Математика№3
.pdfгде SD – площадь круга D: |
x2 |
|
|
y2 |
R2 , |
равная |
|
|
R 2 . В итоге: |
|||||||||||
A |
2 R 2 |
– искомая работа силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Вычислить интеграл J |
x 2 y3dx |
|
|
dy |
zdz , если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г есть окружность x2 |
2 |
1 в плоскости z=2, обходимая против |
||||||||||||||||||
часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл све- |
||||||||||||||||||||
дем к поверхностному интегралу по кругу Т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
||||||||||
|
|
|
|
T : |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍ |
||
Итак, учитывая, что P(x, y, z) |
|
x2 y3, Q(x, y, z) |
|
1, |
|
|
||||||||||||||
|
|
R(x, y, z) |
2 , |
|||||||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɇ |
|
||||||
|
|
|
|
(1) |
(x |
2 y |
3 |
|
|
(2) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
(1) |
dydz |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
Ȼ |
z |
|
|||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(x 2 y3 ) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
dzdx |
3 |
x |
2 |
|
2 |
dxdy . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ɣD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D Oxy, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
1. |
Перейдем к |
||||||||
на который проектировался круг Т; |
D: x2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
полярным координатам: x=ɪrcos , y=rsin |
, |
[0;2 |
|
], |
r |
[0;1]. В |
||||||||||||||
итоге: |
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
cos2 |
sin2 |
d |
|
1 |
r5dr |
|
. |
||||||
3 d r2 cos2 |
sin2 rdr |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
0 |
ɬ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0& |
|
|
8 |
|
||
Пример 3. Найти поток П векторного поля |
|
F |
|
(x2; y2;z2) |
||||||||||||||||
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2y |
3z |
|
|
через |
полнуюɡповерхность |
Т пирамиды |
W: |
|
|
|
|
6, |
||||||||||||
x |
|
0, y |
0, z |
0 |
||||||||||||||||
(рисɨ. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности. |
|
|||||||||||||||||||
ɩ |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ɟ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ɋ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Поток равен П |
x 2dydz 2dzdx z 2dxdy . |
|
T |
Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:
|
|
П |
|
|
|
|
|
(x 2 ) |
( y2 ) |
|
|
|
|
(z2 ) |
|
dxdydz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
2 |
x |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
Ɍ |
|||||||
|
|
2 |
(x |
|
|
|
|
|
|
z)dxdydz |
|
|
2 dx |
|
|
dy |
|
|
(x |
|
|
z)dz |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
2 |
4 |
|
|
x |
|
y |
|
|
x 2 |
|
xy |
|
|
|
|
y2 |
dy |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
ɇ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
10 |
|
|
|
|
|
|
7 |
x 2 |
|
13 |
|
x 3 dx |
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɣ |
|
|
|
|
че- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 4. Найти поток П векторного поляȻF x z)k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рез |
|
полную |
|
|
|
|
поверхность |
|
|
T |
|
|
|
|
|
пирамиды |
W: |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 y 3z 6; x |
0; y 0 ; |
|
z |
|
|
ɢ |
|
|
2.20), в |
|
направлении |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внешней нормали к поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ɡ |
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ɨ |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɋ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
П |
|
(x |
z) |
dxdydz |
|
|
dxdydz V |
|
|
|
18 , где V – объем пи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( T1,T2 ,T3,T4 – грани пирамиды).
52
|
|
П |
x |
z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
, |
|
|
|
||
|
|
x |
z)dxdy |
( x |
z)dxdy |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
T3 |
|
|
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как проекция граней T3, T4 на плоскость Oxy имеет нулевую |
||||||||||||||
|
площадь (рис. 2.21), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
|||
|
|
x |
z)dxdy |
xdxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
T1 |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z)dxdy |
( x |
|
x |
y)dxdy; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
T2 |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍ |
|
|
|
П |
6 x |
|
|
3 |
6 |
2 y |
x |
|
y)dx |
|
|||
|
|
|
y)dxdy |
dy |
6 |
|
ɇ |
|
|||||||
|
|
G |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
y) |
2 |
(6 |
y)2 |
dy |
1 3 |
|
|
2 |
dy |
|
||
|
|
|
|
18. |
|
|
|||||||||
|
|
(6 |
|
|
|
2 0 |
6 2 y) |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Ȼ |
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
ɣ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x+2y=6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɢO |
|
|
|
|
6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ɡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
Рис. 2.21 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɟ |
3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
|||||||||||||
|
3.1. Оригинал и его изображения |
|
|
|
|||||||||||
Ɋ |
|
Функция f (t) действительного |
переменного t называется |
||||||||||||
оригиналом, если она удовлетворяет условиям: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) |
f (t) |
при t |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
существуют |
такие |
постоянные |
M |
|
|
и |
S0 |
, |
что |
||||
|
|
f (t) |
MeS0t |
для всех t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) при t функция f (t) непрерывна или имеет конечное чис-
ло точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале оси Ot.
