Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Строительная механика

.pdf

Скачиваний:

572

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Разделив все слагаемые уравнений (6.32) на ω2 и обозначив, ω12 = λ ,

характеристическое уравнение частот, называемое вековым уравнением, получаем в виде:

	(δ11m1 − λ)	δ12m2	K δ1n mn
	(δ11m1 − λ)	δ12m2	K δ1n mn
D =	δ21m1	(δ22m2 − λ)	K	δ2 n mn	= 0	(6.33)
	K	K	K	K
	δn1m1	δn 2m2	K	(δn n mn − λ)

Раскрыв равенство (6.33), получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно λ , а решив его найдем значение его корней λ1, λ2 , Kλn .

По формуле ω	i	=	1 находим частоты колебаний ω , ω	2	, Kω	n	.
	i		1	2		n
			λi

Уравнение (6.33) справедливо для любых систем (балки, рамы, фермы и др.) как статически определимых, так и статически неопределимых. В последнем случае эпюры изгибающих моментов (балки, рамы) для определения перемещений δii должны быть построены от сил Pi =1 в заданной статиче-

ски неопределимой системе, и поэтому при определении перемещений δik

эпюры вспомогательного состояния (M k ) могут быть взяты в любой стати-

чески определимой основной системе метода сил.

В практических расчетах обычно нужно знать наименьшую частоту собственных колебаний ωmin (соответствует наибольшему значению корня

λmax ), которую принято называть основной частотой колебаний системы.

6.7. Определение внутренних сил и перемещений при действии динамической нагрузки

При действии на систему динамической нагрузки гармонического характера массы системы будут совершать, кроме собственных колебаний, вынужденные колебания с той же частотой, что и частота возмущающей силы. Выше (п. 6.4) на примере системы с одной степенью свободы показано, что в реальных условиях, при наличии сил сопротивления, свободные колебания с

151

течением времени затухают. Поэтому их можно не учитывать и рассматривать систему при установившихся вынужденных колебаниях.

При вынужденных колебаниях перемещения масс системы происходят под влиянием действующих на них динамических нагрузок P(t) и сил инер-

ции I1, I2 , KIn , приложенных в точках расположения этих масс. Если воз-

мущающие динамические нагрузки подчиняются одному и тому же закону, обладают одной и той же частотой, то все параметры упругой системы, зависящие от этих нагрузок, в том числе инерционные силы, достигают своего амплитудного (наибольшего) значения в один и тот же момент времени. В тот же момент времени будут достигать своего максимального значения все внутренние силы и перемещения системы. Исходя из этого в линейнодеформируемой системе, максимальное значение, например, изгибающего момента Мi D в некотором ее сечении i определиться выражением

M i D = M i p +		i1I1 +		i 2 I2 +K+		i n In ,	(6.34)
	M		M		M

где Mi p – изгибающий момент в сечении i , вызванный статическим действием амплитудных значений динамических нагрузок;

M i1,M i 2 ,K, M i n – изгибающие моменты в сечении i, вызванные по-

очередно прикладываемыми в местах расположения масс статическими силами P1, P2 , K, Pn , равными единице;

I1, I2 , KI n – максимальные значения инерционных сил.

Из формулы (6.34) видно, что эпюры динамических изгибающих моментов строятся по тому же принципу, что и окончательные эпюры изгибающих моментов при расчете статически неопределимых систем, например, методом перемещений. Проверки правильности эпюры динамических моментов (M D ) в статически определимых и статически неопределимых сис-

темах остаются обычными. Например, для проверки правильности окончательной эпюры динамических моментов в статически неопределимой системе используются статическая и кинематическая проверки.

152

Эпюры поперечных (QD ) и продольных (N D ) сил могут быть по-

строены тем же приемом, что и M D (6.34). В расчетной практике чаще ис-

пользуется другой способ. По эпюре динамических моментов M D обычными приемами строится эпюра поперечных сил QD , а затем, из условий равнове-

сия узлов, – эпюра продольных сил ND . Проверки правильности построения этих эпюр остаются обычными. Можно ограничиться (для систем средней сложности) проверкой равновесия системы в целом, пользуясь уравнениями ∑Мк = 0 ∑X = 0 и ∑Y = 0 , в которые должны войти опорные реакции,

инерционные силы с учетом их фактического направления и заданные динамические нагрузки.

Перемещение любой точки системы (∆i D ), вызванное динамической

нагрузкой, по аналогии с формулой (6.34), можно выразить зависимостью:

	∆i D = ∆i p +δi1I1 +δi 2 I2 +K+δi n In ,			(6.35)
где	∆i p – перемещение точки i системы от статического действия динами-
ческих нагрузок, равных по величине амплитудным своим значениям;
	δi k – перемещения той же точки,		вызванные статическими силами
P =1,	поочередно	прикладываемыми	в местах расположения	масс
m1, m2 , K, mk ,Kmn		по направлению колебаний;

I1, I2 , KI n – максимальные значения инерционных сил.

