tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

ятностью оно может оказаться неверным. Будут ли полезными такие выводы и можно ли вообще на таком пути получить достоверные результаты?

На оба эти вопроса следует ответить положительно. Во-первых, знание вероятностей событий полезно, так как у исследователя быстро вырабатывается вероятностная интуиция, позволяющая ему оперировать вероятностями, распределениями и их характеристиками, извлекая из этого пользу. Во-вторых, и чисто вероятностные результаты могут быть вполне убедительными: вывод можно считать практически достоверным, если его вероятность близка к единице.

Можно высказать следующее прагматическое правило, которым руководствуются люди и которое соединяет теорию вероятностей

снашей деятельностью.

•Мы считаем практически достоверным событие, вероятность которого близка к 1.

•Мы считаем практически невозможным событие, вероятность которого близка к 0.

И мы не только так думаем, но и поступаем в соответствии с этим! Изложенное прагматическое правило, в строгом смысле, конечно, неверно, поскольку оно не защищает полностью от ошибок. Но ошибки при его использовании будут редки. Правило полезно тем, что дает

возможность практически применять вероятностные выводы. Иногда то же правило высказывают немного по-другому: в од-

нократном испытании маловероятное событие не происходит (и наоборот — обязательно происходит событие, вероятность которого близка к 1). Слово «однократный» вставлено ради уточнения, ибо в достаточно длинной последовательности независимых повторений опыта упомянутое маловероятное (в одном опыте!) событие встретится почти обязательно. Но это уже совсем другая ситуация.

Остается еще не разъясненным, какую вероятность следует считать малой. На этот вопрос нельзя дать количественного ответа, пригодного во всех случаях. Ответ зависит от того, какой опасностью грозит нам ошибка. Довольно часто при проверке различных предположений (статистических гипотез) полагают малыми вероятности начиная с 0,01 ÷0,05. Другое дело — надежность технических устройств, например тормозов автомобиля. Здесь недопустимо большой будет вероятность отказа, скажем, 0,001, так как выход из строя тормозов один раз на тысячу торможений повлечет большое число аварий. Поэтому при расчетах надежности нередко требуют, чтобы

52 Глава 1. Основы теории вероятностей

вероятность отказа была порядка 10−6. Мы не будем обсуждать, насколько реалистичны подобные требования: может ли обеспечить такую точность в расчете вероятности неизбежно приближенная математическая модель, и как затем сопоставить расчетные и реальные результаты.

Особенно внимательно надо относиться к маловероятным событиям, которые могут повлечь за собой существенный ущерб: гибель людей, разрушения, экономические потери и т. п. К сожалению, часто люди из-за своего легкомыслия недооценивают вероятность несчастья и ничего не предпринимают, чтобы уменьшить эту вероятность или хотя бы не дать ей вырасти.

Например, вероятность столкновения «Титаника» с айсбергом была маленькой. Капитан Эдвард Смит мог ее еще уменьшить, снизив скорость судна, но не сделал этого. Сотни человек стали жертвами маловероятного события.

По этим же причинам следует проводить регулярное техническое обслуживание автомобилей, электрических подстанций, нефтепроводов, сносить ветхое жилье и т. п.

2.6. Компьютерный практикум

Рассмотрим задачи на вычисление в пакете EXCEL упомянутых в этом параграфе распределений. В EXCEL все функции, с помощью которых вычисляются вероятности и плотности вероятностей наиболее употребительных законов распределения, объединены в категорию Статистические. Их мы и будем использовать.

2.6.1. Вычисление плотности нормального распределения в заданной точке. Решим следующую задачу: вычислить плотность нормального распределения

в заданной точке x. Эта плотность зависит от двух параметров a и σ, которые называются средним и стандартным отклонением соответственно.

Пример 1.2.1. Пусть рост девушек-студенток первого курса распределен по нормальному закону с параметрами a =168 см, σ=6 см. Вычислим значение плотности в точке x =175 см. Введем значение 175 в ячейку электронной таблицы, например в A1. Затем отметим курсором ячейку, в которую мы хотим поместить результат вычисления, например B1. Установим курсор мыши на поле fx , соответствующее вставке функции. Эти действия отображены на рис. 1.21. (То же

Рис. 1.21. Вставка функции

самое можно получить по-другому, если в главном меню Вставка выбрать меню fx Функция.)

Кликнув левой клавишей мыши на поле fx , откроем диалоговое окно Мастер функций — шаг 1 из 2. В поле Категория: выберем значение Статистические. После этого в поле Выберите функцию: отобразятся функции, объединенные в эту категорию функций. В этом поле выберем функцию НОРМРАСП (см. рис. 1.22).

Рис. 1.22. Выбор функции для вычисления плотности нормального распределения

Нажав на клавишу OK , вызовем диалоговое окно Аргументы функции (см. рис. 1.23).

Здесь в поле X введем адрес ячейки аргумента функции плотности (в нашем примере это A1) или само значение аргумента (в нашем примере 175). В поле Среднее введем 168 (это значение параметра a), в поле Стандартное_откл введем 6 (это значение второго параметра

Рис. 1.26. Ввод аргументов функции ПУАССОН

Пример 1.2.2. Пусть λ=4,5. Вычислим p(m) = λm e−λ для несколь- m!

