КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СОПРОМАТУ (ПГС)
.pdf31
9. Вычислим центробежные моменты инерции каждой части сечения относительно их собственных центральных осей
1) Уголок (знак минус принят, т.к. ось V с минимальным моментом инерции уголка проходит через отрицательные квадранты его собственной системы координат)
Dx1y1 Jx3 JV J y3 JV 27,10 16,3 90,9 16,3 28,4см4 .
2) Двутавр. Так как оси X2 и Y2 являются осями симметрии, то они главные для двутавра. Поэтому собственный центробежный момент инерции двутавра равен нулю согласно определения.
Dx2 y 2 0 .
3) Лист. Так как сечение прямоугольное и оси X3 и Y3 являются осями симметрии, то они главные для сечения листа. Поэтому центробежный момент инерции сечения листа относительно его собственных центральных осей равен нулю согласно определения.
Dx3 y3 0 .
10. Вычислим осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей Xc и Yc
3
J Xc J Xi Ai yCi2 27,10 11,18 24,562 15380 61,9 5, 22
i 1
7,3 44,8 13,32 31757 см4 ;
3
JYc JYi Ai xCi2 90,9 11,18 11, 242 516 61,9 6, 462
i 1
3823 44,8 10,352 12480см4 ;
|
3 |
|
|
28, 4 11,18 11, 24 24,56 |
|
|
D |
|
D |
A x y |
|
|
|
xcyc |
xiyi |
i ci ci |
|
|
|
i 1
0 61,9 6, 46 5, 2 0 44,8 10,35 13,3 10979 см4 .
11. Вычислим значения главных центральных моментов инерции всего сечения
|
|
|
|
|
|
J Xc JYc |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31757 12480 |
|
||
J |
U V |
|
|
|
J |
Xc |
J |
Yc |
2 |
4 D2 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
XcYc |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
31757 12480 2 4 109792 |
22118 14609 см4. |
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
|
22118 14609 36727см 4 ; |
|
J 22118 14609 7509см 4. |
||||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
12. Определим положение главных центральных осей инерции всего сечения.
tg 2 |
|
2D |
|
|
2 10979 |
|
24,360 2406 . |
||
|
|
xcyc |
|
|
|
1,139; |
|||
J xc |
J yc |
31757 12480 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
13. Покажем главные центральные оси инерции на сечении. Ось V откладываем от оси Y, так как JYc J Xc , на угол 240 6 , так, чтобы она проходила через положительные квадранты, так как Dxcyc > 0.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 3 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
YC |
|
|
Y3 |
|
|
|
45 |
72,5 |
160 |
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
V |
|
C3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
25 06 |
|
|
|
|
||
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
XC |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
180 |
|
|
|
|
|
288 |
|
|
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13,6 |
|
|
|
|
|
|
C |
1 |
|
42,4 |
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
59,6 |
30,4 |
|
|
Размеры указаны в миллиметрах |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
172 |
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
Задача №4. Расчет деревянной балки круглого сечения на прочность (схема ?, строка ?) |
|||||||
K |
|
|
q=14 кН/м |
|
MB=146 кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
XB=0 |
|
F=22 кН |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M=28 кНм |
|
|
|
|
|
|
a=2 м |
|
b=3,2 м |
c=1,6 м |
YB=73,2 кН |
|
||
|
Qy, кН |
|
|
|
R=13 МПа |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
Rs=2 МПа |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
z0=1,57 м |
6,0 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,43 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73,2 |
|
|
|
|
|
|
|
146 |
|
|
|
Mx, кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
16,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
17,27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
44,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 см |
|
|
|
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 4 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
1. Определим реакции опор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Y F q a b c YB 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Y q a b c |
F 14 2 3,2 1,6 22 73,2кН. |
|
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M B F a b c |
|
q a b c 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
M M B 0; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
F a b c |
q a b c 2 |
M 22 2 3, 2 1,6 |
|
|||||||||||
B |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 2 3, 2 1,6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
28 146кНм. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов способом харак- |
||||||||||||||||
терных сечений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В точка A (справа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
q=14 |
|
|
|
|
|
|
|
q=14 |
MA=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F=22 |
|
|
|
QA=22 |
|
|
|
F=22 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
||
Qсправа 22кН; |
|
|
|
Mсправа 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке K изгибающий момент вычисляем по площадям |
|
|
||||||||||||||
z 22 1,57м; |
Q |
|
0; |
M |
K |
0 1 |
22 1,57 17,27 кНм. |
|
||||||||
0 |
|
14 |
|
