7-8
.doc
Вопрос 7.Свойства определённого интеграла.
= + .
= c·.
= + .
≤ .
m(b-a) ≤ ≤ M(b-a).
= f(c) ·(b-a). Доказательство:Пусть m ,M – наименьшее и наибольшее значения f(x) на отрезке [a,b], существующие по 1ой теореме Вейерштрасса. По свойству 5) m ≤ ≤ M Обозначим = µ. Так как f(x) непрерывна на [a,b], то по 2ой теореме Больцано-Коши, она принимает промежуточное значение µ в некоторой точке C отрезка [a,b], такое, что µ = f(c), т.е. f(c) = или = f(c) · (b-a). Рис.5 Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a,b], то рис.5 = , площадь криволинейной трапеции aABb равна площади прямоугольника ab с тем же основанием и с некоторой средней ординатой f(c) в качестве высоты.
|
Вопрос 8.Определенный интеграл с переменным верхним пределом.Пусть функция f(t) интегрируема на отрезке [a,b]. Возьмем x [a,b]. По свойству интегрируема и на отрезке [a,х]. Подсчитаем . Это будет некоторое число, равное площади криволинейной трапеции aAXx (рис.6). Рис.6 Таким образом x [a,b] ставится в соответствие число , которую называют определённым интегралом с переменным верхним пределом. Теорема. Пусть функция f(t)непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда функция F(x) имеет производную в каждой точке x [a,b], причем = (2.8) Доказательство. Дадим аргументу приращение и подсчитаем приращение функции . =F(x+)- F(x)= . По свойству. По теореме о среднем (свойство ) найдется точка с [x; x+], такая что = Составим разностное отношение
Тогда = = = = f(x) в силу непрерывности f(x) на [a,b]. Таким образом, мы доказали утверждение, сформулированное в главе 1 о том, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) всегда существует первообразная; примером её является определённый интеграл с переменным верхним пределом F(x)=. Формула Ньютона-Лейбница.Теорема. Пусть Ф(х) – какая-либо первообразная для непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула: = Ф(b) – Ф(a) = Ф(x). (2.9) ДоказательствоДля непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) интеграл F(x) = является первообразной функцией. Зная, что разность между двумя первообразными равно постоянному числу. Т.е. F(x) – Ф(x) = C. Чтобы определить C, положим здесь x = a и учтем, что F(a) = 0. Тогда 0 – Ф(а) = С или С = -Ф(а). При х = b получим F(b) = = Ф(b) – Ф(a).Формулу (2.9) называют формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает, что значение определенного интеграла равно разности двух значений любой первообразной функции – значению в верхнем пределе интеграла и значению в нижнем пределе интеграла.
|