Изображением функции f (t) по Лапласу называется функ-
ция F( p) комплексного переменного p i, определяемая
|
равенством |
F( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
||
|
e pt f (t)dt . Если f (t) – оригинал, интеграл |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍ |
||
|
в правой части последнего равенства сходится при |
|
Re p |
|
S0 . |
||||||||||||||||||||
|
Тот факт, что F( p) |
является изображением оригинала |
f (t) , бу- |
||||||||||||||||||||||
|
дем обозначать так: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
ɇ |
. |
|
|||||||||||||
|
F( p) L( f (t)) или F( p) f (t), F( p) |
|
(t) . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ȼ |
|
Таблица 3.1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Изображение основных элементарных функций |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
1 |
|
|
|
|
ɣ |
|
|
L( f (t)) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
при t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
pn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e t |
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ɨ |
cos |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ɡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ɩ |
sh |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ɋ |
|
ch |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( p2 |
)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t cos |
t |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( p2 |
)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
|
|
3.2. Основные теоремы операционного исчисления |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1. Теорема линейного изображения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Для любых оригиналов |
|
f (t) |
|
и g(t) и любых чисел a, b |
|
|||||||||||||||||
|
L(af (t) bg(t)) aL( f (t)) bL(g(t)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пусть всюду в дальнейшем L( f (t)) |
F( p) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2. Теорема подобия (изменения масштаба). Для любого |
||||||||||||||||||||||
|
постоянного C |
0 |
L( f (Ct)) |
|
1 |
|
F |
p . |
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3. Теорема смещения. Для любого числа |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ɍ |
|||||||||||||||||||
|
: |
L(e t f (t)) F( p |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4. Теорема о дифференцировании оригинала. Если функции |
||||||||||||||||||||||
|
f (t), f |
(t), |
|
, f (n) (t) |
являются оригиналами, то |
|
ɇ |
|
||||||||||||||||
|
|
L( f (t)) |
pF( p) |
f (0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ȼ |
|
|
|
||||||||
|
|
L( f (t)) |
p2 F( p) |
|
pf (0) |
f (0); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
L( f (n) (t)) |
pn F( p) |
pn |
|
1 f (0) |
ɣ |
|
|
|
f (n 1) (0). |
|||||||||||||
|
|
|
pn 2 |
f |
(0) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5. Теорема о дифференцировании изображения. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
L(tn f (t)) |
( 1 |
n F(n) ( p), |
n |
|
|
,2, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6. Теорема об интегрировании оригинала. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
F( p) . |
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L f (s)ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
Pɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Теорема об интегрировании изображения. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f (t) |
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
|
|
F( y)dy |
(если интеграл сходится). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t |
ɡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 )) |
|
e |
pt0 F ( p) |
, |
t0 |
. |
||||
|
|
8. Теорема запаздывания. L( f (t |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
9. Теорема об изображении свертки двух функций. |
|
|||||||||||||||||||||
|
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
f1 * f2 |
t |
f1(s) f2 (t |
|
s)ds |
|
|
|
||||||||
|
L( f1 * f2 ) |
|
F1( p)F2 ( p) , где |
|
|
|
– свертка |
|||||||||||||||||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɋ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций f1(t) и f2 (t) , F1( p) |
|
L( f1(t)), F2 ( p) L( f2 (t)) . |
|
|||||||||||||||||||||
|
Пример 1. Найти изображения функции shat sin bt . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L(sin bt) |
|
b |
|
F( p); |
sh at |
|
1 |
(eat |
e at ) . Тогда |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shat sin bt |
1 |
eat sin bt |
|
|
1 |
e |
at sin bt . По теореме линейности |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 L(e at sin bt) . В каждом из |
||||||||||||||||||||||
|
имеем L(sh at sin bt) |
|
L(eat sin bt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
полученных слагаемых применим теорему смещения и получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 F( p |
) |
1 F( p |
) |
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
.Это и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ( p )2 2 |
|
2 |
|
( p )2 2 |
|
|
|
ɍ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
есть искомое изображение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 2. Найти свертку функций t и et и ее изображение. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
