2

16. Расчет переходных процессов численным методом на основе стандартных программ

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

dx2 a x a F (t)

dt 21 1 22 .2 2

dx

n an1x1 an2 x2 Fn (t)dt x

Та же система уравнений в матричной форме:

Система уравнений формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или методы Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе. Пример решения системы уравнений формы Коши методом Эйлера для к-го шага приведен ниже:

tк к h

Значения производных на к-ом шаге:

dxdt1 (к) a11x1(к 1) a12 x2 (к 1) ... F1(tк )

…………………………………………………

dxdtn (к) an1x1(к 1) an2 x2 (к 1) ... Fn (tк )

31

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-ом шаге интегрирования используются их значения на момент t = 0, т.е. их

В пакете MathCAD для численного интегрирования предусмотрены более сложные программы: rkfixed(…) – метод Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным шагом интегрирования, Rkadapt(…) – метод Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным (адаптивным) шагом интегрирования, и др.

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ''лишние'' переменные, имеющие зависимые начальные усло-

уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соеди-

нений А и В .

Последовательность расчета переходного процесса численным методом на основе стандартных программ показана ниже на конкретном примере.

Пусть требуется для схемы рис. 15 с заданными параметрами элемен-

реходного процесса и определить функции токов i1(t), i2(t), i3(t).

Рис. 15

32

1.Выполняется расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются начальные условия: i1(0) 0, i2 (0) 0, uC (0) 0.

2.Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений

4. Вводятся одноименные обозначения переменных: i1 = X0, i2 = Х1, uC = Х2. Составляются матрицы начальных условий и правых частей уравнений Коши.

5. Система уравнений решается численным методом на ЭВМ по стандартной программе rkfixed(…). Массивы значений переменных величин, получаемые в результате численного интегрирования, превращаются в соответствующие функции методом линейного интерполирования.

33

Z rkfixed (N 0 0.2 10000 F)

tn Z 0 i1n Z 1 i2n Z 2 Ucn Z 3

6. На заключительном этапе производится математическая обработка полученных результатов. Например, строятся графические диаграммы исследуемых функций (рис. 16), определяется характер и время переходного процесса и т.д.

Рис. 16. Графические диаграммы функций токов

В настоящее время метод численного интегрирования является наиболее универсальным и наиболее простым методом расчета переходных процессов в электрических цепях. Достоинствами данного метода являются:

1. Метод численного интегрирования одинаково просто может применяться для расчета переходных процессов в электрических цепях любой сложности, содержащих любое число независимых накопителей энергии L и C. В то же время в классическом и операторном методах с увеличением числа независимых накопителей энергии (и соответственно порядка дифференциального уравнения) значительно возрастают математические сложности, что практически не позволяет применять эти методы для решения дифференциальных уравнений высоких порядков.

34

2.Метод численного интегрирования позволяет одинаково просто выполнять расчет переходных процессов в цепи при воздействии на нее источников ЭДС любой формы: постоянной, синусоидальной, несинусоидальной, импульсной, произвольной.

3.Метод численного интегрирования позволяет сравнительно просто выполнить математический анализ решения для искомой функции и получить выводы, необходимые для инженерной практики, а именно: определить характер и продолжительность переходного процесса, определить максимальные значения функций и т.д.

17. Анализ переходных процессов в цепи R, L

L в переходном режиме. В качестве примера рассмотрим переходной про-

Расчет переходного процесса выполним классическим методом.

e(t)

Рис. 17

35

медленнее затухает переходной процесс. Теоретически затухание свободной составляющей продолжается до бесконечности. Техническое время

На рис. 18 представлена графическая диаграмма искомой функции

i(t).

Iу

i(t)

Рис. 18

Для приближенного построения графической диаграммы свободной

36

Общий вид решения для тока:

Установившаяся составляющая тока:

Окончательное решение для искомой функции:

Из анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы источника ЭДС. При 90 эта ампли-

37

39

Таким образом, энергия электрического поля конденсатора составляет

u, i

E

uC

i

t,

Рис. 21

Установившаяся составляющая напряжения:

40