Nechepurenko_ФТИ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

408

Пусть u

Ll

(

,

)

2

~

(s)

(s)

~

(s)

ˆ

(s)

u(s)

y(s) y(s)

ˆ

2

2

ˆ

2

1/ 2

1

1/ 2

~

2

~

2

y(t) y(t)

dt

y(i

ˆ

d

) y(i )

2

2

ˆ

2

1

1/ 2

~

2

max

(i

)

u(i

ˆ

d

) u (i )

2

2

ˆ

2

1/ 2

max

)

2

u(t)

22 dt

(i

max

2

,

{ 1, , N }

(i )

ВЫЧИСЛЕНИЕ БАЗИСА В

409

ПОДПРОСТРАНСТВЕ КРЫЛОВА

U

A 1C,

M

A 1B

(m

pk n)

Cn m :

Найти X

[ X1,...,X p ]

X X

Im

spanX

span

U , MU , M 2U , , M k 1U

Ортогонализация Грама-Шмидта:

X1 : ort (U )

w :

MU ,

w :

w

X1( X1 w), X 2 :

ort (w)

X 2

X1

w :

M 2U,

w :

w

X1( X1 w), w :

w

X 2 ( X 2 w), X3 :

ort(w)

X3

X j ,

j 1,2

МЕТОД АРНОЛЬДИ

410

w :

MX1, w : w

X1( X1 w), X 2 :

ort (w)

X 2

span{X1, MX1}, X 2

X1

w :

MX2 , w : w

X1( X1 w), w :

w

X 2 ( X 2 w), X3 : ort(w)

X

3

span{X

, MX , M 2 X },

X

3

X

j

,

j 1,2

1

1

1

cnp2k 2

pk ( умножений M на вектор )

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ

501

~

~~

~

dx

dx

Ax

Cu

~

Ax

Cu

Y AX

dt

dt

A

~

~~

y

Ox

~

Y C

C

y

Ox

~

~

~

~ ~

H(s) O(sI A) 1C

O OX

H (s) O(sI A) 1C

~

~

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

y(s)

H (s)u(s)

y(s)

H (s)u(s)

(s)

~

(s)

~

y(s)

y(s)

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ

502

x(t )

x0 ;

dx

Ax

Cu

0

dt

Формула Коши:

t

x(t)

exp{(t

t0 ) A}x(t0 )

exp{(t s) A}Cu(s)ds

t0

Уравнение Ляпунова:

A*P

PA

D

Re ( A)

0

решение

, единственн о

и представим о в виде

P

exp{tA*}D exp{tA}dt

0

Доказатель ство : Z (t) exp(tA* )D exp(tA);

dZ

A*Z ZA

dt

УПРАВЛЯЕМОСТЬ

503

dx

Ax Cu

Re ( A) 0

dt

0

1/ 2

0

u

u(t) u(t)dt

min,

exp{ tA}Cu(t)dt

x(0)

tA }P 1x(0),

x(0) P 1x(0) 1/ 2

РЕШЕНИЕ: uopt (t)

C exp{

uopt

P

exp{tA}CC exp{tA }dt

0 - ГРАМИАН управляемости

НАБЛЮДАЕМОСТЬ

504

dx

Ax, y Ox, t 0

Re (S) 0

dt

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ

505

x

Txold

Замена переменных

приводит

dx

Ax Cu

y

Ox

dt

к системе того же вида, но с матрицами

A

TA T 1

O

O T 1

C

TC

old

old

old

При этом

P

TP T

Q

T *Q T 1

old

old

Таким образом

PQ

TPold Qold T 1

- преобразование

подобия

(PQ)

(PoldQold )

{ 1

n}

-инвариант системы