- •Программа сортировки по индексам
- •Способ 5
- •1) Критерий хи - квадрат (Пирсона)
- •2) Критерий Романовского
- •3) Критерий Колмогорова
- •Ринунок 2.13 – Эмпирическая (1) и теоретическая (2) функции распределения
- •4) Критерий Мизеса-Смирнова
- •2) Статистическое имитационное моделирование
- •1) Критерий хи - квадрат (Пирсона)
- •2) Критерий Романовского
- •3) Критерий Колмогорова
- •Ринунок 2.13 – Эмпирическая (1) и теоретическая (2) функции распределения
- •4) Критерий Мизеса-Смирнова
- •2) Статистическое имитационное моделирование
- •1) Критерий хи - квадрат (Пирсона)
- •2) Критерий Романовского
- •3) Критерий Колмогорова
- •Ринунок 2.13 – Эмпирическая (1) и теоретическая (2) функции распределения
- •4) Критерий Мизеса-Смирнова
- •3.6. Транспортная задача линейного программирования
- •3.1. Безусловная оптимизация для одномерной унимодальной целевой функции
2) Статистическое имитационное моделирование
Статистическое имитационное моделирование основывается на генерации случайных величин, имитации функционирования системы и статистической обработке результатов моделирования. Методом моделирования может быть исследована СМО любой степени сложности.
Для проведения моделирования могут использоваться как универсальные языки программирования так и проблемно-ориентированные - GPSS, SIMULA и др.
Параметры функционирования системы оцениваются при моделировании по результатам многократного обслуживания требований (многократных испытаний). При имитации работы системы случайные величины (длительность обслуживания в каналах, интервалы между поступлениями требований, время возврата требований в систему, моменты возникновения отказов каналов и их длительность и др.) получают генерацией по ранее приведенным алгоритмам в зависимости от вида распределения (закон, усечение, смещение).
Число обслуживаний (опытов) необходимо принимать таким, чтобы обеспечить оценку интересующих параметров с заданной точностью при принятой доверительной вероятности.
Таким образом, определение числа опытов производится по аналогии с расчетом размера выборки для исследования случайных величин. При этом это число рекомендуется определять в ходе моделирования на основе оценки точности рассчитываемых параметров.
Алгоритмы моделирования ранее рассмотренных систем массового обслуживания приведены на рисунках 2.18 и 2.19. Число моделируемых обслуживаний определяется на основе формулы для нормального закона распределения, а в качестве интересующего показателя принята средняя продолжительность ожидания требованием начала обслуживания. Отноcительная точность оценивания задана равной с односторонней доверительной вероятностью = 0.95 (квантиль равна 1.645).
Структура алгоритмов следующая:
блок 2– ввод и вывод на принтер исходных данных;
блоки 3-6 – формирование начальных условий моделирования;
блоки 7-10 – поиск канала (источника) с минимальным значением момента времени освобождения от предыдущего обслуживания (прибытия на обслуживание);
блоки 11-18– имитация обслуживания требований и накопление сумм длительностейвремени простоев и обслуживания;
блоки 19-21– принятие решения об окончании моделирования или его продолжении;
блок 22 – наращивание номера опыта (испытания);
блоки 23-24 – вычисление средних значений параметров и вывод их на монитор (принтер).
Оценка адекватности уравнения регрессии данным эксперимента
Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции и таким образом оценивания согласованности уравнения регрессии с экспериментальными данными используется статистика критерия Фишера
или
,
где и– соответственно объясненная и остаточная дисперсия для зависимого параметра.
Чтобы не было оснований отвергнуть гипотезу, что экспериментальные данные согласуются с полученным уравнением регрессии, рассчитанная статистика критерия Фишера должна быть больше табличного значения (F > Fт). Табличное значение Fт определяется в зависимости от уровня значимости γ и числа степеней свободы k1 и k2 :
k1 = n ;
k2= m - n- 1 .
Уровень значимости (вероятность) рекомендуется принимать 0.01 – 0.05 (чем меньше, тем жестче требования к адекватности модели).
Если F<Fт, то считается, что уравнение регрессии не согласуется с экспериментальными данными.
Оценивание параметров теоретического закона распределения.
Для некоторых законов распределения ниже приведены вид функции плотности вероятности и функции распределения, а также зависимости для вычисления значений параметров.
Нормальный закон распределения
Функция плотности вероятности имеет вид
где а и – параметры закона распределения;= 3.1415... .
Функция распределения
Точечные оценки параметров нормального закона распределения равны: а = xм,=S.
Логарифмически нормальный закон распределения
Функция плотности вероятности , x>0.
Функция распределения .
Логарифмически-нормальный закон можно описать функцией плотности вероятности нормального распределения, если вместо значений хиспользовать их логарифмы.
Точечные оценки параметров закона распределения:
;
Экспоненциальный закон распределения
Функция плотности вероятности
, x0;
Функция распределения
, x0
Точечная оценка параметра закона распределения = 1/xм.
Закон равномерной плотности
,;
Функция распределения
,.
Точечная оценка параметра закона распределения
;
.
Закон распределения Релея
Функция плотности вероятности
, x0;
Функция распределения
, x0;
Точечная оценка параметра закона распределения
.
Закон распределения Эрланга (гамма-распределение)
Функция плотности вероятности
, x0;
Функция распределения
, x0;
Точечная оценка параметров закона распределения:
и по k' принимается k как ближайшее целое (k=1, 2, 3,...);.
Закон распределения Вейбулла
Функция плотности вероятности
, x0;
функция распределения
, x0;
Точечная оценка параметров закона распределения
;
.