Из выражений (6.34) и (6.35) видно, что для определения амплитудных значений динамических усилий и перемещений необходимо знать максимальные значения инерционных сил, определение которых показано ниже.

6.8. Канонические уравнения для определения максимальных значений инерционных сил

Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы на примере невесомой балки с n массами, на которые действуют динамические нагрузки

(рис 6.12).

153

Будем полагать, что все действующие на систему возмущающие силы имеют одну и ту же частоту θ и подчиняются одному закону P(t)= P sin(θt), а силы сопротивления движению масс отсутствуют. Пере-

мещения масс, силы инерции этих масс, усилия в системе и ее перемещения так же будут функциями времени, подчиняясь закону изменения нагрузки.

y	P1	(t)	P2(t)
	P1	(t)	P2(t)
	m1	m2
	(t)		(t)
		1	2
	y		y
	m1	m2
		m2
	I1(t)		I2(t)
			I2(t)

Pi (t)

y (t) i

Ii (t)

Pn(t)

mn x

(t)n

y mn

In(t)

Рис. 6.12

На основании принципа независимости действия сил полные перемещения точек расположения масс в любой момент времени можно записать:

y1 (t )= δ11 I1 (t )+ δ12 I 2 (t )+ K + δ1n I n (t )+ ∆1 p (t )= 0 ;

y 2 (t )= δ

21 I

1 (t )+ δ

22 I 2

(t )+ K + δ 2 n I n

(t )+ ∆ 2 p

(t )= 0 ;

(6.36)

K K K K K K K K K K K K

(t )= δ

(t )+ δ

n 2

(t )+ K + δ

n n

(t )+ ∆

n p

(t )= 0 ,

где

yi (t) и Ii (t)

– соответственно перемещение точки расположения массы

и сила инерции этой массы в некоторый момент времени t , а ∆i p (t) –

перемещение массы mi

в это же время, вызванное статическим действием

амплитудного значения динамической нагрузки P(t); δi k – перемещение i -

ой массы от действия статической силы P =1, приложенной в точке к. Перемещение ∆i p (t) можно записать:

∆i p (t)=δi1P1 sinθ t +δi 2 P2 sinθ t +K+δi n Pn sinθ t = ∆i p sinθ t .

Колебания масс будут подчиняться гармоническому закону изменения действующей нагрузки P sinθ t и поэтому перемещение массы mi можно за-

писать:

154

yi (t)= yi sinθ t ,

(6.37)

а вторая производная этого равенства

yi″(t)= −θ 2 yi sinθt .

Инерционная сила определяется равенством:

(t)= −m y

″(t),

или

(t)= m θ 2 y

sinθ t .

С учетом (6.37), I

(t)= m θ 2 y

(t)

откуда

(t)=

Ii (t)

(6.38)

miθ 2

Тогда i -е уравнение системы (6.36) будет

Ii (t)

=δ

(t)+δ

i 2

(t)+δ

i i

(t)

+K+δ

i n

(t)+ ∆

i p

(t)

= 0 ,

m θ 2

или δi1I1 (t)+δi 2 I2 (t)+K+

(t)+K

+δi n In (t)+ ∆i p (t)= 0.

δi i − m θ 2 Ii

На основании (6.38) имеем:

y1(t)=

I (t)

y2 (t)

I (t)

K yn (t)=

(t)

;

m θ 2

Подставив выражение

yi (t)

в уравнение (6.36) и сгруппировав слагае-

мые, получаем:


			1		I1 (t)+δ12 I2 (t)+
	δ11	−	1
	δ11	−	m θ	2
			m θ
			1

						1		(t)+


				δ22 − m θ
δ21I1 (t)+				δ22 − m θ			2 I2
					2

K K K K K K K

δn1I1 (t)+δn 2 I2 (t)+
δn1I1 (t)+δn 2 I2 (t)+							K + δ

K +δ1n In (t)+ ∆1 p (t)= 0;
K	+δ2n In (t)+ ∆2 p (t)= 0;	(6.39)
		(6.39)

K K K K K

n n − mn1θ 2 In (t)+ ∆n p (t)= 0.

