В силу теоремы Коши контуры интегрирования в (5.8) и (5.10) могут быть произвольно деформированы, лишь бы они оставались в кольце аналитичности подынтегральных функций, так что обе формулы могут быть объединены в одну:

где C — произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2 < |z −z0| < R1 и содержащий точку z0 внутри себя.

Окончательно получаем

Докажем единственность разложения (5.12), пусть имеется еще и другое разложение

∞

f (z) = c n(z − z0)n,

n=−∞

где хотя бы один c n = cn. Тогда всюду внутри кольца R2 < |z −z0| < R1 должно выполняться равенство

∞∞

Проведем окружность CR радиуса R (R2 < R < R1) с центром в z0. Оба ряда (5.13) сходятся на ней равномерно. Умножим их на (z − z0)−m−1 (m — целое) и проинтегрируем почленно, так как z − z0 = Reiϕ, то

Из (5.14) следует, что в (5.13) после указанных операций останется по одному члену справа и слева, то есть получится cm = c m, что и доказывает единственность разложения (5.12).

Ряд (5.12) будет оставаться сходящимся к f (z) при увеличении радиуса внешней окружности и уменьшении радиуса внутренней, пока на границах кольца не окажется хотя бы по одной особой точке f (z).

5.2Классификация изолированных особых точек.

Определение 5.1 Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f (z), если f (z) — однозначная аналитическая функция внутри кругового кольца 0 < |z −z0| < R (круга с выколотым центром), а точка z0 — особая точка функции f (z).

В самой точке z0 функция f (z) может быть не определена.

Поскольку выполняются условия теоремы 5.1, функция f (z) может быть разложена в окрестности точки z0 в ряд Лорана, который сходится в кольце 0 < |z − z0| < R.

При этом возможны три случая:

1) главная часть ряда Лорана не имеет ни одного члена,

45

2)главная часть ряда Лорана имеет конечное число членов,

3)главная часть ряда Лорана имеет бесконечное число членов.

Указанные случаи разбираются по отдельности далее.

5.2.1Устранимая особая точка.

Пусть ряд Лорана содержит только правильную часть, то есть

∞

f (z) = cn(z − z0)n,

n=0

но тогда существует lim f (z) = c0. Можно доопределить (или переопределить) функцию

z→z0

f (z) в точке z0, положив f (z0) = c0. Доопределенная (или переопределенная) таким образом функция f (z) будет аналитической всюду внутри круга |z−z0| < R, такая точка z0 называется

устранимой особой точкой.

Можно оформить сказанное в виде теоремы:

Теорема 5.2 Если z0 является устранимой особой точкой аналитической функции f (z),

то существует конечный предел lim f (z) = c0.

z→z0

В окрестности устранимой особой точки z0 функция f (z) представима в виде

Теорема 5.3 Если функция f (z), аналитическая в круговом кольце 0 < |z − z0| < R, ограничена (|f (z)| < M при 0 < |z − z0| < R), то z0 — устранимая особая точка функции f (z).

По теореме 5.1 функция f (z) разложима в сходящийся ряд Лорана, причем

в качестве C выберем Cρ — круг радиуса ρ с центром в z0. По условиям теоремы выполняется неравенство |cn| < M ρ−n, возьмем n < 0; так как значение cn не зависит от ρ, то должно быть cn = 0 для всех n < 0.

5.2.2Полюс порядка m.

Пусть главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, так что

∞

f (z) = cn(z − z0)n,

n=−m

тогда точка z0 называется полюсом порядка m функции f (z).

Теорема 5.4 Если точка z0 является полюсом аналитической функции f (z), то при z → z0 |f (z)| неограниченно возрастает независимо от способа стремления z к z0.

46

В окрестности точки z0 функция f (z) представима в виде

n=0

Видим, что ϕ(z) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки z0, но отсюда сразу же следует утверждение теоремы.