ɇ |
|
|||||||||
|
|
Решение. |
t * et |
|
|
|
set |
s ds |
|
|
set e |
|
|
s ds |
|
|
|
et |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
se s ds |
. Вычис- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ляя интеграл, имеем tet |
|
|
|
t (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ȼ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t ) . По теореме об изобра- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
жении свертки L(t * et ) |
|
|
L(t)L(et ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 ( p 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример 3. Найти L(te 2t sin t) . |
|
|
ɣ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Решение. Найдем F( p) |
|
ɢ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
L(sin t) |
|
|
p2 |
|
|
1 |
. По теореме о |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
дифференцировании изображения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
L(sin t |
t) |
|
|
( p) |
|
|
|
1 ɪ2 p |
|
|
|
|
|
G( p) . Наконец, по |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 |
|
|
( p2 |
|
)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
теореме смещения L(e 2tt sin t) |
G( p |
|
) |
|
|
|
|
|
2( p |
|
) |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( p2 |
|
)2 |
|
)2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
ɡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3.3. Отыскание оригинала по изображению |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При отыскании оригинала по изображению в простейших |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
случаях используют таблицу изображений основных элементар- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ных функций и теоремы разложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ɋ |
|
Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал по из- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вестному изображению, являющемуся дробно-рациональной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
функцией p : |
|
F( p) |
|
( p) / v( p) , где u( p) |
и v( p) |
– многочлены |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
от p соответственно степени m и n, |
|
причем m |
n . |
Если разложе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ние |
v( p) |
|
|
на |
простейшие |
|
|
множители |
имеет |
|
вид |
||||||||||||||||||||||||
|
v( p) ( p |
1 |
)k1 ( p |
2 |
)k2 |
( p |
|
r |
)kr , k k |
2 |
|
|
k |
r |
|
n , |
то, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
как известно, F( p) может быть разложена на сумму элементар-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ajs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ных дробей вида |
|
|
|
|
|
|
; |
|
j |
|
|
|
, r; |
|
|
|
s |
|
, k j . Итак, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( p |
p j )k j |
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
F( p) |
|
r |
k j |
Ajs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
j 1s 1 ( p p j )k j |
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Все коэффициенты могут быть найдены по формуле |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ajs |
1 |
|
|
|
lim |
|
d s |
1 |
[( p |
|
p j ) |
k j |
|
F( p)] . |
|
|
(3.2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
(s |
|
|
|
|
dps |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1)! p p j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
||||||||
|
|
Вместо этой формулы для определения коэффициентов |
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍjs |
||
|
можно использовать элементарные приемы, применяемые в ма- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тематическом анализе при интегрировании рациональных дробей. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если все корни многочлена v( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɇ |
|
|
|||||||||||||||||
|
простые, разложение упрощает- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ся: v( p) |
( p |
1 |
)(p |
p ) |
( p |
|
|
|
|
|
n |
); |
|
|
|
( p |
j |
|
|
|
pȻпри j |
k ) ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F( p) |
n |
|
|
Aj |
|
|
|
, где |
|
A |
|
|
|
|
|
|
u( p j ) |
|
. |
|
|
(3.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j 1 p p j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɣv ( p j ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
После отыскания тем или иным способом разложения F( p) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
на простейшие дроби оригинал |
|
|
f (t) |
находится так: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
а) в случае кратных корней знаменателя |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
k j |
|
|
|
|
|
|
t |
k j |
s |
|
|
|
|
p j t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
Ajs |
|
(k |
j |
|
s) ! |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
(3.4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
1s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) в случае простых корней знаменателя v( p) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
u( p j ) |
|
|
|
p j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ɡ |
|
|
|
f (t) |
