tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Пример 1.1.1. Пять раз сгенерировать возможные результаты случайного эксперимента, в котором идеальная монетка подбрасывается 10 раз.

Выбор процедуры. В меню панели управления EXCEL выберите пункт Сервис. В открывшемся меню (рис. 1.5) выберите пункт Анализ данных. (Если этот пункт отсутствует в меню, значит, пакет анализа данных не загружен в EXCEL. Для загрузки пакета анализа данных в меню Сервис (рис. 1.5) выберите пункт Надстройки. С помощью открывшего меню подключите пакет анализа данных в EXCEL.) В меню Анализ данных (рис. 1.6) выберите пункт Генерация случайных

чисел.

Рис. 1.6. Выбор процедуры Генерация случайных чисел в пакете Анализ данных в EXCEL

Заполнение полей ввода данных и параметров процедуры. В открывшемся окне ввода процедуры (рис. 1.7) в соответствующих полях укажите число переменных (пять, согласно условию задачи) и число случайных чисел (десять, согласно условию задачи), как это показано на рис. 1.7. Каждая переменная (столбец в таблице) будет соответствовать результатам случайного эксперимента, в котором монетка подбрасывается 10 раз. В поле распределение укажите Бернулли, а в качестве значения параметра этого распределения p укажите 0,5. (Обсуждение распределения Бернулли и смысла его параметров будет дано на с. 174.) Далее укажите, куда следует поместить генерируемые числа (скажем, на новый лист рабочей книги).

Результаты. Заполнив все необходимые поля окна процедуры, нажмите OK . Результаты работы процедуры появятся в указанном месте листа рабочей книги EXCEL, как это показано на рис. 1.8.

Рис. 1.7. Окно задания параметров процедуры Генерация случайных чисел

Обратите внимание на то, что в разных экспериментах (сериях из десяти испытаний) наблюдалось, вообще говоря, разное число наступлений события A. Так в первой серии испытаний (столбец A на рис. 1.8) их было 7, во второй (столбец B на рис. 1.8) — 9 (что может показаться неправдоподобным), а в третьей — только 4.

Комментарии . Разобранная процедура позволяет генерировать наступление событий, вероятность получения которых в однократном испытании может и не равняться 0,5. Параметр распределения Бернулли p как раз и означает вероятность наступления события A в однократном испытании. Так, для моделирования выпадения шестерки на игральной кости следовало бы указать p =1/6.

Отбор наблюдений, удовлетворяющих заданным условиям. Обсуждая действия с событиями, мы ввели операции объединения, пересечения и дополнения событий. При этом само событие мы часто описываем на словах с помощью одного или нескольких условий. Иначе говоря, из всего пространства элементарных исходов Ω, фор-

Рис. 1.8. Результаты генерации процедуры Генерация случайных чисел

мируя событие A, мы отбираем те элементарные события ω, которые удовлетворяют сформулированному набору условий. В статистических исследованиях роль пространства элементарных исходов Ω играет некоторая генеральная совокупность. Имеющиеся у исследователя данные при этом рассматриваются как выборка из этой совокупности. При этом часто возникает необходимость отобрать среди всех имеющихся наблюдений лишь те, которые отвечают некоторому условию или набору условий. Если данные занесены в компьютер, то подобные процедуры можно осуществлять автоматически. Рассмотрим как это можно сделать в EXCEL. В качестве примера возьмем список курса, в котором кроме Ф. И. О. студента фигурируют его номер студенческой группы и оценки по математике, английскому языку и философии по 10-балльной системе1. Часть подобного списка приведена на рис. 1.9.

Пример 1.1.2. 1. Выбрать из списка всех студентов группы 182.

2.Выбрать из списка всех студентов групп 181 и 183.

3.Выбрать из списка всех студентов, у которых оценки по математике больше или равны 8, а оценки по английскому языку меньше 8.

1 В некоторых российских вузах, в частности в Высшей школе экономики, учет знаний производится не только по пятибалльной, но и по десятибалльной системе.

Рис. 1.13. Меню задания условия отбора

отбора появится специальный маркер — стрелка вниз. Щелкните мышью на этом маркере и откройте меню отбора, показанное на рис. 1.11.

Для выполнения первого задания достаточно выбрать в меню отбора нужное значение группы, как показано на рис. 1.11. Результаты этого отбора представлены на рис. 1.12.

Для выполнения второго задания выберите в меню отбора пункт условие. На экране появится дополнительное меню задания условия (рис. 1.13). В нем следует указать, что признак группы равен 181 или равен 183, как это показано на рис. 1.13.

Для отбора студентов с заданными оценками по двум предметам (задание 3) примените только что описанную процедуру последовательно сначала к столбцу с оценками по математике, а затем к столбцу с оценками по английскому языку. При этом при работе со столбцом оценок по математике в левом поле окна Пользовательский автофильтр (рис. 1.13) укажите условие отбора «больше или равно», а в правом поле напротив — значение 8. Тем самым будут отобраны все студенты, у которых оценка по математике 8 и более. Затем аналогичным образом поступите с отбором по столбцу оценок английского языка. В результате будет получено требуемое подмножество студентов.

