ГОС - сврхпр

∫ ( Ψ*v)dV = Ψ*v dS

S

Тогда

ΨgsH =∫dV [αΨ+βΨ|Ψ|2 + 4m1 (−i − 2ceA)2Ψ] Ψ* + [−i Ψ− 2ceAΨ] Ψ*v dS = 0

S

Этовыражениедолжнобытьравнонулюприпроизвольном Ψ*. Этотак,есливыраженияв“[]”равнынулю.

Тогдавотпервое уравнение ГЛ играничноеусловиекнему:

1.αΨ+βΨ|Ψ|2 + 4m1 (i + 2ceA)2Ψ = 0

2.(i Ψ− 2ceAΨ) n = 0

гдеn­единичныйвектор,нормальныйкповерхностисвхпр.

Ясно,чтовариацияпоΨдастсопряженноекур­ию1.Полученноеуравнениеесть уравнениеотносительнопараметрапорядка.

Мы,кстати,воспользовалисьтеоремойГаусса:

∫dVdiv[ A, rot A − H0] = 4π1 ∫dS [ A, rot A − H0] .

Ноонравеннулю,таккакмагнитноеполенапов­тисвхпрзадано,ипоэтому

A|=0.

s

Значит,(14.9):

4π1 ∫rot(A −H0)rot( A) = 4π1 ∫dV A rot rot A

Подставимпоследнеев(14.7):

AgsH =∫dV [2imce(Ψ* Ψ−Ψ Ψ*)+mc2e22 A|Ψ|2 + 4π1 rot rot (A)] A = 0

Выражениевскобкахдолжнобытьравнонулю.

Это даёт второе уравнение теории ГЛ относительно A:

js = −2imce(Ψ* Ψ−Ψ Ψ*)−mc2e22 |Ψ|2A

где,согласноМаксвеллу,плотностьтокавсвхпр:

В. перейдём к безразмерной волновой функции.

let ψ(r) = Ψ(r)/Ψ0

гдеΨ02 = ns/2 = |α|/β

гдеФ0 = πeс ­квантпотока.

let ψ = |ψ|ei θ then

(2)­> rot rot A = |ψ|λ22(Ф2π0 −A)

Из(14.6)получимграничноеусловиедляψ.

Recal:

(i Ψ− 2ceAΨ) n = 0

Еслисверхпроводникграничитсвакуумомиликаким­либодругимдиэлектриком, такимусловиембудет

гдеn­единичныйвектор,нормальныйкповерхностисвхпр.Легкопроверитьс помощьюф­лы(14.11),чтоусловие(14.19)

js = −2imce(Ψ* Ψ−Ψ Ψ*)−mc2e22 |Ψ|2A

обеспечиваетвыполнениеестественногофизическоготребования,чтобысверхток черезгранизусверхпроводник­диэлектрикравнялсянулю.Однакоэтомуже требованиюравенстванулюнормальнойкомпонентысверхтоканагранице удовлетроряетиболееобщееравенство:

(i + 2πA)nψ = iαψ,

Ф0

гдеa­произвольноевещественноечисло.

Длина когерентности и глубина проникновения.

Былачистоформальновведенавеличина(14.14)

ξ2 = 4m|α|2

Рассмотримпростойпример.

Наплоскуюпов­тьсверхпроводникананесенапленкаметалла.

Тогдалокальнооколопов­типлотностьсверхпр.электроновпонизится. Т.е.значениепорядка|ψ|будетотличатьсяотравновесногозначениявглубинесвхпр., где|ψ| = 1.Каковхарактерныймасштабдлины,накоторомономеняется?

Направимосьxперпендикулярнопов­тисвхпр.

Посколькурассматриваемодносвязныйсвхпр,тоψ­вещественнаяфункция(этоможно вывестиизсвойстваградиентнойинвариантностиуравненийГЛ:дляодносвязногосвхпр всегдаможновыбратьтакуюкалибровкувектор­потенциалаA,чтобыψбыла вещественной.НукакбынужноучитыватьуравненияпереходаотAиψ кA’иψ′).

