Nechepurenko_ФТИ

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ

507

Выбрать nхn матрицу T такую, что

TPT

T QT 1

diag(

1

n

)

Тогда m наиболее наблюдаемых и управляемых состояний новой

системы - это

ej

(0, ,0,1,0, ,0)T , j

1, , m

j

X [(T 1 ) , , (T 1 )

m

]

Y [(T ) , , (T )

m

]

1

1

Теорема 3. При описанной выше редукции

max

~ (i

)

2

2(

m 1

n

),

R

(i )

АЛГОРИТМ

508

AP

PA

CC

QA A Q

O O

P

LL

Разложения Холецкого Q

RR

L R U Z

Сингулярное разложение

Полагаем

T

1/ 2U L 1

Имеем:

TPT

T

QT 1

T 1

LU

1/ 2

T

RZ

1/ 2

X [(T 1 ) , , (T

1 )

m

]

Y [(T ) , , (T )

m

]

1

1

ПРОБЛЕМА: матрица

почти вырожденная!

АЛГОРИТМ

509

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку нам нужны только первые m столбцов

матриц

T 1

LU

1/ 2

T RZ 1/ 2

Q

R

R

P

L

L

1 ) , , (T 1 )

X

[(T

]

L

U

1/ 2

1

m

Y [(T )1, , (T )m ] R

Z

1/ 2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

601

AP PA CC*

s11

s1n

A Q

Q

O(n3 )

0

snn

~

~

~ ~*

~

~

SP PS W

W CC

, C Q C, P Q PQ

S

I

I

I

~

W

s

s

s

P

11

12

1,n

~1

1

0

S

22 I

P2

W2

s

O(n3 )

sn 1,n I

0

0 S

nn I

~

Wn

s

Pn

W

~ ~

~

~~

P

~

CC

P

LL

LL , L QL

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

602

Ax

b

x0

задан, xk 1

xk

k ( Axk

b)

k

Axk

b

невязка:

k

k 1 k

k A( Axk

b)

(I

j A)

0

j 0

A

A ,

k

const

: |1

min | |1

max |

k

k

cond

2 ( A)

1

k 1

min

(I

A)

min

max

(I

)

j

j 0

cond 2 ( A)

1

0

2

min

max

2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

603

n

n

n p

p

n

L2P A(LP) (LP)A

LP

AP

PA

C

C

(L)

Re (S) 0

i ( A)

j ( A)

Метод простых итераций:

P0

0, Pk 1 Pk

k

LPk

CC

k

(I

k A)Pk

k (Pk A CC )

LPk 1

CC

(I

jL) CC

rank P

(2k

1) p

j 0

k

A A ,

const

k

cond ( A)

1

k 1

min

(I

L)

k

2

cond2 (L)

cond2 ( A)

j 0

2

cond

2 ( A)

1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

604

AP

PA

CC

P T PT

F , T

A I 1 A I

0

F

2

A

I 1CC

A

I

Re

( A)

0

(T )

1

Метод переменных направлений:

P0

0,

Pk 1

T

PkT

F

k

k

k

Pk 1

P

Rk A (P0

P)Rk

A *

Rk (s)

k

s

i

rank Pk

k p

i 0

s

i

Сравнение с простыми

итерациями при

A

A ,

k

const ,

k

const

k

cond

2 ( A)

1 k 1

2

cond 2 ( A)1/ 2

1

2(k 1)

min

(I

L)

min

Rk ( A)

cond

2 ( A)

1

2

cond

1/ 2

1

j 0

2

2

( A)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

605

Исходный алгоритм:

P0

0,

Pk 1

T

PkT

F

k

k

k

T

A I 1 A I , F 2 A I 1CC A I

1) матрицы Pk

можно не формировать:

Pk

Lk Lk

I 1

I 1C

L

A

k

A

k

I L , 2

k

A

k

k 1

k

Pk 1

Lk 1Lk 1

2) вычислив

Lk 1 , можно попробовать уменьшить ее ранг:

SVD

0

Lk 1

U ,U

0

V ,V

,

tol

Lk 1

U

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА

606

dx

dx

B 1 Ax

B 1Cu

B dt

Ax Cu

dt

Anew

Cnew