Комментарии. После выполнения отбора наблюдений в EXCEL в таблице остаются лишь наблюдения, удовлетворяющие указанным условиям. Однако остальные данные при этом не уничтожаются. В любой момент можно восстановить все данные, выбрав в меню Автофильтра опцию «все» (см. рис. 1.11).

28Глава 1. Основы теории вероятностей

1.4.Задачи

1.В случайном эксперименте подбрасываются одновременно три неразличимых игральных кости. Постройте два возможных различных пространства элементарных событий в этом эксперименте. Сколько элементарных событий будет в каждом из этих пространств? Равновозможны ли элементарные события в каждом из этих пространств1?

2.Психологический тест состоит из 20 вопросов, на каждый из которых предложено 3 варианта ответа. Каждый вариант ответа на вопрос оценивается в нуль, один или два балла. Для подведения итогов теста вычисляется сумма баллов по всем данным ответам.

2.1.Сколько различных комбинаций ответов существует в этом те-

сте?

2.2.Какое наибольшее число баллов можно набрать в тесте? Сколько комбинаций ответов приводит к наибольшему числу баллов?

2.3.Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 39 баллам?

2.4.Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 38 баллам?

2.5.Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 37 баллам?

3.В кастинге необходимо отобрать трех исполнителей для мюзикла. На просмотр пришли 10 человек, 5 из которых отвечают требованиям отбора. Претендентов просматривают по очереди в случайном порядке. Процедура просмотра прекращается, как только набирается 3 подходящих исполнителя.

3.1.Какое наименьшее число претендентов нужно просмотреть для завершения отбора?

3.2.Какое наибольшее число претендентов нужно просмотреть для завершения отбора?

3.3.Сколькими различными способами можно отобрать трех подходящих претендентов, просмотрев четырех первых претендентов?

4.В совет директоров компании необходимо выбрать трех человек из 8 претендентов. Сколькими способами это можно сделать?

5.На инвестиционный конкурс поступило 5 заявок, которые вскрываются по очереди в случайном порядке. Сколько различных последовательностей вскрытия заявок существует при этом?

1 Одно из первых известных решений этой задачи предложил в 960 г. епископ Виболд из города Камбре на севере Франции. Затем к решению этой задачи не раз обращались разные авторы, включая Б. Паскаля. Окончательно обсуждение этого вопроса прекратила работа Г. Галилея (1564—1642), опубликованная в 1718 г. Более подробно история этой задачи, вызывавшей споры на протяжении семи столетий, изложена в книге [8].

Событие, вероятность которого равна 1, называют достоверным. Такое событие непременно осуществляется при проведении данного случайного эксперимента.

Событие, вероятность которого равна 0, называют невозможным. В рамках данного опыта оно не происходит. Практическое значение вероятности события A в том, что она (вероятность) дает нам количественное представление о том, каковы шансы события A на его осуществление в данном опыте: если вероятность события A близка к 1, мы считаем это событие близким к достоверному и с большой уверенностью ожидаем, что оно произойдет. Если же вероятность события A близка к 0, мы относимся к нему как к почти невозможному. Мы почти уверены, что в данном опыте событие A не наступит. Почти невозможные и почти достоверные события играют основополагающую роль в теории статистического вывода. Именно на эти понятия опирается практика проверки статистических гипотез и доверительное оценивание. Поэтому в дальнейшем, обсуждая те или иные распределения вероятностей, мы будем уделять этим событиям особое внимание.

Одругих свойствах вероятности мы будем говорить позже, в п. 2.3.

Асейчас опишем, как конструктивно можно задать вероятность для множеств из Ω, т. е. для событий. Технически задание вероятностей различается для непрерывных и дискретных пространств элементарных исходов.

2.1. Вероятности в непрерывных пространствах

Обсуждая в предыдущем параграфе случайные эксперименты, связанные со временем (временем службы изделия, ожидания или выполнения работ и т. п.), мы столкнулись с ситуацией, когда множество элементарных исходов представляет всю числовую прямую или какую-то ее часть. В более общем случае, когда в результате случайного эксперимента (скажем, при выборе человека из некоторой совокупности или изделия из партии изделий) фиксируются одновременно несколько метрических характеристик объекта, пространство элементарных исходов представляет часть плоскости или многомерного пространства. Во всех этих случаях число возможных элементарных исходов, как уже говорилось, не только бесконечно, но и несчетно. Перечисленные выше пространства (числовую прямую, числовую плоскость и т. д.) мы будем именовать непрерывными пространствами. Более строгое математическое определение непрерывности нам не потребуется. Как правило, мы сталкиваемся с непрерывными пространствами на практике, когда говорим об измерениях длины, веса,