FunkAn

Определение 6.3 Пространством производных по Соболеву назовем пространство функционалов ви-

да P @®u® , где ® – мультииндекс, а u 2 L1 (-) , снабженное операцией умножения по формуле

j®j<1 loc

Z

a@®u : C01(-) 3 ' 7!(¡1)j®j u(x)@®(a(x)'(x))dx 2 C: (6.3)

-

Это пространство будем обозначать через D[(-) .

16.1. Теорема. Пусть f'jg – последовательность функций 'j 2 C01(-) . Тогда эквивалентны следу-

ющие два условия:

1± . hf; 'ji ! 0 при j ! 1 8f 2 D[ ;

2± . а) существует компакт K ½ - , что supp'j ½ K 8j ; b) max x2-j@®'j(x)j ! 0 при j ! 1 8® .

~ Импликация 2± ! 1± очевидна. Обратное утверждение вытекает из лемм 6.1–6.4.

~ Рассмотрим для каждого ® последовательность функционалов

Z

'(j®) : L1(-) 3 f 7! f(x)@®'j(x)dx; j ¸ 1;

-

определенных на пространстве L1(-) . Функционалы '(j®) очевидно линейны и непрерывны, т.е. (по теореме Ф.Рисса) '(j®) 2 L1 . Согласно условию 1± , h'(j®); fi ! 0 при j ! 1 8f 2 L1 . Поэтому, в

силу теоремы Банаха–Штейнгауза существует такая константа C® , что k'(j®)k1 · C® 8j . ¤

Лемма 6.2 8® 8x0 2 - @®'j(x0) ! 0 при j ! 1 .

Задача 6.5 Докажите лемму 6.3 (что совсем просто) и попробуйте доказать (хотя бы в одномерном случае), что справедлива

jx ¡ x0j < 1=jg , такое, что выполнено неравенство j'(j®)(xj)j ¸ "0 . Но с другой стороны,

j'(j®)(xj)j · j'(j®)(xj) ¡ Á(j®)(x0)j + j'(j®)(x0)j ! 0;

т.к.

j'(j®)(xj) ¡ '(j®)(x0)j · Cjxj ¡ x0j ! 0; а @®'j(x0) ! 0;

согласно леммам 6.1 и 6.2. ¤

Замечание 6.3 С помощью теоремы Банаха–Штейнгауза можно доказать, что существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится по крайней мере в одной точке. Аналогичный результат с помощью теоремы Банаха–Штейнгауза доказывается для преобразования Фурье.

Пусть X и Y – банаховы пространства, A 2 L(X; Y ) . Если KerA = 0 , то 9A¡1 : ImA ! X .

Задача 6.6 Привести пример, когда оператор A¡1 не является непрерывным.

Теорема Банаха об обратном операторе утверждает, что A¡1 будет непрерывным, если

ImA = Y (см., например, учебник [КФ] Колмогорова и Фомина). Вот полезное следствие этой теоремы Банаха.

21

Теорема 6.3 Пусть A 2 L(X; Y ) и пусть25 dim(Y=KerA) < 1 . Тогда ImA – замкнут в Y .

~ По условию dim Y=ImA < 1 . Поэтому Y = ImA+L (пpямая сумма линейных пространств), где dim L < 1; и потому L , снабженное нормой k ¢ kL есть банахово пространство. Рассмотрим оператор A1 , действующий из банахова26 X1 = X=KerA £ L в банахово Y = ImA+L по формуле: A1(fxg; l) = Ax + l . Обратный к A1 существует, ибо A1 имеет нулевое ядро. Нетрудно проверить, что оператор A1 непрерывен. Он действует “на”. По теореме Банаха об обратном операторе, оператор A¡1 1 непрерывен. Остается заметить, что ImA есть прообраз замкнутого множества X=KerA £ f0g ½ X1 при непрерывном отображении A¡1 1 : Y = ImA+L ! X=KerA £ L: ¤

Определение 6.4 Говорят, что множества A и B отделимы в нормированном пространстве X , если существует ненулевой функционал x0 2 X0 = L(X; R); для которого

Если ® < ¯; то говорят, что множества A и B строго отделимы.

В дальнейшем нам будет полезна (доказанная, например, в [КФ])

Теорема 6.4 (теорема об отделимости) В нормированном пространстве X два непустые непересекающиеся выпуклые замкнутые множества A и B строго отделимы, если хотя бы одно из этих множеств компакт.

