1.4. Взаимодействие зарядов, равномерно распределённых на линии, на поверхности и в объёме

Если один из зарядов, например Q₁, не является точечным, но равномерно распределён по линейным, сферическим или плоским поверхностям, то для определения силы взаимодействия по закону Кулона необходимо:

1. Разбить тело, на котором находится этот заряд, на бесконечно малые элементы dQ₁, каждый из которых может считаться точечным зарядом и применить к ним закона Кулона в дифференциальном виде:

.

2. Просуммировать (проинтегрировать) все элементарные силы

.

При этом надо учитывать направления складываемых векторов .

• Если все они направлены одинаково, то геометрическую сумму можно заменить арифметической. Тогда получим:

,

где интегрирование производится по всей длине, площади или объёму.

• В том случае, когда складываемые векторы имеют различные направления, то выбирают координатные осиx, y, z, затем суммируют (интегрируют) проекции всех элементарных векторов силна эти оси, получая тем самым проекции искомого вектора, то есть

, ,,

его модуль вычисляется по формуле:

.

При решении задач часто используются формулы линейной, поверхностной и объёмной плотности заряда.

Линейная плотность заряда τ – СФВ, характеризующая распределение электрического заряда по длине заряженных тел, численно равная заряду, находящемуся на единице длины:

. (1.3)

Поверхностная плотность заряда σ – СФВ, характеризующая распределение электрического заряда по поверхности заряженных тел, численно равная заряду, распределённому на поверхности единичной площади:

. (1.4)

Объёмная плотность заряда ρ – СФВ, характеризующая распределение электрического заряда по объёму тела, численно равная заряду, распределённому в единице объёма:

. (1.5)

Силу взаимодействия точечного заряда с поверхностно или объёмно заряженными телами удобно рассчитывать по формуле

,

где напряжённость электростатического поля рассчитывается с помощью теоремы Остроградского – Гаусса (раздел 2.2.2).

.

Задача 1.6. Тонкий прямой стержень длиной ℓ равномерно заряжен с линейной плотностью τ. На продолжении оси стержня на расстоянии а от ближайшего конца находится точечный заряд q₀. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.

Решение. Определить силу взаимодействия двух зарядов по закону Кулона по выражению (1.2) нельзя. Этот закон справедлив лишь для точечных зарядов, а заряд, распределённый по стержню, нельзя считать точечным.

Чтобы применить закон Кулона, рассмотрим бесконечно малый элемент длиныdх стержня, находящийся на расстоянии x от заряда q₀ (рис. 8). Заряд этого элемента, согласно формуле (1.4):

.

По закону Кулона на заряд q₀ со стороны заряда dQ будет действовать сила

.

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q₀ также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и . Поэтому, чтобы найти результирующую силу, можно сложить (проинтегрировать) модули элементарных сил.

Пределы интегрирования (расстояние от заряда q₀ до каждого элемента длины dх стержня) изменяются от а до (а+ℓ).

Искомая сила

.