Замечание. Если считать ϕ(z0) = c−m = 0, то последнюю формулу можно записать в виде

где ψ(z) — аналитическая функция и ψ(z0) = 0, а число m называется порядком полюса.

Теорема 5.5 Если функция f (z), аналитическая в окрестности своей изолированной особой точки z0, неограниченно возрастает по модулю при любом способе стремления z → z0, то точка z0 является полюсом функции f (z).

Для любого A > 0 можно указать δ-окрестность точки z0, в которой |f (z)| > A.

1 . В указанной δ-окрестности точки z0 функция g(z) аналити- f (z)

ческая и ограниченная. По теореме 5.3 тогда точка z0 — устранимая особая точка функции g(z) и по (5.15) в окрестности точки z0 можно представить g(z) = (z − z0)mϕ(z), где ϕ(z) — аналитическая и ϕ(z0) = 0.

где ψ(z) — аналитическая функция, что совпадает с представлением (5.16), что и доказывает утверждение теоремы.

Для практики важно такое следствие: если z0 является нулем порядка m для функции g(z), то z0 является полюсом порядка m для функции f (z) = 1/g(z) и наоборот.

5.2.3Существенно особая точка.

Пусть главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, тогда z0 называется

существенно особой точкой.

Теорема 5.6 (Теорема Сохоцкого–Вейерштрасса.) Для любого ε > 0 в любой окрестности существенно особой точки z0 функции f (z) найдется хотя бы одна точка z1, в которой модуль разности f (z) и любого наперед заданного комплексного числа B меньше ε.

Пусть теорема неверна. Тогда для данного B и данного ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех z из δ-окрестности z0 будет выполняться

47

1

Введем функцию ψ(z) = f (z) − B . В силу (5.17) функция ψ(z) определена и ограничена

в δ-окрестности точки z0. Но тогда по теореме 5.3 точка z0 является устранимой особой точкой функции ψ(z), которая в ее окрестности записывается по (5.15) как

ет, что z0 или полюс порядка m, или правильная точка функции f (z) (если m = 0), и главная часть ряда Лорана должна содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

Следовательно, исходная предпосылка неверная, что и доказывает теорему.

5.3Бесконечно удаленная точка как изолированная особая точка однозначной аналитической функции.

Определение 5.2 Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f (z), если можно указать такое значение R, что вне круга |z| < R функция f (z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z = 0.

Поскольку f (z) — аналитическая в кольце R < |z| < ∞, то ее можно разложить в ряд Лорана

n=−∞

сходящийся к f (z) в данном кольце. Так же возможны три случая:

1) Точка z = ∞ называется устранимой особой точкой функции f (z), если в разложении (5.19) не окажется членов с положительными степенями z — иначе, если существует конечный предел lim f (z).

z→∞

Если при этом c0 = c−1 = . . . = c−m+1 = 0, а c−m = 0, то z = ∞ является нулем порядка m функции f (z).

2)Точка z = ∞ называется полюсом порядка m функции f (z), если разложение (5.19) содержит конечное число членов с положительными степенями z — иначе, если функция f (z) неограниченно нарастает по модулю при z → ∞ независимо от способа предельного перехода.

3)Точка z = ∞ называется существенно особой точкой функции f (z), если разложение (5.19) содержит бесконечное число членов с положительными степенями z — иначе, если при z → ∞ можно получить любое наперед заданное значение предела за счет выбора пути такого предельного перехода.

Характер особой точки z = ∞ функции f (z) такой же, как у особой точки ζ = 0 функции f (1/ζ) = ϕ(ζ).

48

Видим, что lim f (z) = 1, переопределим заданную функцию в точке z = 0, считая ее

5.2 Функция f (z) = ctg2 z, видим, что z = 0 — особая точка.

Поскольку z = 0 — нуль второго порядка функции 1/ ctg2 z = tg2 z = sin2 z/ cos2 z (так

Видим, что главная часть ряда Лорана имеет бесконечное число членов.

49