Так как все инерционные силы в уравнениях (6.39) являются периодическими функциями Ii (t)= Ii sinθ t и ∆i p (t)= ∆i p sinθ t , то сократив эти

155

уравнения на sinθt и обозначив

−

=δ

получаем:

θ 2

i i

δ11o I1 +δ12 I2 +K+δ1n In + ∆1p = 0

+δ o I

+δ

+ ∆

= 0

2 n

2 p

(6.40)

K K K K K K K K

+δn 2 I2 +K+

+ ∆n p = 0

δn1I1

δn n In

Решив систему уравнений (6.40), определяют максимальные значения инерционных сил, далее по зависимостям (6.34) и (6.35) вычисляют усилия и перемещения, вызываемые динамическими нагрузками.

Из выражений коэффициентов δioi видно, что каждой частоте вынуж-

денных колебаний θ соответствуют свои амплитудные значения инерционных сил, а, следовательно, и свои амплитудные значения усилий и перемещений.

Уравнения (6.40) по своей структуре аналогичны каноническим уравнениям метода сил и носят название канонических уравнений для определения максимальных значений инерционных сил. Они справедливы для любой стержневой (в том числе шарнирно-стержневой) системы, как статически определимой, так и статически неопределимой. Физический смысл коэффициентов δ i i , δi k и свободных членов уравнений ∆i p тот же, что и в канониче-

ских уравнениях метода сил. В системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, эти перемещения могут быть найдены, например, путем перемножения эпюр.

Если рассматриваемая стержневая система статически неопределима, то при определении перемещений δi k одна из эпюр может быть взята в лю-

бой основной статически определимой системе метода сил. При определении перемещений ∆i p эпюра M p должна быть построена в заданной (статически неопределимой) системе, а эпюры вспомогательного состояния (Mi ) могут быть приняты в любой основной системе метода сил. Построение эпюр

156

(M i , M p ) в статически неопределимой системе выполняется любым извест-

ным методом, например, методом сил.

Системы со многими степенями свободы могут оказаться в состоянии резонанса при совпадении частоты возмущающей гармонической нагрузки с любой из частот ω собственных колебаний системы. Однако, динамический коэффициент, усилия и перемещения, как правило, достигают наибольших своих значений при совпадении частоты θ с наименьшей частотой ω собственных колебаний системы. Поэтому в динамических расчетах конструкций наиболее важной является наименьшая частота собственных колебаний системы, независимо от того, с одной или со многими степенями свободы эта система. В системах со многими степенями свободы самую низкую частоту собственных колебаний обычно называют основной частотой.

6.9. Примеры расчета рам на динамическую нагрузку

Применение статического метода в динамике сооружений рассмотрим на примерах расчета рам, нагружаемых динамическими нагрузками. Рассматривая системы с конечным числом степеней свободы, будем находить экстремальные значения динамических изгибающих моментов (M D ), попе-

речных (QD ) и продольных (N D ) сил. В приводимых примерах расчета со-

отношение частот собственных и вынужденных колебаний принято таким, что явление резонанса заведомо отсутствует. Поэтому проверки систем на резонанс не проводились. Ниже приведены примеры расчета статически определимой и статически неопределимой рамы.

Расчет статически определимой рамы

Для рамы, изображенной на (рис. 6.13), требуется определить динами-

ческие усилия (M D , QD , ND )		при амплитуде возмущающей силы		P = 2кН,
частоте	вибрационной	нагрузки	θ = 0,5ωmin и	массах
m1 = 400кг,	m2 = 500кг, где ωmin – наименьшая частота собственных коле-
баний.

157

Psin θt 3м

2м

3м

4м

Рис. 6.13.

2,5м 2,5м

Учитывая принимаемые допущения (п. 6.1), положение масс в любой момент времени определяется следующими параметрами: масса m1 может перемещаться по вертикали, а масса m2 – в гори-

зонтальном направлении. Других

перемещений эти массы не имеют и система обладает двумя степенями свободы. Определим частоты собственных колебаний

На основании равенства (6.33) уравнение колебаний для системы с двумя степенями свободы имеет вид:

			D =	(δ11m1 − λ)									(δ			δ12m2					= 0.
			D =		δ		21	m					(δ		22		m	2	− λ)		= 0.
							21		1						22			2
Раскрыв определитель получаем
			(δ m −λ)(δ						22	m	2	−λ)−δ							2 m m		2	= 0,
			11	1					22		2							12		1	2
откуда	λ2 − (δ	11	m +δ	22	m	2	)λ +			(δ δ				22		−δ			2	)m m		2	= 0 ,	(6.41)
		11	1	22		2					11			22				12		1		2
где	δ11, δ12 , δ21, δ22			– перемещения масс, вызванные статическими си-
лами P =1,	прикладываемыми поочередно в точках расположения масс по
направлению перемещений этих масс.
Эпюры изгибающих моментов от сил																				P1 =1 и P2 =1 приведены на
рис. 6.14а,б.
а)															б)
P1=1	2													2,5									2,5
	2													2,5									2,5
									HC=0,4															HC=1,5
																				P2=1
	HA=0,4				M1																		M2
					M1							HA=0,5											M2
												HA=0,5
	V =1		V =0														VA=0,8333						VB=0,8333
	A		V =0
			B
									Рис. 6.14