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
v ( p j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пример |
1. |
|
|
Найти |
|
оригинал |
|
|
f (t) , |
если |
|
известно, |
что |
||||||||||||||||||||||||
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F( p) L( f (t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ɩ |
|
|
|
|
p( p |
1)( p |
|
)( p |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. |
У изображения |
|
F( p) |
|
|
в данном случае все корни |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ɋ |
знаменателя – действительные и простые. Поэтому лучше всего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользоваться формулой (3.5). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u( p) |
|
p |
1; |
|
|
v( p) |
|
p( p |
1)( p |
|
|
|
)( p |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
p4 |
|
p3 |
|
11 p2 |
|
|
|
p; v ( p) 4 p3 |
|
|
18 p2 |
22 p . |
|
|
57
|
Корни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( p1 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
v( p) : |
|
p1 |
|
|
|
; |
|
p2 |
|
|
|
1; |
|
p3 |
2; |
|
p4 |
|
; |
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v ( p1 ) |
|
6 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u( p2 ) |
|
|
|
|
|
u( p3 ) |
|
|
|
3 |
|
|
|
u( p4 ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
v ( p2 ) |
|
; |
|
|
v ( p3 ) |
|
|
|
2 |
; |
|
|
v ( p4 ) |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
|
|
|
по |
|
|
|
формуле |
|
(3.5) |
|
находим |
|
f (t) : |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
e |
t |
|
3 |
|
|
2t |
|
2 |
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɍ |
|||
|
f (t) |
|
6 |
|
|
|
2 e |
|
|
|
3 e |
|
. |
|
|
f (t) |
по |
его |
|
|
|
|||||||||||
|
Пример |
2. |
Найти |
|
оригинал |
изображению |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɍ |
|
|
F( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɇ |
|||||
|
|
( p 1)3 ( p )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение. Разложение F( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
на простейшие дроби имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
F( p) |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
. |
(3.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
21 |
Ȼ22 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
( p 1)3 |
|
( p )2 |
p |
|
( p 2) |
2 |
|
p |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Находим коэффициенты Aij |
по формуле (3.2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɣ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A11 |
1 |
|
lim (( p |
|
1) |
3 |
F( p)) |
ɢp |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
( p |
|
)2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0! p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A12 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1! |
dp |
(( p ɨ) F( p)) |
( p |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ɢ |
|
( p )3 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
p 1 |
|
( p |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ɡ |
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
1 |
|
lim |
(( p |
|
1)3 F( p)) |
1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p 1 |
( p |
|
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
ɩ |
|
|
2! |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɟ |
|
1 lim |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 p |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 p 1 |
|
|
( p )3 |
|
|
( p )4 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ɋ |
Аналогично получим A |
|
2 ; |
A |
|
1 |
. Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
27 |
|
22 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F( p) |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
. Отсюда |
||
|
|
27 |
|
( p |
|
1)3 |
|
|
( p |
|
1)2 |
p |
1 |
|
( p |
2)2 |
|
p |
2 |
|
||||||||||||
|
по таблице изображений и теоремам смещения и линейности изо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
бражения имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
f (t) |
1 |
3 t 2et |
tet |
|
|
27 |
2 |
|
|
1 |
(3t 2 |
2t |
2)et |
|
54 |
|
|
|
|
|
t |
te 2t |
0 e 2t |
|
1 |
(2t |
1)e |
2t . |
|
27 |
||||
|
|
|
|
|
Заметим, что коэффициенты разложения (3.6) можно найти и |
|||||||||||||||||||
|
таким способом, который применялся в математическом анализе |
||||||||||||||||||||
|
при интегрировании рациональных дробей. |
|
|
|
|
|
|
ɍ |
|||||||||||||
|
|
3.4. Решение дифференциальных уравнений |
Ɍ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
и систем дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
операционным методом |
ɇ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ȼ |
|
|
|
|
|
|
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n- |
|||||||||||||||||||
|
го порядка с постоянными коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y(n) (t) 1 y(n 1) (t) |
|
n y(t) |
|
|
(t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
правая часть которого |
f (t) |
|
|
ɣ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
является оригиналом. Тогда и реше- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ние y(t) этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям |
