Group_theory_lecture

181

релятивистских полей,лежащих на массовой поверхности (∂2 + m2)Φ= 0 . Появление δ- функции и δ- символов в(3.12.19)оправдано стандартным рассуждением о том,что собственные вектора Ψσ, Ψσ′ эрмитового оператора A = A† с различными собственными значениями σ ̸= σ′ всегда ортогональны (Ψσ, Ψσ′) = 0, т . к .

σ′ (Ψσ, Ψσ′) = (Ψσ, AΨσ′) = (ΨσA†, Ψσ′) = (AΨσ, Ψσ′) = σ(Ψσ, Ψσ′)

(σ′ − σ)(Ψσ, Ψσ′) = 0, т . е ., еслиσ ̸= σ′, то (Ψσ, Ψσ′) = 0. Множитель p0 необходим для Лоренц-ковариантност и скалярного произведения, которое связано с интегралом по плотности ρ0(x) заряда заряженного поля Φ (3.12.20).

3.)Для заданного семейства преобразований Лоренца Λ[p], которые параметризуют однородное пространство P/Hq, мы имеем унитарные преобразования U(Λ[p], 0) (здесь 0 - соответствует тривиальным сдвигам), которые связывают базисы пространств Vq и Vp:

где (Λpn) = pkΛkn. Заметим , что Λ[p]−1ΛΛ[p] Hq, так что действие оператора U(Λ[p]−1ΛΛ[p], 0) на подпространство Vq дается требованием1)и формулой (3.12.18).Прямая проверка показывает,что(3.12.21)определяет унитарное представление группы Пуанкаре.

Описанный выше метод это метод индуцированных представлений Вигнера (см.ниже Дополнение к этой Лекции), примененный к группе Пуанкаре.

Теперь мы отдельно рассмотрим два случая:массивный и безмассовый.

Массивные неприводимые представления группы Пуанкаре

Согласно описанной выше схемы нам необходимо описать все унитарные неприводимые конечномерные представления Tq малой подгруппы Hq в случае , когда тестовый импульс q можно выбрать в виде qk = (m, 0, 0, 0) (m > 0). Преобразования этой подгруппы A (3.9.6)должны удовлетворять соотношениям

откуда следует,что элементы A группы Hq удовлетворяют условию унитарности AA† = I и,т.о.,группа Hq совпадает с SU(2).

182

183

откуда следует,что элементы A группы Hq имеют вид

т.е.группа Hq в безмассовом случае совпадает с двулистным накрытием группы движений плоскости.Действительно,группа Hq порождается двумя подгруппами, состоящими из матриц

соответствует двумерным вращениям на угол φ и двумерным сдвигам на комплексное число z. Подгруппа , порождаемая сдвигами A1 (3.12.29)некомпактна и все ее нетривиальные унитарные представления бесконечомерны.Действительно,оператор Казимира (R1)2 + (R2)2 для алгебры(3.12.28)в любом унитарном неприводимом представлении этой подгруппы(т.е.когда Rα = (Rα)†) имеет вид (R1)2 + (R2)2 = µ2I (µ2 ≥ 0). Для µ2 > 0 базис |r в пространстве представления может быть выбран в виде Rα|r = rα|r , где точки r лежат на окружности радиуса µ и,следовательно,спектр операторов Rα непрерывен,а представление бесконечномерно.Т.к.мы требуем,исходя из физических соображений(см.выше), чтобы представления подгруппы стабильности были конечномерными,то мы вы-

берем для этой подгруппы тривиальное одномерное представление A1 = 1 (µ = 0).

184

Подгруппа SO(2), порождаемая элементами A2, компактна и абелева. Поэтому все ее неприводимые унитарные представления ρn одномерны и имеют вид(см. Лекции7,8)

образуют алгебру Ли группы движений плоскости(3.12.28)

Вспоминая аргументы о необходимости выбора тривиального представления для подгруппы трансляций в Hq, мы требуем, чтобы

185

где λ = n/2 = 0, ±1/2, ±1, ±3/2, . . . (см. (3.12.30))Квантовое. число λ называется спиральностью.

Из соотношений(3.12.31), (3.12.33)следует,что в системе когда тестовый импульс q выбран в виде(3.12.25)мы имеем соотношение

Wk = λ Pk .