158

Перемещения δi i , δi k найдем по формуле Мора, пользуясь правилом

Верещагина:

l					2dx						1				1			2			1				2				9,333
l			M		2dx						1				1			2			1				2				9,333
δ11 = ∑∫	1								=							2 2			2 +			2	5			2	=					;
δ11 = ∑∫				EI					=							2 2		3	2 +		2	2	5		3	2	=			EI		;
0				EI							EI 2							3			2				3					EI
							l							dx			1		1				2					8,333
δ12 =δ21 = ∑							l	M		1		M	2	dx		= −	1		1	2	5		2	2,5		= −		8,333			;
							∫			1			2
							∫				EI						EI		2				3							EI
							0				EI						EI		2				3							EI
l						2dx					1				1				2				1					2					1			2			28,125
l				M		2dx					1				1				2				1					2					1			2			28,125
δ22 = ∑∫		2							=							2,5 5				2,5 +				2,5		3				2,5 2 +				2,5	2,5		2,5	=		.
δ22 = ∑∫									=							2,5 5			3	2,5 +			2	2,5		3		3		2,5 2 +			2	2,5	2,5	3	2,5	=	EI	.
0				EI							EI 2								3				2					3					2			3			EI

Подставляя значения перемещений в уравнение (6.41), имеем:

9,333

28,125

9,333

28,125

8,333 2

λ2 −

− −

m m

= 0,

9,333 400

28,125 500

9,333

28,125

8,3332

или λ

−

λ +

(EI )

400 500 = 0,

откуда

−

17796

λ +

66386000

= 0 .

(EI )2

Корни этого равенства:

−

17796

17796 2

− 4

66386000

(EI )2

8898

3576

;

1,2

12474

; λ

5322

Частоты собственных колебаний будут:

ω =

= 0,009

EI c−1

;

1 = 0,014

EI c−1 .

λ1

λ2

Круговая частота вибрационной нагрузки

θ =αωmin = 0,5 0,009

EI = 0,0045

EI (с−1 ).

Эпюра изгибающих моментов от статического действия вибрацион-

ной нагрузки по условию M стр

M1 P приведена на рис. 6.15.

159

P=2 кН		Максимальные							значения
4	инерционных сил находим по ус-
	инерционных сил находим по ус-
	ловию (6.40):
		o		+δ12 I2				+ ∆1 p	= 0 ;
	δ11I1			+δ12 I2				+ ∆1 p	= 0 ;
				+δ		I			(6.42)
	δ I			+δ	o	I		+ ∆ = 0 .
P		21	1		22		2	2 p
Mсm		21	1		22		2	2 p
Рис. 6.15

δ11o

=δ11

−

= 9,333 −

EI )2

= −114,2

;

m1θ 2

400 (0,0045

δ22o

=δ22

−

28,125 −

= −

70,65

;

m2θ 2

500 (0,0045

EI )2

8,333

δ12 =δ21 = ∑∫

= −

;

P dx

18,67

∆1P = ∑∫

;

ст

P dx

16,67

∆2P = ∑∫

= −

2,5

4 = −

ст

Подставив в уравнение (6.42), имеем:

114,2

8,333

18,67

−

= 0;

8,333

70,65

16,67

= 0,

−

откуда I1 = 0,1823 и I2 = −0,2574.

Достоверность полученных сил инерции Ii проверяется подстановкой

их значений в исходные уравнения.

Эпюру M

получаем по условию M

= M P

I +

ст

1 1

Эпюры

i I i

и окончательная эпюра изгибающих моментов M D при-

ведены на рис. (6.16).

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.201925.44 Mб4Стр. 3-6 (Стр24-25).doc
#
08.11.20192.04 Mб0стр.7-15.doc
#
08.05.201979.87 Кб2Страховое дело.doc
#
31.05.20151.2 Mб54Строит теплотехника ТКП 45-2_04-43-2006.doc
#
31.05.201510.86 Mб135Строительная механика учебник.pdf
#
31.05.20153.84 Mб572Строительная механика.pdf
#
25.09.20195.54 Mб46строительные конструкции (1-50).doc
#
31.05.20151.15 Mб220Строительные материалы Метода.pdf
#
01.12.201836.17 Mб392Строительные_чертежи_заочники.doc
#
31.05.201530.66 Кб26строймат(64-77).docx
#
31.05.201516.9 Mб47СУБД_лабы 1-10.doc