Загрузка каналов и их возможные приоритеты в системах массового обслуживания
В системах с приоритетами требований различают относительный приоритет (без прерывания обслуживания), когда при поступлении требования с более высоким приоритетом оно принимается на обслуживание после окончания ранее начавшегося обслуживания требования с меньшим приоритетом, и абсолютный приоритет, когда канал освобождается немедленно для обслуживания поступившего требования с более высоким приоритетом.
Шкала приоритета может быть построена исходя из каких-то внешних относительно системы обслуживания критериев или на показателях, связанных с работой самой системы обслуживания. Практическое значение имеют следующие типы приоритетов:
разделение входящих требований по категориям приоритетности в зависимости от их источников;
приоритет у требований с наименьшим временем обслуживания. Эффективность данного приоритета может быть показана на следующем примере. Поступили последовательно два требования с длительностью обслуживания соответственно 6,0 и 1,0 ч. При приеме их на обслуживание освободившимся каналом в порядке поступления простой составит для 1-го требования 6,0 ч и для второго 6,0+1,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 13,0 ч. Если дать приоритет второму требованию и его принять на обслуживание первым, то его простой составит 1,0 ч и простой другого– 1,0+6,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 8,0 ч. Выигрыш от назначенного приоритета составит 5,0ч (13-8) сокращения простоев требований в системе;
приоритет у требований с минимальным отношением времени обслуживания к мощности (производительности) источника требования, например, к грузоподъемности автомобиля.
Механизм обслуживания характеризуется параметрами отдельных каналов обслуживания, пропускной способностью системы в целом и другими данными об обслуживании требований. Пропускная способность системы определяется числом каналов (аппаратов) и производительностью каждого из них.
Определение доверительных интервалов случайных величин
Интервальная оценка параметра распределения случайной величины определяется тем, что с вероятностью
abs(P – Pм) ≤,
где P – точное (истинное) значение параметра;
Pм – оценка параметра по выборке;
– точность (ошибка) оценивания параметра Р.
Наиболее часто принимают от 0.8 до 0.99.
Доверительный интервал параметра [Pм–, Pм+] – это интервал, в который попадает значение параметра с вероятностью . Например, на этой основе находится требуемый размер выборки случайной величины, который обеспечивает оценку математического ожидания при точности с вероятностью . Вид связи определяется законом распределения случайной величины.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Х1, Х2] определяется приращением интегральной функции распределения на рассматриваемом интервале F(Х2)–F(Х1). Исходя из этого, при известной функции распределения можно найти ожидаемое гарантированное минимальное Хгн (x≥ Хгн) или максимальное значение Хгв (x≤ Хгв) случайной величины с заданной вероятностью (рисунок 2.15). Первое из них является тем значением, больше которого случайная величина будет с вероятностью , а второе – что случайная величина с вероятностью меньше этого значения. Гарантированное минимальное значение Хгн с вероятностью обеспечивается при F(x)= 1- и максимальное Хгв при F(x)=. Таким образом, значения Хгн и Хгв находятся по выражениям:
Хгн = F-1 (1-);
Хгв = F-1 ().
Пример. Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с функцией .
Требуется найти значения Хгн и Хгв, для которых случайная величина х с вероятностью =0.95 соответственно больше Хгн и меньше Хгв.
Исходя из того, что F-1 (α) = -1/ ln(1- α) (см.вывод ранее) и α = 1- = 0.05 получаем
Хгн = -1/ ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.
Для Хгв α = = 0.95 аналогично имеем
Хгв = -1/ ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.
Для нормального закона распределения значения Хгн и Хгв могут быть рассчитаны по формулам
Хгн = хм + s U1- = хм - s U ;
Хгв = xм + s U ,
где xм – математическое ожидание случайной величины; s – среднеквадратическое отклонение случайной величины; U – односторонняя квантиль нормального закона распределения при вероятности .
1.0
F(x)
0.80
0.60
0.40
0.20
1-
xгн xгв x
Рисунок 2.15 – Графическая интрепретация определения Хгн и Хгв
Описание потоков требований на обслуживание
Входящий поток представляет собой последовательность требований (заявок), прибывающих в систему обслуживания, и характеризуется частотой поступления требований в единицу времени (интенсивностью) и законом распределения интенсивности потока. Входящий поток может быть описан также интервалами времени между моментами поступления требований и законом распределения этих интервалов.
Требования в потоке могут поступать по одному (ординарные потоки) или группами (неординарные потоки).
Свойство ординарности потока заключается в том, что в любой момент времени может поступить только одно требование. Иными словами, свойство заключается в том, что вероятность поступления больше одного требования за малый промежуток времени есть бесконечно малая величина.
В случае группового поступления требований задается интенсивность поступления групп требований и закон ее распределения, а также размер групп и закон их распределения.
Интенсивность поступления требований может изменяться во времени (нестационарные потоки) или зависит только от единицы времени, принятой для определения интенсивности (стационарные потоки). Поток называется стационарным, если вероятность появления n требований за промежуток времени (t0, t0+Δt) не зависит от t0, а зависит только от Δt.
В нестационарном потоке интенсивность изменяется во времени по непериодической или периодической закономерности (например, процессы сезонного характера), а также может иметь периоды, соответствующие частичной или полной задержке потока.
В зависимости от того, имеется ли связь между числом требований, поступивших в систему до и после некоторого момента времени, поток бывает с последействием или с отсутствием последействия.
Ординарный, стационарный поток требований с отсутствием последействия является простейшим.
Критерии согласия Пирсона и Романовского