Следствие 6.1 Любая точка в нормированном пространстве X , не принадлежащая выпуклому замкнутому множеству A ½ X; строго отделима от A:

Еще одним следствием теоремы 6.4 является

Теорема 6.5 (Хана–Банаха) 27 Пусть X нормированное пространство, а X0 X его замкнутое подпространство. Тогда существует не равный нулю функционал ¤ 2 L(X; R); такой, что

X0 = Ker¤:

Комментарий. Может показаться, что теорема Хана–Банаха вполне очевидна и связана лишь с требованием замкнутости подпространства X0 , ибо если X0 X плотно в X , то любой функционал, равный нулю на X0 , будет равным нулю на всем X: Однако, суть теоремы существенно более глубокая. Она заключается в том, что утверждение теоремы может оказаться неверным для тех линейных топологических пространствах, в том числе метрических, в которых (в отличие, скажем, от нормированных пространств или так называемых основных пространств D; S в теории обобщенных функций) топологию нельзя задать с помощью выпуклых окрестностей. Показателен в этом отношении пример метрического пространства X = Lp(0; 1); где 0 < p < 1 , для которого сопряженное пространство X0 состоит лишь из одного элемента, т.е. единственным линейным непрерывным функционалом над таким X является нулевой функционал28.

22

~ Докажем этот факт от противного. Пусть для X = Lp(0; 1); где 0 < p < 1 , существует ненулевой

§7 Основные понятия спектральной теории

§8 Экстремальные задачи для выпуклых полунепрерывных снизу функционалов.

H 2(0; 1) £ H0(0; 1) ), а функционал F : Z ! R является выпуклым.

Если форма a : z 7!a(z; z) положительно определена, то a(z; z)+l(z) ! +1 при kzk ! 1: Поэтому в этом случае функционал F : z 7!F (z) = a(z; z) + l(z) коэрцитивен в смысле следующего определения.

23

Определение 8.1 Функционал F : z 7!F (z) 2 R называется коэрцитивным, если так называемое множество Лебега

ограничено (и не пусто) для некоторого ® 2 R:

Термин коэрцитивность [лат. coercitoÄ ], как и слова корсар [ит. corsaro] (т.е. пират), корсет [фр. corset ], означает “удержание”, “захват”, “охват” интересующего объекта. В нашем случае коэрцитивность свидетельствует о том, что решение задачи F (z) ! inf заведомо заключено в некотором шаре29. Действительно, условие коэрцитивности влечет такую импликацию:

Последовательность, фигурирующая в (8.5), называется минимизирующей.

Определение 8.2 Говорят, что функционал F : X ! R полунепрерывен снизу относительно сильной или, соответственно, относительно слабой сходимости, если

def

F (xb) · limF (xn) = lim inf F (xk) ; (8.6)

n!1 k¸n

для любой последовательности fxng , которая сходится к xb 2 X сильно, иначе говоря, по норме (т.е. kxn ¡ xbk ! 0) или, соответственно, слабо (т.е. f(xn) ! f(xb) 8f 2 X¤):

R1

Отметим еще, что (очевидно) непрерывный на L2(0; 1) функционал F : u 7! u2 dt не является непре-

0

рывным относительно слабой сходимости в H0(0; 1) = L2(0; 1): Действительно, легко видеть, что после-

довательность fsin ntgn2N слабо сходится к нулю в L2(0; 1); но R1 sin2 nt dt ! 1=2: Однако (как вскоре

0

будет показано) функционал u 7!R1 u2 dt полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в

0

L2(0; 1):

Предложение 8.2 Эквивалентны следующие три условия: 1) функционал F : X ! R полунепрерывен снизу;

def

2) для любого ® 2 R лебегово множество L®(F ) = fx 2 X j F (x) · ® g замкнуто относительно соответствующей сходимости;

3) относительно соответствующей сходимости замкнут надграфик F:

~ 1) ) 2): Пусть xn 2 L®(F ) и xn сходится к xb (относительно соответствующей сходимости). Тогда

(8.6)

F (xb) · limF (xn) · ®: Тем самым, xb 2 L®(F ):

2) ) 3): Пусть (xn; an) 2 epi F , причем xn сходится к xb (относительно соответствующей сходимости) и an ! ba: Если предположить, что условие 3) не выполнено, то найдется такое " > 0; что

F (xb) > ba + " ¸ an ¸ F (xn): Имеем: xn 2 Lba+"(F ); а согласно условию 2), множество Lba+"(F ) замкнуто относительно соответствующей сходимости. Значит, xb 2 Lba+"(F ); т.е. F (xb) · ba + "; что противоречит

установленному выше неравенству ba + " < F (xb):

29Установление подобной априорной информации или, как говорят, априорной оценки, нацеленной (исключая конечномерные задачи и теории типа Лере–Шаудера) на использование компактности в более слабой топологии, зачастую составляет основную трудность в доказательствах теорем существования.

24

Пространства Ck(-) в отличие от пространств Соболева Wpl(-); где 1 < p < 1 , не рефлексивны30, но именно для рефлексивного пространства X справедлива

Теорема 8.1 Пусть X рефлексивное банахово пространство, K замкнутое выпуклое (непустое) подмножество в X , а функционал F : X ! R является выпуклым, коэрцитивным и непрерывным (или даже всего лишь полунепрерывным снизу). Тогда задача

имеет решение, причем единственное, если функционал F строго выпуклый.