Т.к.это соотношение записано в ковариант ном виде,то оно справедливо и для любого другого выбора тестового импульса q и следовательно спиральность является Пуанкаре-инвариантной характеристикой безмассовых частиц и все безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре характеризуются значениями спиральности λ.

Пример. Спиральность безмассовых спинорных полей можно получить рассматривая безмассовое свободное уравнение Дирака i∂mγmψ(x) = 0. Из этого уравне-

возможности для значений спиральности ±12 (каждое из которых соответствует разным неприводимым представлениям группы Пуанкаре).

Дополнение1. Общая конструкция индуцированного представления группы G с ее подгруппы H следующая.Пусть V – пространство представления подгруппы H, т.е.мы имеем отображение H V→V . Рассмотрим пространство W = G/H H V. Левое действие группы G на этом пространстве очевидно.Действительно, g · k = k′ · h ( g G), где k, k′ G/H, h H. Тогда для w = k H V G/H H V мы имеем

g w → (g · k) H V = k′ H h V G/H H V

По-видимому во всех книгах излагается дуальная к этой концепция индуцированного представления(см.пункт3.7).

Дополнение2. Имеется дуальное описание регулярного представления нако нечной группе G порядка n. Рассмотрим функции на G, т . е . для элементовgi G мы имеем f (gi) = fi, т . е . каждой функцииf сопоставляется n-мерный вектор

186

с координатами fi. Далее регулярное представление G (правое)определяется по правилу

gk · f(gi) = f (gigk) = f(gm) gk · fi = ρR(gk)si fs = fm ρR(gk)si = δms

—————————————————————————–

187

товомеханической модели атома водорода.

1.Алгебраические аспекты .

Изложение этой лекции основано на обсуждении,представленном [16],в стр. 319.Гамильтониан для электрона(с зарядом e и массой m0 ),движущегося в поле ядра атома с зарядом −Ze (для водорода Z = 1),имеет вид

H = p2 − Ze2 ,

2m0 r

где x и p образуют алгебру Гейзенберга

188

Хотя Гамильтониан H эрмитов,он не является положительно определенным, т.к.имееет как положительные,так и нулевые и отрицательные собственные -зна чения E

H Ψ = E Ψ .

Выделим подпространства Ψ для E < 0, E = 0, E > 0 и отнормируем оператор

(0), на соответствующих подпространствах, следующим образом

A

Алгебру(3.13.4)можно теперь привести к виду

Рассмотрим теперь три алгебры Ли(3.13.6),которые соответствуют трем значениям ϵ = +1, 0, −1.

1. Для ϵ = +1 (E < 0, сферическая геометрия) коммутационные соотношения (3.13.6)имеют стандартный вид для алгебры Ли компактной группы SO(4). Дей - ствительно,соотношения(3.13.6)при ϵ = +1 могут быть приведены,с помощью замены базиса в алгебре

189

стояниям атома водорода.Целое число n = 2j + 1 в формуле(3.13.12)отождествляется с главным квантовым числом спектра связанных состояний.

2. Для ϵ = −1 (E > 0,гиперболическая геометрия)коммутационные соотношения (3.13.6)имеют стандартный вид алгебры Ли для группы Лоренца SO(1, 3). От - метим,что операторы Li образуют алгебру Ли для группы SO(3) SO(1, 3). В этом случае собственные значения и собственные функции могут быть получены заменой главного квантового числа n(= 2j +1) в рассмотренном выше дискретном случае на величину ±iη, где η – произвольное вещественное число (0 < η < ∞). В этом случае важно иметь ввиду, что каждому значению энергии E > 0 соответствует бесконечное множество состояний,мультиплет для каждого значения ℓ = 0, 1, 2, . . . орбитального углового момента.

3. Для ϵ = 0 (E = 0, параболическая геометрия) соотношения(3.13.6)показывают, что компоненты вектора Рунге-Ленца Ai образуют коммутативную подалгебру и являются векторными операторами по отношению к {Li} (т.е. {Ai, Li} образуют алгебру Ли для евклидовой группы3-вх из мерениях).Радиальные собственные функции получаются пределом η → ∞ от радиальных функций в гиперболическом случае.Для ϵ = 0 (E = 0) снова находим бесконечное множество состояний, соответствующих орбитальным угловым моментам ℓ = 0, 1, 2, . . ..

190