ТогдапервоеуравнениеГЛ(14.16):

ξ2(i + 2πA)2ψ−ψ+ψ|ψ|2 = 0

Ф0

Приметвид:

Пустьслойметалланаповерхноститакойтонкий,чтоψнаповерхностималоотличается от1:

ψ = 1−ε(x) ε(x) << 1

Подставимсиев(15.1):

Решениеуравненияочевидно:

ε(x) = ε(0)e−√2x/ξ

Следовательно,ξ­этоиестьхарактерныймасштабизмененияψ.

def.ψ ­длина когерентности.

Ещёестьглубина проникновения слабогомагнитногополя.Оназависитот температуры,какидлинакогерентности.Напишемих.

ПосколькувблизиT: |α| ~ (Tc −T)

c

То

λ ~ (Tc −T)−1/2 ξ ~ (Tc −T)−1/2

Хорошаяаппроксимация:

λ(T) = λ(0) / (1 − (T/Tc)4)1/2

Нуинаконец,можноввестиважныйпараметр:

χ = λ/ξ

Подставимсюдапрямо(15.3)и(15.6):

χ = 2√2ecλ2Hcm

Аещёподставимизвестноевыражениедляквантамагнитногопотока:

Ф0 = πeс

Иполучим:

√2Hcm = 2πλξФ0

Изпараграфа“Глубинапроникновениямагнитногополя”,из2­огоур­ияЛондонов:

Рассмотримсвехрпр.полупространствоx>0. Внаправленииz­внешнееполеH0. 2­оеур­иеЛондона:

H+λ2rotrotH=0.

Учтём: rotrotH=­2H +симметриязадачи

Тогда:

d2H/dx2­λ­2H=0

Граничныеусловия:H(0)=H0,H(inf)=0.

Решениезадачи:

H=H0e­x/λ

Ясно,чтоλ­этохарактернаядлина,накототоройослабеваетполе. Можноизплотностикинетическойэнергиисверхтоканайти:

λ2 =4πmcnse22

I.13

I.14.1

I.14.2.

I.15.1

ТеорияфазовыхпереходоввторогородаЛандау Функционалсвободнойэнергиивтерминахпараметрапорядка Термодинамическоекритическоеполедлясверхпроводников1­города

Уравнение Гинзбурга­Ландау (14.16)и(14.17)­безвывода Длинакогерентности Глубинапроникновениямагнитногополявсверхпроводник

В теории Лондонов не учитывались квантовые эффекты сверхпроводимости. Теория Гинзбурга­Ландау стала первой квантовой феноменологической теорией сверхпроводимости.

$ Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник

~~~~~(блок#1)

Термодинамика(3.5)

letсвхпрцилиндрпервогородавмагнитномполеH0

H0<Hcm =>эффектМейсснера­Оксенфельда:B=0=>

M =­H0/4π ­магнитныймоментединицыобъёма

letмагнитноеполепоменялосьнаdH0 =>совершаетсяработанадединицейобъ.свхпр:

­M dH0 =H0 dH0/4π

letпроинтегрируемот0доH0инайдёмработуисточникаполя:

H0

− ∫ MdH0 = H02/8π

0

Этаработазапасенавсвободнойэнергиисверхпроводника,наход.вH0.

Еслиплотностьсвоб.энергиисвхпрвотсутствииполя=F ,топлотностьсвоб.энергии

s0

свхпрвмагнитномполе:

F =F +H2/8π

sH s0 0

Переходвнормальноесостояниетогда,когдаF поднимаетсядоур­няплотностьсв.эн.

sH

нормальногометалла:

КритическоеполемассивногоматериалаHcm ­мератого,насколькосвхпрсостояние энергетическиболеевыгодное,чемнормальное.