитая в опытах Резерфорда.

3 По существу, килограмм является единицей массы, но во время его установления не делали различия между весом и массой.

4 В вакууме на расстоянии r друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I₁ и I₂. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

Бесконечный проводник с током I₁ в точке на расстоянии r создаёт магнитное поле с индукцией:

(по закону Био ‑ Савара ‑ Лапласа).

По закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

По правилу буравчика, направлена в сторону первого проводника (аналогично и для , а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы (r ‑ расстояние между проводниками):

Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы l от 0 до 1):

5 Планк М. Введение в теоретическую физику. Ссылка дана по книге Л. А. Сена «Единицы физических величин и их размерностей», М.: Наука, 1988.

20