Строительная механика учебник

У

счета степени свободы или степени изменяемости плоских стерж­

невых систем дает необходимые аналитические критерии геометри­

Т

ческой неизменяемости или изменяемости, статической определи­

мости или неопределимости.

Н

К сожалению, эти аналитические критерии являются только не­

обходимыми, но недостаточными.

Б

1.5.

Принципы образования

геометрически неизменяемых систем

й

Полученные выше формулы для вычисления степени свободы

систем

дают только формаль­

(степени изменяемости) стержневых

ную оценку кинематических свойств

сследуемых систем, что не

р

всегда соответствует действительности. Для окончательного заклю­

чения о геометрической неизменяемости статической определи­

о

мости стержневой системы необходим анализ ее структуры, анализ

принципов, по которым

на с ставлена. Системы только правиль­

ной структуры могут бы ь действительно геометрически неизме­

(рис.

1.41). Система,иображенная на рис. 1.42, также имеет нуле­

няемыми (W < 0) и с а ически определимыми (W = 0).

К системам неправ льной с руктуры относятся системы частич­

но статически неопределтмые и частично геометрически изменяе­

мые, хотя их суммарная степень свободы может равняться нулю

свободыстепеньу нее две. К тому же, она может иметь начальные усилия

вую

зсв б ды, а на самом деле является мгновенно изме­

няемой, так как бладает бесконечно малой подвижностью. Струк­

е

тура

такжеонеправильная. Мгновенно жесткая система (рис. 1.43)

формально имеет одну степень свободы, но на самом деле степеней

Р

W=0

W=0

I

<

—Xo—

>

*

W=1

Рис. 1.41

Рис. 1.42

Рис. 1.43

Для таких систем понятия степени свободы или степени изме­

У

няемости, вычисляемые по выведенным выше формулам, становят­

ся неопределенными, не имеющими смысла.

Т

Рассмотрим основные способы образования заведомо геометри­

чески неизменяемых стержневых систем.

1.

Способ диады. Степень свободы системы (диска)Нне изменится,

если к системе присоединить (отсоединить) шарнирный узел с помо­

щью двух стержней, не лежащих на одной

(рис. 1.44). В каче­

стве таких стержней могут выступать д ск

Б

, заведомо статически оп­

ределимые и геометрически неизменяемые подсистемы (рис. 1.45).

прямой

и

р

о

т

Рис. 1.44

и

2. С

з

с б треугольников. Три диска 1, 2 и 3, соединенные тремя

шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой (рис. 1.46), об­

о

разуют новую внутренне геометрически неизменяемую систему

(диск)п. Общее количество лишних связей, если они есть в исходных

дисках, не изменяется. Общая степень свободы трех дисков умень­

на шесть единиц.

шается

3. Способ шарнира и простой связи, эквивалентный способу тре­

угольников. Два диска 1 и 2, соединенные общим шарниром С и

Р

У

Т

Н

4.

Б

й

Способ трех связей. Два диска, соединенные тремя стержнями

(рис. 1.48), лежащими на прямых, не пересекающихся в одной точке

и

и не параллельных все три сразу между собо , образуют единую

систему (новый диск). В новой с стеме суммарное количество из­

р

быточных связей, если они были в сходных дисках, не изменяется,

а суммарная степень свободы снижается на три единицы.

т

и

оРис. 1.48

Рассмотренные способы образования единой системы из не­

скольких

частей, вообще говоря, применимы к любым

системам как с и быточными связями (статически неопределимым

п

дискам), так изс недостающими связями (механизмам).

Чтобы

браз ванная по рассмотренным законам единая система

делимыми. При этом каждый диск можно рассматривать как стер­

была г ометрическисоставных неизменяемой и статически определимой, не­

обходимо и достаточно, чтобы и ее составные части каждая в от­

Р

лишние связи, а в какой части связей не хватает. Именно так выяв­

Н

ляются системы неправильной структуры и системы с вырожден­У

ными конфигурациями.

Б

Любую систему в вырожденной конфигурации, мгновенно изме­

статически неопределимой и геометрически изменяемой. В струк­

й

туре таких систем недостает связей по одним направлениям и одно­

временно есть лишние связи по другим направлениям.

ной жесткости.

узки

Наличие лишних связей придает вырожденной системе свойства

статически неопределимой системы, то есть возможность иметь на­

р

. А это свойство приводит

чальные усилия при отсутствии наг

к статическому критерию мгновенной

зменяемости или мгновен­

т

1. Если в системе с нулев й степенью свободы (W= 0), то есть в сис­

теме формально геоме рически неизменяемой и статически определимой,

и

могут быть начальные ус

лоя (усилия предварительного напряжения), то

з

зменяема или частично статически неопреде­

такая система мгновенно

Примеры некоторых других систем неправильной структуры

приведены на рис.

1.53 (система геометрически изменяема, хотя

W = -2) и рис.