K |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В точке С (слева) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
q=14 |
-28 |
|
|
|
|
|
|
q=14 |
|
-14 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F=22 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
F=22 |
|
22 2 |
|
|
|
||
|
|
a=2 м |
|
|
|
|
|
|
a=2 м |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Qслева 22 14 2 6кН; |
M слева 22 2 14 2 1 16кНм. |
|
||||||||||||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
В точке С (справа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 4,8 |
|
|
|
q=14 |
|
MB=146 |
-14 4,8 2,4 |
|
-146 |
q=14 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
MB=146 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-73,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YB=73,2 |
|
|
73,2 4,8 |
|
YB=73,2 |
|
|||
|
|
|
|
b+c=4,8 м |
|
|
|
b+c=4,8 м |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
|
гр. 112??? |
Зд. № 4 |
13 |
35
Qсправа |
14 4б8 73б2 6кН; |
M справа 146 73, 2 4,8 14 |
4,82 |
44,08кНм. |
|||||
|
|
||||||||
C |
|
|
|
C |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
В точке B (слева) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
q=14 |
MB=146 |
|
-146 |
q=14 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
MB=146 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-73,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
YB=73,2 |
|
|
s 0 |
YB=73,2 |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Qслева 73,2кН; |
M слева 146кНм. |
|
|
|
|
|
|||
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
3. По условию прочности подберем деревянную балку круглого поперечного сечения, соблюдая условия: d 32см; R 13МПа; RS 2МПа.
Осевой момент сопротивления круглого сечения балки равен
W |
J |
X |
|
d 4 |
d |
|
d 3 |
. |
|
|
|
|
|
||||
X |
ymax |
|
64 |
2 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
Из условия прочности по нормальным напряжениям определим требуемый диаметр сечения балки
|
M X |
|
|
|
|
M X |
|
|
32M X |
R . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d 3 |
|
|
||||||||||
|
nW |
|
|
|
|
|
n d 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
X |
|
n 32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При n 1 (n –это принятое количество балок) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 146 103 |
|
|
|||||
d 3 |
32M X |
|
3 |
|
48,6см 32см. |
|||||||||||||
n R |
1 3,14 13 106 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 146 103 |
|
|
|||||
d 3 |
|
32M X |
|
|
3 |
|
30,6см<32см. |
|||||||||||
|
n R |
|
4 3,14 13 106 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Принимаем четыре балки диаметром |
|
d 31см. |
|
4. Вычислим осевой момент сопротивления принятого сечения балки.
d 3 3,14 313
WX 2923см. 32 32
5. Проверим на прочность по нормальным напряжениям
|
M X |
|
146 103 |
12,5МПа 13МПа. |
|
nW |
4 2923 10 6 |
||||
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
Недогрузка составляет
13 12,5 100 3,8% 15% . 13
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 4 |
14 |
|
36
6.Проверим на прочность по касательным напряжениям (на скалывание) Статический момент отсеченной части
S 0 |
|
2 |
|
d |
d 2 |
|
2 |
|
31 |
|
3,14 312 |
2339см3. |
|
|
|
|
|
||||||||
X |
5 |
2 |
8 |
5 |
2 |
8 |
|
|||||
|
|
Осевой момент инерции сечения
J X d 4 3,14 314 45310см4. 64 64
Проверим по условию прочности
|
Q S 0 |
73,2 103 2339 10 6 |
|
|||
|
Y |
|
X |
|
|
0,3МПа < R 2МПа. |
|
|
|
|
|||
|
nJ |
|
d |
4 45310 10 8 31 10 2 |
S |
|
|
X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Условие прочности выполняется.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 4 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
Задача №5. Расчет деревянной балки прямоугольного сечения |
|
||||||
|
на прочность (схема ???, строка ???) |
|
|
||||
XA=0 |
|
q=14 кН/м |
|
M=28 кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
C |
K |
D |
|
B |
|
|
|
F=22 кН |
|
|
|
|
|
|
YA=53,4 кН |
|
|
|
|
YB=42,2 кН |
|
|
a=2 м |
|
2b=6,4 м |
|
c=1,6 м |
|
|
|
53,4 |
Qy, кН |
|
|
|
R=13 МПа |
|
|
47,4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Rs=2 МПа |
|
+ |
25,4 |
|
|
|
|
h/b=2 |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
z0=3,4 м |
z1=3,0 м |
|
42,2 |
42,22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Mx, кНм |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
67,5 |
|
|
|
78,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95,5 |
|
|
|
|
|
159,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 см |
|
|
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 5 |
16 |
38
1. Определим реакции опор
M A |
|
|
a 2b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
q |
|
|
M Fa YB a 2b c 0; |
|
||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M A |
14 2 6,4 2 |
28 22 2 YB 2 6,4 1,6 0; |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
YB 42,19кН 42,2кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M B |
|
|
|
|
a 2b |
|
|
|
|
|||
YA |
a 2b c q a 2b |
|
|
c F 2b c M 0; |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
M B |
|
2 6,4 1,6 14 2 6,4 |
|
2 6,4 |
|
|
||||||
YA |
|
|
1,6 |
|
||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 6,4 1,6 28 0;
YA 53,41кН 53,4кН.
