26. Вывод канонического уравнения эллипса.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;-каноническим уравнением эллипса.

27. Вывод канонического уравнения параболы.

;

Директриса ,p>0 – параметр параболы.

;

;

;

;

; -каноническое уравнение параболы.

28.Гиперболические поверхности

Гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

29.Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

31.Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

33.Числовая последовательность. Предепредел последовательности.

Числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента:

X_n=f(n), определённая на множестве всех натуральных чисел, т.е. nN.

Задать числовую последовательность – значит задать правило, по которому каждому натуральному числу n соответствует одно и только одно число. В общем случае бесконечная числовая последовательность записывается в виде:

х₁, х₂, х₃,…….,х_n ,…….

(обозначают (х_n) или х_n, где nN). При этом х_n называется n-м членом или общим членом последовательности (х₁ – первый член последовательности, х₂ - второй и т.д.

Способы задания последовательности:

1. Аналитический – с помощью формулы n-го члена последовательности, по которой могут быть вычислены все остальные.

Например, пусть х_n=(-1)ⁿ/2n-1. Придавая n значения 1,2,3,4……, получаем развернутую запись этой последовательности:

-1, 1/3, -1/5, 1/7,…., (-1)ⁿ/2n-1,….;

2) табличный – каждому nN ставят в соответствие определённое числовое значение, что оформляют в виде таблицы;

3) рекуррентный – указывает несколько первых членов последовательности и правило (или формулу), позволяющее найти все последующие члены, использую предыдущие.

Например, пусть х₁=1, х₂=1 и каждый следующий член равен сумме двух предыдущих.

Получаем последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21……., называется числами Фибоначчи.

4) словесный – последовательность задают описательно (словами).

Предепредел последовательности

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого >0 существует такое число n() что для всех n> n() выполняется:

х_n-a<0.

Пишут: lim _(x) x_n=a

Выполнение неравенства геометрически означает, что в случае существования предела все члены последовательности с номерами n> n() содержатся внутри интервала (а-, а+).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.