1.54 (система со статически неопределимым фраг­

ментом мгновенно изменяема при W = -3).

У

а о

Т

/\\и

Н

Б

й

Рис. 1.52

и

Рис. 1.54

Рис. 1.53

р

1.6. Матрицы в задачах строительной механики

о

При проведен

расчетов, ориентированных на компьютерные

технологии, в стро

тельной механике применяют дискретные рас­

четные схемы и методы матричного исчисления. Действующие на

и

сооружение нагру ки представляют в виде вектора нагрузок, ком­

з

понентами к т р го являются значения заданных нагрузок, зануме­

рованных в

пределенном порядке. Результатами

расчета будут

о

служить не э юры усилий или эпюры перемещений, а векторы уси­

лий и в кторы перемещений, в которых в заданном порядке будут

п

п р числ ны значения конкретных усилий в конкретных сечениях и

значения перемещений конкретных точек сооружения в заданных

конкретных направлениях.

Р

Так, нагрузки, приложенные к простой балке (рис. 1.55), можно

представить вектором F третьего порядка:

F

—[q

F2 M 3] r ,

а нагрузки, приложенные к балочной ферме (рис. 1.56), вектором

F пятого порядка:

У

F2

= [F

F ,

Т

.F2

Н

Рис. 1.55

Б

й

Чтобы найти изгибающие моменты в пяти характерных сечениях

балки (рис. 1.55) и внутренние силы в тринадцати стержнях фермы

(рис. 1.56) от заданных нагрузок, достаточно построить соответст­

венно матрицу влияния изгибающ х моментов LM для балки и

р

матрицу влияния продольных сил

LN

для фермы, стержни которой

о

предварительно необходимо п

нумеиовать. Затем воспользоваться

т

матричными формулами:

и

n

— L

F

M

— LM F\,

Nr 2:

где

' M 1'

m11

m12

m13

п

M 2

m21

m 22

m23

M —

; LM

—

з

Р

о M 5

m51

m52

m53_

' N 1

'

n11

n11

•••

n15

е N — N 2

;

LN —

n21

n22

•••

n25

_N13 _

n13,1

n13,2

‘"

n13,5_

вызванный единичным значением нагрузки номер к. Элемент n^ мат­

рицы влияния продольных сил представляет собой усилие в стержне

номер i фермы от единичного значения внешней силы Fk —1 .

У

С помощью

соответствующим

образом

построенной матрицы

Т

влияния перемещений D можно найти вектор А перемещений за­

данных точек по заданным направлениям от внешних сил, заданных

вектором F :

Н

где

А —D F ,

й

A1F

Sn

и

Б' F

А —

; D —

р

;

F —

_АnF _

_ S

• ■■

S nk

_Fk

Символ

АnF

обозначает пе емещение точки (сечения) номер

n по направлению прил женн й в этой точке силы Fn —1, вы­

и

званное заданной нагрузкой.оЭлемент Snk матрицы влияния пе­

з

тперемещению точки

(сечения) номер n по

ремещений D равен

направлению с

лы Fn —1, вызванному силой Fk —1, и называ­

ется единичным перемещением.

п

применение

матриц

влияния основано на

Таким

браз м,

принци е независимости действия сил, принципе суперпозиции.

Согласноэтому принципу, суммарный эффект действия не­

Р

скольких сил равен сумме эффектов действия каждой силы в

отд льности. На первом этапе расчет сводится к вычислению

евнутренних сил и перемещений от единичных внешних сил и

R —D -1 .

Матрица жесткости позволяет выразить внешние силы через пе­

ремещения точек, к которым эти силы приложены:

У

Т

F —R А .

Не вникая более в детали, отметим пока, что матрицыНподатли­

вости и матрицы жесткости широко используются при расчете ста­

тически неопределимых систем, а также в динамикеБи устойчивости

сооружений. На основе матричного сч сления созданы современ­

ные проектно-вычислительные комплексы для расчета сооружений

с помощью компьютеров.

й

и

1.7. Краткий

ический очерк развития

р

с р и ельн й механики

о

История науки о прочнос и сооружений достаточно древняя и

характеризуется множествомист

направлений, глубокими взаимосвя­

зями с развитием техн ческих и математических наук. Начальный

период развития строительнойи

механики как общетехнической дис­

циплины непзсредственно связан с развитием общей механики -

науки

механическом движении материальных тел и происходя­

щих ри

взаимодействиях между телами.

этом

Развитие основных понятий механики о равновесии твердых тел

и прочности деформируемых объектов со времен Аристотеля и Ар­

е

хим да и до 16-17 веков связано, в основном, с анализом взаимо­

действия приложенных к элементу внешних сил. Существенный

вклад в

исследования по статике внесли Неморарий (ок. 13 в.);

Ритальянский живописец, архитектор и ученый Леонардо да Винчи