ких первых значений m, например m =0, 1, …, 15. Сначала подготовим столбец A с этими значениями m. Затем, установив курсор в ячейку B1, вызовем статистическую функцию ПУАССОН. Эта функция имеет три аргумента, которые нужно ввести в соответствующие поля. В поле X для значения аргумента введем адрес ячейки с первым аргументом A1. В поле Среднее нужно ввести значение параметра λ (в нашем примере λ=4,5). В поле Интегральная введем значение 0 (ЛОЖЬ). Заполнение этих полей изображено на рис. 1.26.

Распространим значение функции на весь столбец B, протащив маркер заполнения вниз при нажатой левой клавиши мыши. Результат вычисления вероятностей распределения Пуассона и график соответствующих вероятностей изображен на рис. 1.27. Заметим, что при m =4 эта функция принимает максимальное значение.

2.6.4. Вычисление вероятностей в схеме простого случайного выбора из конечной совокупности. Покажем, как можно вычислить в пакете EXCEL вероятности (2.2.6), соответствующие простому случайному выбору из конечной совокупности без возвращения. Распределение, заданное вероятностями (2.2.6), называется гипергеометрическим.

Пример 1.2.3. Рассмотрим разобранный выше пример формирования фокус-группы из n =24 студентов. Напомним, что мы проводим простой случайный выбор из N =100 студентов, среди которых M = 20 отличников. Ясно, что в выборке из 24 студентов может оказаться от 0 до 20 отличников. Вычислим все эти вероятности. Под-

После нажатия на клавишу OK получим в ячейке B1 вероятность для m =0 и распространим формулу на весь столбец. Результат вычисления показан на рис. 1.30. Здесь же построен график вычисленных вероятностей.

Заметим, что максимальная вероятность достигается при m = 5 (т. е. вероятность того, что в нашей выборке из 24 студентов окажется 5 отличников, больше, чем вероятность любого другого их числа). Заметим также, что вероятности при m >5 начинают убывать и уже при m ¾11 не превосходят 0,001, а вероятность выбора всех отличников (m =20) ничтожно мала. Это событие почти невозможное.

Замечание. К сожалению, в EXCEL нет стандартной процедуры, с помощью которой можно осуществить простой случайный выбор заданного объема из конечной совокупности без повторения. Процедура Выборка, вызываемая из Анализ данных, осуществляет случайный выбор с возвращением, при котором любое значение может встретиться не один раз.

2.7.Задачи

1.Средний срок безотказной работы ноутбука составляет пять лет. Считая, что время безотказной работы ноутбука описывается экспоненциальным распределением, вычислите вероятности следующих событий:

а) ноутбук безотказно прослужит менее среднего срока службы (сравните полученное число с 1/2);

б) ноутбук безотказно прослужит от пяти до десяти лет; в) ноутбук безотказно прослужит более десяти лет;

г) найдите такое значение момента времени t, что вероятность того, что ноутбук безотказно проработает больше этого срока, равна 1/2. Сравнить полученное число со средним сроком безотказной работы.

2.Известно, что изменчивость роста девушек 18—20 лет хорошо описывается плотностью нормального распределения f ( x, a, σ). При этом f ( x, a, σ) ≈0,079 при x =167, что соответствует среднему росту девушек, и f ( x, a, σ) ≈0,01 при x =177, что соответствует высокому росту. Во сколько раз больше вероятность встретить девушку среднего роста (167 см) по сравнению с девушкой, рост которой 177 см?

3.Скорость реакции на звук у разных людей отличается. Ее изменчивость хорошо описывается плотностью нормального распределения f ( x, a, σ), которая достигает своего максимума при x ≈160 мс (миллисекунд). В спорте принято считать, что встретить у человека

скорость реакции менее 100 мс — событие практически невозможное (на основании этого правила фиксируются фальстарты). Используя рис. 1.17, определите примерно верхнюю границу параметра σ указанного нормального закона распределения.

4.Для распределения Пуассона с параметром λ=1 вычислите вероятность P( A) события:

а) A ={ω: ω<1}; б) A ={ω: ω¾2}; в) A ={ω: ω¾3}.

5.Среди N = 100 студентов на курсе юноши составляют 10%. Социологи отбирают случайным образом для анкетирования группу n =20 человек. Вычислите вероятности следующих событий:

а) группа будет состоять из одних девушек (является ли это событие практически невозможным?);

б) в группу попадет только один юноша; в) в группу попадут ровно три юноши;

г) какое количество юношей в группе следует отнести к практически невозможным событиям, понимая под последними события с вероятностью менее 0,001?

§3. Независимые события. Условные вероятности

В этом параграфе вводятся понятия независимых событий и экспериментов. Рассматриваются понятие условной вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса.

3.1. Независимые события

Опираясь на введенное понятие вероятности и операции с событиями, введем одно из самых важных понятий теории вероятностей: понятие статистической (стохастической) независимости.

Определение 3.1.1. События A и B называются независимыми,

Подчеркнем, что события A и B должны относиться к одному случайному эксперименту, т. е. принадлежать одному пространству элементарных исходов. Если равенство (3.1.1) не выполняется, события A и B не являются независимыми. Просторечно их называют зависимыми.

В приведенном определении порядок упоминания событий не важен, так как очевидно, что A ∩B =B ∩A и P( A)P(B) =P(B)P( A). Други-