223
.pdfБЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Техническая физика»
Лаборатория электричества и магнетизма
Лабораторная работа № 223
ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Составитель: Колесникова М. Т.
Минск 2005
1
Цель работы:
Изучить процессы, протекающие в колебательном контуре при его возбуждении и выяснить влияние параметров контура на характер свободных колебаний.
Контрольные вопросы:
1. Какие колебания называются свободными?
2.Почему свободные колебания затухают в реальных контурах?
3.По какому закону убывает амплитуда свободных колебаний периодического характера?
4.Как влияет активное сопротивление R , индуктивность L и емкость С на характер свободных колебаний?
5.При каком условии в контуре имеет место периодический процесс и когда он носит апериодический характер?
Литература:
1. Методическое указание к работе.
2. И. В. Савельев "Курс общей физики" Т.2, §100. М., Наука, 1970
Указания по технике безопасности при выполнении лабораторной работы № 223:
Установка для изучения свободных колебаний в колебательном контуре подключена к сети переменного тока напряжением 220 В.
Перед началом работы ознакомиться с правилами безопасности работ в лаборатории и используемым оборудованием, с измерительной установкой, с назначением всех элементов управления установкой, с заданием и порядком выполнения задания по работе.
При обнаружении неисправностей в работе измерительной установки отключить установку от электросети и сообщить об этом преподавателю или лаборанту.
Во время выполнения работы ЗАПРЕЩАЕТСЯ:
1. Включать источники электропитания измерительной установки без предварительной проверки всех подключений преподавателем или лаборантом.
2.Выполнять работу при повреждённых сетевых вилках и повреждённой изоляции соединительных проводов.
3.Проводить переключения соединительных проводов в электрических цепях, находящихся под напряжением.
4.Оставлять без наблюдения измерительную установку с включенным электропитанием.
2
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Свободные колебания в электрическом колебательном контуре (рис.1) возникают при наличии в нем определенного запаса энергии, складывающегося в каждый момент времени из энергии электрического поля (сосредоточенного, в основном, между обкладками конденсатора)
WЭ = q2 , 2C
где q - заряд на обкладках конденсатора, C - емкость конденсатора, и энергии магнитного поля (сосредоточенного главным образом внутри катушки)
= LI 2
WМ 2 ,
где L - индуктивность катушки, I - ток в цепи.
С течением времени за счет потерь на джоулево тепло энергия W = WЭ +WМ будет убывать
dW |
= d(WЭ +WМ ) |
= −P = −I 2 R , |
(1) |
dt |
dt |
|
|
где P - мощность потерь энергии; R - сопротивление цепи, т.е.
q dq |
+ LI dI |
= −I 2 R . |
(2) |
||
|
|
||||
C dt |
|||||
dt |
|
|
3
Используя соотношение между зарядом q и током I вида
I = dq |
, |
(3) |
dt |
|
|
приходим к уравнению:
d 2q |
+ |
L dq |
+ |
1 |
q = 0 . |
(4) |
||
dt2 |
|
|
|
|||||
I dt |
LC |
|||||||
|
|
|
|
Продифференцировав уравнение (4) по времени и используя соотношение (3), описывающему процесс колебаний заряда на обкладках конденсатора, получим уравнение колебаний тока в контуре
d 2 I |
+ |
L dI |
+ |
1 |
I = 0 . |
(5) |
||
dt2 |
|
|
|
|||||
I dt |
LC |
|||||||
|
|
|
|
Решение линейного дифференциального уравнения (4) в случае выполнения неравенства
|
R 2 |
1 |
|
||
|
|
|
< |
|
(6) |
|
LC |
||||
|
2L |
|
|
соответствует затухающим гармоническим колебаниям и имеет следующий вид:
q(t) = qme−δ t sin(ωt + α ) , |
|
(7) |
qm - максимальная величина заряда; δ = R / 2L - коэффициент затухания; ω = |
1 |
− δ 2 - |
|
LC |
|
частота колебаний; α - начальная фаза, связанная с величиной заряда в начальный момент времени соотношением q(0) = qm sinα .
Аналогично решение уравнения (5) можно записать в виде
I (t) = Ime−δ t sin(ωt + β ) , |
(8) |
||
где β - начальная фаза, Im - максимальная величина тока, равная |
|
||
Im = |
qm |
. |
(9) |
|
|||
|
LC |
|
Отношение максимального значения напряжения на конденсаторе Um = qm / C к максимальной величине тока Im в контуре называется характеристическим или волновым сопротивлением контура ρ .
