Вопросы к экзамену по высшей математике
.docxВопросы к экзамену по высшей математике (ПСФ, 1-ый курс, осенний семестр)
-
Матрицы, операции над матрицами.
-
Определители, их свойства и вычисления. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбцы).
-
Обратная матрица и ее существование. Способы нахождения обратной матрицы.
-
Ранг матрицы, способы его определения. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Элементарные преобразования матриц.
-
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (без доказательства). Зависимость решений СЛАУ от ранга матриц. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.
-
Решение СЛАУ. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Матричный метод решения невырожденных СЛАУ. Формулы Крамера.
-
Линейные пространства (ЛП). Примеры ЛП. Пространства Rn. Векторы. Геометрическая интерпретация векторов и линейных операций над ними.
-
Линейная зависимость и независимость вектора в ЛП. Пространства R2, R3.Базис, размерность ЛП. Векторный базис на плоскости, в пространстве. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости, в пространстве.
-
Евклидово пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в Rn , его свойства. Механический смысл скалярного произведения. Расстояние, угол между векторами.
-
Векторное произведение векторов, его свойства. Простейшие приложения в задачах механики, физики. Условия коллинеарности двух векторов.
-
Смешанное произведение и достаточное условие компланарности трех векторов.
-
Линейные операторы. Ядро, матрица, характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы операторов.
-
Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых.
-
Эллипс, эксцентриситет эллипса.
-
Гипербола, асимптоты, эксцентриситет гиперболы.
-
Парабола, фокальные свойство параболы.
-
Уравнение поверхности в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
-
Уравнение линии в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.
-
Метод параллельных сечений исследования формы поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические и конические поверхности.
-
Квадратичные формы. Критерий Сильвестора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
-
Множества, операции над множествами. Числовые множества. Отношения, их классификация. Отношение эквивалентности.
-
Высказывания, предикаты, логические операции. Прямая, обратная теорема. Необходимое, достаточное условие.
-
Комплексные числа (КЧ), действия над ними. Формы представления КЧ.
-
Отображение, оператор, функции. Область определения, множества значений, способы задания, график функции. Основные характеристики функций.
-
Основные элементарные функции: линейная, квадратичная, степенная, дробно-линейная, показательная, логарифмическая. Их свойства и графики (обзор).
-
Основные элементарные функции: тригонометрические и гиперболические. Их свойства и графики (обзор).
-
Числовая последовательность (ЧП), предел ЧП, его вычисление. Основные приемы раскрытия неопределенностей.
-
Предел функции в точке, при Х ±∞. Определение предела по Коши и по Гейне. Односторонние пределы. Вычисление предела, раскрытие неопределенностей.
-
Бесконечно малые т бесконечно большие функции. Свойства, сравнение бесконечно малых функций. Символы о и О.
-
Первый и второй замечательные пределы.
-
Основные теоремы о пределах функций, последовательностей.
-
Непрерывность функции в точке на множестве. Классификация точек разрыва функции. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная непрерывность.
-
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование промежуточных, наибольшего, наименьшего значения, Теорема Больцано-Коши
-
Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Односторонние производные. Уравнение касательной и нормали. Таблица производных.
-
Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал функции, его смысл.
-
Сложная функция, ее производная и дифференциал. Инвариантность формы дифференциала.
-
Правила дифференцирования функции.
-
Обратные, неявные функции. Их дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Теорема Роля.
-
Теорема Лагранжа, ее применение. Теоремы Коши, Ферма.
-
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лангранжа. Представление по формуле Маклорена функций: ех, .
-
Монотонные функции. Условия монотонности функции.
-
Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума.
-
Достаточные условия существования экстремума.
-
Исследование функций на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функций.
-
Общая схема исследования функции. Экстремумы. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
Мелешко А.Н.