2.Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов способом характерных сечений. Выполнить с подробными пояснениями как в п. 2 задачи 4 (см. выше).
3.По условию прочности подберем деревянную балку прямоугольного поперечного сечения, соблюдая условия: h 2b; R 13МПа; RS 2МПа.
Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения балки равен
W |
J X |
|
bh3 |
|
h |
|
bh2 |
. |
X |
ymax |
12 |
2 6 |
|
||||
|
|
Из условия прочности по нормальным напряжениям определим требуемую ширину сечения балки
|
|
|
M X |
|
M X |
|
|
3M X |
R . |
||||||||||
|
|
|
|
|
bh2 |
|
|
||||||||||||
|
|
nW |
|
|
|
2b3n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
X |
n 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При n 1 (n –это принятое количество балок) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 159,4 103 |
|
|
|
||||
b |
3 |
|
3M X |
|
|
3 |
|
|
|
0,264м=26,4см. |
|||||||||
|
2R n |
|
2 13 106 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
h 2b 2 26,4 52,8см>32см. (не допускается) |
|||||||||||||||||||
При n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 159,4 103 |
|
|
|
||||
b |
3 |
|
3M X |
|
3 |
|
|
0,154м=15,4см. |
|||||||||||
|
2R n |
2 13 106 5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2b 2 15,4 30,8см<32см. (допускается)
Принимаем пять балок с размерами b 16см, h=32см.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 5 |
17 |
|
39
4. Вычислим осевой момент сопротивления принятого сечения балки.
|
bh2 |
16 322 |
||
W |
|
|
|
2731см3. |
|
|
|||
X |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
5. Проверим на прочность по нормальным напряжениям
|
M X |
|
159,4 103 |
11,67 МПа 13МПа. |
|
nW |
5 2731 10 6 |
||||
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
Недогрузка составляет
13 11,67 100 10,2% 15% . 13
6.Проверим на прочность по касательным напряжениям (на скалывание) Статический момент отсеченной части
|
|
bh |
|
h |
|
b h2 |
16 322 |
||
S 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2048см3. |
|
|
|
|
||||||
X |
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Осевой момент инерции сечения
J X bh3 16 324 43691см4. 12 12
Проверим по условию прочности
|
Q S 0 |
53,4 103 2048 10 6 |
|
|||
|
Y |
|
X |
|
|
0,31МПа<R 2МПа. |
|
|
|
|
|||
|
nJ |
|
b |
5 43691 10 8 16 10 2 |
S |
|
|
X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Условие прочности выполняется.
32 см
16 см
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 5 |
18 |
|
40
Задача №6. Расчет двутавровой балки с консолью на прочность и жесткость (схема ???, строка ???)
|
|
M=28 кНм |
||
|
F=22 кН |
|||
XA=0 |
q=14 кН/м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
||||
|
|
|
|
|
A |
C |
K |
|
B |
D |
|
26 мм |
|
|
|
|
YA=52,1кН |
|
|
YB=81,9 кН |
||
a=2 м |
|
2b=6,4 м |
|
c=1,6 м |
|
52,1 |
52,1 |
Qy, кН |
|
|
|
|
30,1 |
z1=4,25 м |
|
|
|
|
|
|
22,4 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
– |
|
|
|
z0=2,15 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
59,5 |
|
|
|
Mx, кНм |
|
|
|
|
|
|
17,9 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,1 |
|
23 мм
E=200 ГПа
R=210 МПа
Rs=130 МПа
V/L=1/500
+
104,2
136,56
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 6 |
18 |
|