||||||||||||||||||||
|
y(0) |
y0 , |
y (0) |
|
y0 , |
, |
|
y(n |
1) (0) |
y0 |
(n |
|
1) (то есть решение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ɪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
задачи Коши для данного ЛДУ), тоже будет оригиналом. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Обозначим |
|
изображение |
искомого |
|
решения |
y(t) |
через |
||||||||||||
|
S( p) , то есть |
S( p) L( y(t)) |
. Используя теорему о дифференци- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ɬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ровании оригинала и свойствоɨлинейности, находим изображение |
||||||||||||||||||||
|
левой части исходного ЛДУ и приравниваем его к |
L( f (t)) . В |
|||||||||||||||||||
|
итоге вместо ЛДУ с начальными условиями получается так назы- |
||||||||||||||||||||
|
|
ɡ |
|
|
уравнение, которое является линейным ал- |
||||||||||||||||
|
ваемое изображающееɢ |
||||||||||||||||||||
|
гебраическим уравнением относительно новой неизвестной |
||||||||||||||||||||
|
функции S( p) |
|
L( y(t)) . Решая изображающее уравнение, |
нахо- |
|||||||||||||||||
|
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
S( p) оригинал |
y(t) , мы тем са- |
|||||||||||
|
димɨS( p) . Определяя затем по |
||||||||||||||||||||
|
мым найдем искомое решение |
y(t) |
задачи Коши. |
Аналогично |
|||||||||||||||||
|
решаются и системы ЛДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɟ |
Пример |
1. |
|
Решить ЛДУ |
y'' (t) |
|
y (t) |
y(t) |
e3t , |
если |
|||||||||||
Ɋ |
y(0) |
y (0) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Обозначим L( y(t)) |
|
S( p) . По теореме о диффе- |
|||||||||||||||||
|
ренцировании |
|
|
оригинала |
|
имеем |
|
|
|
|
L( y (t)) |
pS( p) |
y0 ; |
||||||||
|
L( y (t)) |
2S( p) |
py |
y |
|
2S( p) . |
Тогда |
изображающее |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
|
уравнение |
таково: |
|
|
p2 S |
( p) |
|
pS( p) |
3 S( p) |
p |
1 . |
|
|
Отсюда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( p) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
Восстановим теперь |
|||||||||||
|
( p |
)( p2 |
|
|
p |
) |
|
( p |
1)( p )2 |
|||||||||||||||||||
|
оригинал y(t) |
|
|
|
|
( p) . Разложим вначале дробь |
S( p) |
на про- |
||||||||||||||||||||
|
стейшие дроби: |
( p |
|
|
1 |
|
)2 |
|
( p |
A |
|
|
B |
|
C |
1 |
. |
Ищем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1)( p |
|
|
)2 |
|
( p |
3 ) |
|
p |
|
|
|
|||||||||
|
A, B, C: 1 |
A( p |
1) |
|
B( p |
|
3)(p |
|
1) |
C( p |
3)2 . Полагая |
|
p |
1, |
||||||||||||||
|
получаем 1 |
16C , |
то есть |
|
C |
|
16 ; |
полагая |
p |
3, p |
|
|
, |
|
|
ɍ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
получа- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
Ɍ1 |
|||
|
ем |
1 A B |
|
9C , |
откуда |
|
B |
|
3 (A |
|
C |
1) |
|
16 |
, |
|
|
A |
4 . |
|||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɇ |
|
|
||||||||
|
S( p) |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
y |
t) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 ( p 3 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
16 ( p |
3 ) 16 ( p 1) |
|
|
Ȼ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 te3t |
1 |
e3t |
|
1 |
|
e t . |
|
|
|
|
|
ɣ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение поставленной задачи Коши найдено. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɢ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системуɪЛДУ |
|
x |
|
2 y; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Пример 2. |
Решить |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
dy |
2x |
y |
|
|
1, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
x(0) |
|
1, |
y(0) |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Решение. |
|
ɬ |
|
L(x(0)) |
( p), |
L( y(t)) |
|
S( p) |
и най- |
||||||||||||||||
|
|
|
Обозначим |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ɢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
дем изображения левой и правой частей каждого из уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||
|
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
pT |
|
ɡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p 1)T ( p) 2S( p) |
|
1; |
|
|
||||||||||
|
|
( p) ( 1) |
T ( p) 2S( p) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ɨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2T ( p) ( p 1)S( p) S |
|
1 . |
||||||||||||
|
|
pS |
( p) 5 2T ( p) S( p) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ɩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Из последней линейной алгебраической системы уравнений |
|||||||||||||||||||||||||
|
находим неизвестную T ( p) |
(например, по формулам Крамера) |
||||||||||||||||||||||||||
ɟ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɋ |
|
|
T ( p) |
p2 |
|
11 p |
|
|
p2 |
11 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
p(( p 1)2 |
) |
|
p( p 1)( p ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Разложим |
|
T ( p) |
на |
простейшие |
|
рациональные |
|
дроби: |
|||||||||||||||||
|
T ( p) |
A |
B |
|
|
|
C |
|
|
p2 |
|
11 p |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p |
p |
1 |
|
p |
|
|
p( p |
1)( p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|