Приведенное чуть ниже доказательство теоремы 8.1 опирается на следующую теорему Мазура.

Теорема 8.2 Пусть X рефлексивное банахово пространство, а последовательность fxng его элементов слабо сходится к xb 2 X: Тогда существует такая последовательность элементов

ввиде выпуклых комбинаций исходной последовательности fxng , что kyn ¡ xbk ! 0:

~Если предположить, что теорема не верна, то тогда xb не принадлежит cofxng; т.е. замыканию выпуклых оболочек множества fxng: В этом случае, согласно следствию 6.1 (теоремы об отделимости), xb

строго отделено от замкнутого выпуклого множества cofxng: Иными словами, существует функционал x0 2 X0; для которого

Но это противоречит условию теоремы, согласно которому hx0; xji ! hx0; xbi; что влечет

Следствие 8.1 Если K выпукло и замкнуто в X; то K замкнуто относительно слабой сходимости (говорят, секвинциально слабо замкнуто).

~ Пусть xn 2 X; xn ! x:b По теореме Мазура, существует последовательность выпуклых комбинаций yn = Pn ®j;nxj элементов xj 2 K; таких, что kyn ¡ xbk ! 0: Имеем: yn 2 K (в силу выпуклости K); а

Следствие 8.2 Пусть F : X ! R выпуклый полунепрерывный снизу (в частности, непрерывный) функционал на рефлексивном банаховом пространстве. Тогда F полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в X:

~ Согласно предложению 8.2, epi F замкнут в X (ибо функционал F : X ! R полунепрерывен

вательность fxng ограничена. А поскольку X рефлексивно, то из fxng можно выбрать подпоследовательность fxnk g; слабо сходящуюся к некоторому элементу xb 2 K: Воспользовавшись тем, что

30Говорят, что банахово пространство X рефлексивно, если (X0)0 = X; т.е. сопряженное к X0 = L(X; R) совпадает с X: Согласно теореме Эберлейна–Шмульяна (см., например, К. Иосида Функциональный анализ) банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда из всякой его ограниченной последовательности fxng ( kxnk · const ) можно

25

(согласно следствию 8.2) функционал F полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости, получаем F (xb) · limF (xnk ): В итоге имеем:

Итак, F (xb) = inf F (x); т.е. слабый предел xb последовательности xnk есть решением поставленной

x2K

задачи. Это решение единственно, если функционал F строго выпуклый, т.к. предположив наличие двух различных решений xb1 и xb2; получим требуемое противоречие

Теорема 8.1 дает достаточное условие существования решения задачи (8.7), т.е. задачи F (x) ! inf; x 2 K: А следующая теорема выявляет неравенство, которому удовлетворяет решение этой задачи.

Теорема 8.3 Пусть xb решение задачи (8.7), K выпуклое множество банахова пространства X; а F : X ! R выпуклый функционал, дифференцируемый по Гато31. Тогда xb 2 K является решением задачи (8.7) в том и только в том случае, если

где A = FG0 (xb) 2 L(X; R) производная по Гато в точке xb функционала F:

~ Пусть xb решение задачи, а x 2 K . Так как K выпуклое множество, то xb + t(x ¡ xb) 2 K для

Определение 8.3 Неравенство (8.8) называется вариационным неравенством (на множестве K ) для оператора A 2 L(X; R) , причем и в том случае, когда этот оператор не имеет прямого отношения к какой-либо задаче на экстремум (ассоциируемой с вариационными методами).

Упражнение 8.1 Пусть даны замкнутое выпуклое множество K ½ X = Rn и выпуклый функционал F : K ! R; производная по Гато которого A = FG0 : K ! X0 = Rn; подчинена условию

для некоторого x0 2 K: Тогда вариационное неравенство (8.8) имеет решение, т.е. существует xb 2 K , удовлетворяющее (8.8).

Указание. Условие (8.9) влечет (8.4). Это важно. В самом деле, если X = K = R; а A(x) = ex; то вариационное неравенство ex(y ¡ x) ¸ 0 8 y 2 K не имеет решения.

§ 9 Теорема Лере-Шаудера и ее применение к нелинейным функциональным уравнениям

31Функционал F : X ! R называется дифференцируемым по Гато в точке xb , если существует такой линейный непрерывный оператор A : X ! X0 , что для любого h 2 X справедливо равенство: F (xb + th) ¡ F (xb) ¡ tAh = o(t) при t ! 0: Этот оператор A называется производной по Гато и обозначается обычно через FG0 (xb) в отличие от обозначения F 0(xb); зарезервированого для производной по Фреше: F (xb + h) ¡ F (xb) ¡ F 0(xb)h = o(khk) при khk ! 0:

26