34_all

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

1

2003/2004

34

6i

1

+iz

Пусть

h(z)

- регулярная

ветвь

многозначной

функции Ln

2

в плоскости

с

разрезом по

кривой

1 − z

3π

i

что Im h(∞)

π

Найти h(0)

γ =

z

:

z

=1, −

≤ arg z ≤ 0

, i

такая,

= −

.

и

вычислить

интеграл

2

2

2

h(z)

J =

∫

dz .

1 sh

3

z

z

=

4

c Прежде всего следует

проверить,

что

в

заданной

области

действительно

существуют

регулярные ветви функции

1

+iz

2

Ln

1. Эта функция допускает выделение регулярных ветвей в области G=C\ γ , что легко проверяется2.

1 − z

dВыберем теперь регулярную ветвь корня, которая удовлетворяет условию Im h(∞)= −π :

1

2

+iz

1

π

h(z) = ln

2

→ Im h(∞)=ϕ

+i ϕ

01

−ϕ

02

+

γ

arg

+iz

−

γ

arg(1

− z)+ 2πl

01

−ϕ

02

+ 2πl = −

.

1 − z

2

2

1

+iz

π

1

2

h(z)= ln

+i −

+

γ arg

+iz − γ

arg(1 − z)

-

(1)

1 − z

2

2

π .

регулярная ветвь, соответствующая вышеприведенному условию Im h(∞)= −

1

2

−i0

π

π

e

h(0)

2

−ln 2 −i2π

= ln

+i −

2

−

2

−π =

1 −0

1

+iz

1

2

− Ln(1

− z) =

1 Ln

= Ln

+iz

2

1 − z

1

1

−i(ϕ

arg(1 − z)+ 2πk

)=

ln

+iz

+i ϕ

01

+

γ

arg

+iz

+ 2πk

−ln

1 − z

02

+

γ

2

2

2

1

1

+iz

1

2

arg(1 − z)+

ln

+i ϕ

01

−ϕ

02

+

γ

arg

+iz

−

γ

2πl

2

1 − z

f (z)≠ 0 , z G . Чтобы в области G существовали ветви

2 Теорема 2(§16П) Пусть функция f в области G регулярна, прчем

регулярной функции {n

f (z)}, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура γ° G

нашлось целое число k °

такое, что

° arg f (z)= (2πn)k ° .

y

γ

γ

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

2

fНаходим особые точки

f (z)=

h(z)

.

sh 3

z

Особыми точками являются:

z = ∞

- НОТ,

особые точки числителя: ,

k = 0, ±1, ± 2,... - П3 (полюсы 3-го порядка)3

нули знаменателя: z = iπk ,

sh 3 iπk = i3 sin 3 πk = 0 , (sh 3 z)′

z=iπk

= 3sh 2 z ch z

z=iπk

= 0 ,

(sh 3 z)″

= (3sh 2 z ch z)′

= (6 sh z ch 2 z +3sh 3 z)

z

=iπk

= 0 ,

z=iπk

z=iπk

(sh 3 z)'''

= (6sh z ch 2 z +3sh 3 z)′

=

z=iπk

z=iπk

(6 ch 3 z +12 sh 2 z ch z +9 sh 2 z ch z)

z

=iπk

= 6 ≠ 0

особые точки знаменателя: .

3π

i

Внутри контура γ

= z :

z

=1, −

≤ arg z ≤ 0

, i находится:

z = 0 - П3.

2

2

h(z)

g Интеграл J = ∫

h(z)

dz , можно вычислить по формуле J = 2πi res

4.

3

3

z

=

1 sh

z

z=0 sh

z

4

h(z)

1 d

2

h(z)

h Точка z = 0 - П3

/

(полюс 3-го порядка), поэтому вычет5 в этой точке равен res