Закон сохранения энергии
Воспользуемся той же системой двух материальных точек с массами m1 и m2 , что и в предыдущем случае. Пусть на первую материальную точку действует внутренняя консервативная сила Fr12 , равнодействующая всех внешних консервативных сил Fr1 и равнодействующая всех внешних неконсервативных сил fr1 . Для второй точки обозначим соответствующие силы как Fr21 , Fr2 и fr2 . Тогда
|
dυr |
r |
r |
r |
|
|
|
dυr |
2 |
r |
r |
r |
|
||
m |
1 |
= F |
+ F |
+ f |
|
, |
m |
|
|
= F |
+ F |
+ f |
|
. |
|
|
|
2 dt |
|
|
|||||||||||
1 dt |
12 |
1 |
|
1 |
|
|
21 |
2 |
|
2 |
|
||||
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения drr1 и drr2 . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и,
учитывая что drri = υri dt , получим
r r |
r |
r r |
= |
r r |
, |
r r |
r |
r r |
= |
r r |
m1υ1dυ1 |
− (F12 |
+ F1)dr1 |
f1dr1 |
m2υ2 dυ2 |
− (F21 |
+ F2 )dr2 |
f2 dr2 . |
Сложим эти уравнения. Разберемся, что представляет каждое из получившихся слагаемых:
|
r |
r |
r |
|
r |
|
|
m υ 2 |
m υ 2 |
||||
m υ |
dυ |
1 |
+ m υ |
2 |
dυ |
2 |
= d ( |
1 1 |
+ |
2 2 |
) = dT - это приращение кинетической энергии системы. |
||
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= dU вз |
- это приращение потенциальной энергии взаимодействия частиц. |
||||||||||
− F12 dr1 |
− F21dr2 |
||||||||||||
− Fr1drr1 − Fr2 drr2 = dU внешн - это приращение потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил.
fr1drr1 + fr2 drr2 = dAвнешн - это работа неконсервативных внешних сил.
Таким образом, мы приходим к выражению
d (T + U вз + U внешн ) = dAвнешн . |
(12) |
В формуле (12) выражение в скобках представляет собой полную механическую энергию системы E . Следовательно, изменение этой энергии при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если такие силы отсутствуют, то из (12) следует, что
dE = 0 или E = const . |
(13) |
Выражение (13) представляет собой закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия системы, на тела которой действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), остается постоянной. Если внешние консервативные силы отсутствуют (U внешн = 0 ), то этот закон можно переформулировать так:
полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, не меняется с течением времени.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы не зависят от выбора начала отсчета времени.
В отличие от закона сохранения импульса, наличие внутренних неконсервативных сил приводит к нарушению закона сохранения полной механической энергии. В этом случае механическая энергия частично переходит в другие виды энергии. Например, при взаимном трении тел она превращается во внутреннюю энергию этих тел, то есть происходит их нагревание. Поэтому в самом общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так: энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
Основные виды ударов
Ударом называется кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, приводящее к значительному изменению их движения. Явление удара протекает обычно в сотые и менее доли секунды. Время соударения тем меньше, чем меньше деформации тел. Так как при этом импульс тел изменяется на конечное значение, то в месте соударения развиваются огромные силы.
Процесс удара в общем случае разделяют на две фазы. Первая фаза – с момента соприкосновения тел до момента, когда относительная скорость центров масс тел становится равной нулю. Вторая фаза – от этого последнего момента до момента, когда соприкосновение тел прекращается. С момента возникновения деформаций в месте соприкосновения тел начинают действовать силы, направленные противоположно относительным скоростям тел. Возникшие в результате действия сил ускорения уменьшают скорости тел до тех пор, пока они не станут одинаковыми, или, что то же, пока относительная скорость тел не станет равной нулю. При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию деформации. С момента, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление деформаций. Силы, продолжая действовать в прежнем направлении, сообщают теперь положительные ускорения. Скорости тел возрастают по абсолютной величине, их направление меняется на противоположное по сравнению с первоначальным. Наконец, тела расходятся, и удар заканчивается.
Рис. 2
Различают следующие виды ударов: центральный – прямой (рис. 2а) и косой (рис. 2б) и нецентральный – прямой (рис. 2в) и косой (рис. 2г). Прямая, совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Линия удара на рисунке обозначена пунктиром, центры тяжести тел – крестиками. Удар называется
центральным, если линия удара проходит через центры масс тел. Если векторы скоростей шаров до удара лежат на линии удара, то удар называется прямым, а если они не лежат на этой линии – косым.
Для определения величины потерь кинетической энергии удары делят на следующие
виды :
Абсолютно упругим называют такой удар, при котором полная механическая энергия системы тел сохраняется.
В процессе абсолютно упругого удара тела сначала деформируются, их кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию их упругой деформации. Затем, наоборот, тела полностью восстанавливают свою первоначальную форму и их потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую. При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса:
|
m υ |
2 |
|
+ |
m υ |
2 |
= |
m |
u2 |
+ |
m |
u |
2 |
|
, |
||||
|
1 1 |
|
2 2 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m υr |
+m υr |
= m |
ur |
+m |
2 |
ur |
2 |
|
, |
|||||||||
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где m1 и m2 - массы сталкивающихся тел, υr1,υr2 и ur |
1, ur |
2 |
|
- их скорости до и после удара |
|||||||||||||||
соответственно.
В реальности процесс соударения тел является частично упругим или неупругим. В телах возникает остаточная деформация, то есть тела не восстанавливают свою прежнюю форму, и кинетическая энергия частично или полностью теряется, превращаясь в тепловую.
При частично упругом ударе выполняется закон сохранения полной (механической и немеханической) энергии и закон сохранения импульса.
Абсолютно неупругим ударом называется такой удар, при котором тела, после соударения либо двигаются с одинаковой скоростью, находясь в соприкосновении друг с другом и сохраняя деформации, приобретенные во время столкновения, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе также выполняется закон сохранения полной (механической и немеханической) энергии и закон сохранения импульса:
m υ 2 |
|
m |
υ 2 |
|
|
(m |
1 |
+m |
)u 2 |
|
Jω 2 |
|
|
|||
1 1 |
+ |
|
2 |
2 |
= |
|
|
|
2 |
|
+ |
|
+Q , |
(14) |
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m υr |
+m |
υr |
=(m |
1 |
+m |
)ur |
, |
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
где в правой части (14) записаны поступательная энергия движения образовавшейся системы тел, энергия ее вращательного движения и теплота, выделившаяся при ударе.