двушаговй метод наименьших квадратов

Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих деятельность этой системы. Поэтому для описания механизма функционирования таких систем обычно изолированных уравнений регрессии недостаточно.

Практически изменение какого-либо показателя в экономической системе, как правило, вызывает изменение целого ряда других. Так изменение производительности труда влияет на затраты труда, а, следовательно на себестоимость, прибыль, рентабельность производства и пр.

Все это вызывает потребность использования при описании сложных экономических явлений и процессов систем взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств. Особенно актуальна необходимость в применении таких систем при моделировании на макроуровне, так как макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Например, при построении модели национальной экономики необходимо рассмотреть уравнения, описывающие потребление, инвестиции, прирост капиталовложений, воспроизводство трудовых ресурсов, производство продукта и пр.

Переменные, входящие в систему уравнений подразделяют на экзогенные, эндогенные и лаговые (эндогенные переменные, влияние которых характеризуется некоторым запаздыванием, временным лагом ).

Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными, т. е. определенными заранее.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой теоретической концепции модели. Экономические показатели могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возраст) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Сущность метода.

Пусть X — множество факторов эконометрической модели, часть которых могут быть эндогенными, часть экзогенными. Пусть также дано множество экзогенных для модели переменных Z (часть из них может участвовать в модели, а часть нет). Количество инструментов должно быть не меньше количества исходных факторов модели.

Процедура двухшагового МНК заключается в следующем:

Шаг 1. Обычным МНК оценивается регрессия факторов X на инструменты . Оценки параметров этой модели, очевидно, равны:

.

В результате получаем следующие оценки исходных переменных:

Шаг 2. На втором этапе оценивается (также обычным МНК) исходная модель с заменой факторов модели на их оценки, полученные на первом шаге:

Учитывая, что  окончательно получаем формулу оценок двухшагового МНК:

Если ковариационная матрица случайных ошибок модели пропорциональна единичной, то есть , то ковариационная матрица этих оценок равна 

Основная идея ДМНК состоит в следующем:

· на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения расчетные значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части этого уравнения;

· подставляя найденные расчетные значения эндогенных переменных вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:

· на первом шаге при определении параметров приведенной формы модели и нахождении на их основе оценок расчетных значений эндогенных переменных ;  ;

· на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, когда вместо фактических значений эндогенных переменных рассматриваются их расчетные значения, найденные на предыдущем шаге.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

· все уравнения системы сверхидентифицируемы;

· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним можно найти на основе косвенного МНК. Двухшаговый метод, примененный к точно идентифицированным уравнениям дает такой же результат, что и косвенный МНК.

Рассмотрим пример:

(1)

Система является сверхидентифицируемой: первое уравнение идентифицируемо, а второе уравнение сверхидентифицируемо. Поэтому для определения коэффициентов первого уравнения можно применить косвенный МНК, а для второго уравнении двухшаговый МНК.

Построим приведенную форму модели:

 

Исходные данные задачи (в млрд. руб.)

годы						Предсказанное
1999	4823.23	2281.18	670.44	674	2629.62	4182,05
2000	7305.65	3009.42	1165.23	1014.2	4823.23	6731,57
2001	8943.58	3972.81	1504.71	1193.5	7305.65	9496,45
2002	10830.54	5001.77	1762.41	1947.3	8943.58	11692,48
2003	13243.24	6147.26	2186.37	2345.6	10830.54	13947,4
2004	17048.12	7670.68	2865.01	2659.4	13243.24	16716,24
2005	21625.37	9613.84	3611.11	3472.1	17048.12	21268,68
2006	26903.49	11927.59	4730.02	4284.8	21625.37	26648,73
2007	33258.14	14831.38	6716.22	5983	26903.49	33297,77

Найдем параметры модели (1), применяя МНК к каждому уравнению,

используем « Пакет анализа» EXCEL):

 (2)

Каждое уравнение статистически значимо (– статистики: =1302,55;

=281,956; =847,65). Коэффициенты детерминации свидетельствуют о хорошей связи между эндогенными и предопределенными переменными:=0,9977; =0,989; =0,996.

На основе уравнений модели (2) найдем структурные коэффициенты первого уравнения.

Выразим из третьего уравнения (2) переменную  и подставим в первое уравнение.

Получим первое структурное уравнение: 

Так как второе уравнение сверхидентифицировано, то применим двухшаговый МНК. Найдем на основе третьего уравнения (2) расчетные значения переменной  ( столбец «предсказанное ») и используем их для нахождения параметров второго структурного уравнения.

Получим: 4; .

В результате получим следующую систему структурных уравнений:

7