Из формулы (9) следует
4
ρ = Um = |
L . |
(10) |
Im |
C |
|
Используя (10), условия существования гармонических колебаний (6) можно записать в виде
R < 2ρ . |
(11) |
В идеальном контуре (контур без потерь, когда R << ρ ) частота и период свободных колебаний определяются соотношениями
ω |
0 |
= |
1 , T = 2π LC . |
(12) |
|
|
|
LC |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В случае когда
R ≥ 2ρ , |
(13) |
гармонические колебания в контуре не возникают, и происходит апериодический разряд конденсатора.
Количественно степень затухания гармонических колебаний оценивается с помощью логарифмического декремента затухания ∆ равного
∆ = ln |
q0 (t) |
= ln |
U (t) |
, |
(14) |
q0 (t + T ) |
U (t + T ) |
где q0 (t) = qme−δ t - амплитуда колебаний;
T = |
2π |
= |
2π |
- период затухающих колебаний. |
|
ω |
|
ω02 − δ 2 |
|
В контуре с малыми потерями (когда R < ρ )
5
∆ = δT ≈ δT = π |
R |
. |
(15) |
|
|||
0 |
ρ |
|
|
|
|
Отношение волнового сопротивления к активному сопротивлению называется добротностью контура Q :
Q = |
ρ |
= |
1 |
L . |
(16) |
|
R |
|
R |
C |
|
Как видно из соотношений (14) - (16), чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания в контуре.
Если рассмотреть отношение энергии, запасенной в контуре, к потерям энергии на активном сопротивлении за период, то при малом затухании имеем
|
W (t) |
|
|
|
|
LIm2 |
|
|
1 |
|
Q |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
≈ |
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(17) |
||||
|
W (t + T ) |
|
LIm2 |
(1− e−2δ T ) |
2δT |
2π |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная установка и методика изучения свободных колебаний в колебательном контуре.
Наблюдение свободных колебаний осуществляется с помощью осциллографа. Четкость изображения достигается ручками "яркость" и "фокус", подсветка шкалы экрана - ручкой "освещение шкалы". Перед началом работы соберите схему согласно рис.2.
6
Колебательный контур содержит два конденсатора C1 и C2 . Возбуждение колебаний в исследуемом контуре производится треугольным импульсом напряжения, который через разделительный конденсатор Cp поступает в контур. Перед началом измерений включите в
контур конденсатор C1 и ручку временной развертки осциллографа в положение 100 µs/cm
или в позицию, близкую данному значению. После этого включите осциллограф в сеть ручкой "сеть"; затем через 3-5 минут, после прогрева прибора, выведите осциллограмму колебаний на середину экрана симметрично относительно оси X ручками смешения по оси Y и ручкой смещения вдоль оси X. Подождите несколько минут и установите ее относительно осей координат экрана осциллографа приблизительно так, как это указано на рис.3 симметрично относительно оси X.
Получив кривую свободных колебаний, определите в соответствии с ее положением относительно осей координат:
1. Период свободных колебаний
T = Cx XT ,
где Cx - цена деления по оси X (т.е. положение ручки временной развертки осциллографа; XT - длина отрезка ( выражена в сантиметрах), соответствующая периоду колебаний
(см. рис. 3).
2. Логарифмические декременты ∆1, ∆2 , ∆3 и среднее значение логарифмического декремента ∆ср :
7
∆ = Y1 |
, ∆ |
2 |
= Y2 |
, ∆ |
3 |
= Y3 |
, ∆ |
ср |
= ∆1 + ∆2 + ∆3 . |
|
1 |
Y2 |
|
Y3 |
|
Y4 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
где Y1 , Y2 , Y3 , Y4 - длины отрезков, изображающих амплитуды соседних колебаний (см. рис. 3).
3. Среднее значение коэффициента затухания δср
δcр = ∆Тср .
Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XT |
T |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
∆1 |
∆2 |
∆3 |
∆ср |
|
δср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты эксперимента сравните с теоретическим расчетом, который представьте в виде таблицы 2:
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|
Результаты расчета |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
C |
R |
T |
ν |
δ |
∆ |
ρ |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207 мГн |
3300 пФ |
300 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет проводите по формулам:
T = 2π LC , ν = 1/ T , δ = 2RL , ∆ = δT , ρ = CL , Q = ρR .
8
Изменяя сопротивление контура с помощью магазина сопротивлений, добейтесь такого условия, когда R = 2ρ . На экране будет наблюдаться кривая апериодического процесса
(рис.4). Зарисуйте ее в отчет.
По результатам выполненной работы оформите отчёт и подготовьтесь к защите работы.