2

Приравнивая правые части равенств, получим:

циальной форме, которое характеризует интенсивность выделения энергии вокруг рассматриваемой точки.

Если внутри цилиндра окажутся источники энергии, создающие до-

полнительную составляющую напряженности поля E ст (напряженность

Как известно, выражение первого закона Кирхгофа в интегральной форме имеет вид:

и замкнуты.

Интегральная форма уравнения 2-го закона Кирхгофа для контура, не содержащего источников ЭДС, имеет вид:

u u1 u2 ... 0 .

171

Выразим каждое из напряжений через вектор напряженности поля E :

и преобразуем полученное уравнение по теореме Стокса:

Последнее уравнение справедливо для любого направления, следовательно:

форме.

Из этого уравнения следует вывод, что электрическое поле постоянного тока безвихревое, потенциальное и в каждой точке может быть описано потенциальной функцией согласно уравнению:

выделим точку и окружим ее элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис.

125, а).

172

Применяя первый закон Кирхгофа, получим:

раздела двух сред с различными проводимостями равны нормальные со-

Окружим точку элементарным прямоугольником (рис. 125, б), у которого высота бесконечно мала по сравнению с длиной. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру прямоугольника, получим:

2. Методы расчета электрических полей постоянного тока

Электрическое поле постоянного тока, с одной стороны, и электростатическое поле вне электрических зарядов ( св = 0), с другой стороны, описываются одинаковыми по структуре математическими уравнениями. Для сравнения сведем эти уравнения в общую таблицу.

173

Как следует из приведенной таблицы, оба поля описываются одинаковыми по структуре уравнениями и к ним применим принцип двойственности. Таким образом, для расчета электрических полей постоянного тока, можно применять те же расчетные методы, которые были получены ранее для электростатических полей, при условии соответствующих замен в расчетных формулах физических величин и коэффициентов:

тального исследования сложных по конфигурации электростатических полей применяется их физическое моделирование с помощью электрических полей постоянного тока.

В электростатике очень важное значение имеет теоретическое понятие точечного заряда q. По аналогии введем понятие точечного тока i, который растекается в проводящей среде из одной точки, при этом в этой точке

Пример 1. Заземлитель шаровой формы с радиусом R находится на большой глубине h (h R). К заземлителю подведено напряжение U (рис.

126).

Рис. 126

Заменим суммарный ток, стекающий с поверхности заземлителя точечным током i, который растекается из центра заземлителя. Применим расчетные формулы из теории электростатического поля точечного заряда,

174

если принять 0 , то постоянная интегрирования С = 0. Потенциал на поверхности заземлителя при r = R:

откуда получаем формулы для сопротивления заземлителя и его тока:

Пример 2. Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно небольшой глубине h, соизмеримой с его радиусом R (рис. 127).

2

Рис. 127

Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Заменим в верхней полуплоскости диэлектрик проводящей средой γ и зеркально расположим там такой же заземлитель той же полярности, при этом граничные условия на поверхности земли не изменятся (линии вектора Е направлены по касательной вдоль поверхности). Заменим токи, стекающие с поверхностей обоих заземлителей, равными по величине точечными токами, растекающимися из электрических центров 1 и 2, которые будут смещены относительно геометрических центров так, чтобы сохранились прежними граничные условия на поверхности шаров (поверхности должны остаться эквипотенциальными с потенциалом φ = U). После определения положения электрических центров расчет параметров поля в произвольной точке n производится по методу наложения:

175

При соотношении h > >R потенциал на поверхности заземлителя будет равен:

откуда следует формула для определения сопротивления заземлителя:

нии х от центра опоры высоковольтной ЛЭП при коротком замыкании одной из фаз линии на опору (рис. 128).

x

R

Рис. 128

Для упрощения расчетов будем считать, что заземлитель опоры имеет форму полушария с радиусом R. Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой , а заземлитель дополним зеркальным отображением до полного шара. После таких преобразований решение задачи сводится к расчету поля шарового заземлителя п.1.:

где U ф фазное напряжение ЛЭП, R – радиус заземлителя опоры.

176

Пример 4. Требуется рассчитать электрическое поле вертикального цилиндрического заземлителя диаметром D и длиной h. К заземлителю подведено напряжение U (рис. 129).

Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой γ, а заземлитель дополним его зеркальным отображением. Будем считать, что электрический ток стекает с оси заземлителя, где = f(y) линейная плотность тока стекания [А/м]. Вид функции = f(y) должен удовлетворять граничным условиям, а именно, поверхность заземлителя должна быть эквипотенциальной с потенциалом φ = U. Расчеты показывают, что линейная плотность тока τ по концам заземлителя значительно больше, чем в его середине. Тогда di = dl элемент тока.

Параметры поля получаются в результате интегрирования соответствующих уравнений по всей длине заземлителя:

Расчеты полей сложной конфигурации выполняются как правило на ЭВМ методом численного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений.

177

T3. Магнитное поле постоянных токов

1.Уравнения магнитного поля в интегральной

идифференциальной формах

Магнитное поле характеризуется двумя векторными величинами

H – вектор напряженности магнитного поля, создается электрическими токами, является первопричиной магнитного поля А/м

B – вектор индукции магнитного поля или плотность магнитных силовых линий Тл .

где 0 = 4 10-7 1,257 10–6 Гн/м магнитная проницаемость пустоты,относительная магнитная проницаемость.

Известный из курса физики закон Био-Савара-Лапласа устанавливает

На прямолинейный проводник с током I в равномерном магнитном поле действует сила F BIl sin B^ l , направление которой определяется по правилу левой руки.

178

1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи, выражающий непрерывность магнитных силовых линий поля, имеет вид

Преобразуем это уравнение по теореме Остроградского-Гаусса

Закон полного тока для магнитного поля имеет вид

179

На границе раздела двух сред равны нормальные составляющие вектора В и тангенциальные составляющие вектора Н.

Магнитное поле несет в себе энергию, плотность которой определяется уравнением

2. Векторный потенциал магнитного поля

Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде ( = const), в которой протекает электрический ток, плотность которого задана

ное уравнение, решение которого известно в математике.

го поля, удовлетворяет условию

B rot A

Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение

(1) выполняется тождественно divB divrotA 0

2 A 0 уравнение Пуассона для векторного потенциала маг-

нитного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводимости отсутствуют, уравнение Пуассона

уравнений в декартовой системе координат распадается на три скалярных в направлении координатных осей

180