46. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 

Решением дифферен­циального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество

Так, решением уравнения у' = f(х) является функция у = F(x) — первообразная для функции f(x).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав­нениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит oт одной перемен­ной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновен­ные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей и ДУ, называется по-рядком этого уравнения.

Например, уравнение у'" -Зу" + 2у = 0 — обыкновенное ДУ тре­тьего порядка, а уравнение x² y’ + 5xy = у² первого порядка; yz'_x = xz'_y ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48-3), удовлетво­ряющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

y' = f(x;у)

Р(х; у) dx + Q(х; у) dy = О, 48-3

у(х_o)=у_o или у = у|_x=x0.=y₀ 48.4

I»-*.

47. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1)

Называется уравнение полный дифференциалов если для него выполняется условие

(2)

Если выполняется условие (2) то левая часть уравнения (1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции.

du(x,y) = 0 (3) => u(x,y) = c где c=const.

dx +

Если составить уравнениемы можем утвердить, чтоP(x,y); Q(x,y)

u(x,y)= u(x,y)+ϕ(y).

Оглавление

1.Первообразная 1

2. Неопределенный интеграл. 1

4. замены переменных. 1

5. Теорема о производной от неопределённого интеграла 1

6. Интегрирование по частям. 1

7. Интеграл вида 1

8. Интеграл вида . 1

10. Интегрирование биноминальных дифференциалов. 2

12. Определенный интеграл. 2

13. Формула Ньютона – Лейбница) теорема 3

14. Вычисление площадей плоских фигур. 3

16. Вычисление длины дуги кривой. 3

17. Несобственные интегралы. 3

20. Вычисление объемов тел. 3

22. Условный экстремум. 4

23. Функции нескольких переменных 4

24.Полный дифференциал ФНП 5

26. Производная от сложной ФНП Теорема. 5

27.Инвариантность формы полного дифф. 5

28.Касательная и нормаль к поверхности 5

31.Теорем о связи производной по направлению с градиентом. 6

32. Частные производные высших порядков. 6

33. Экстремум функции нескольких переменных 6

35.Теорема. (Достаточные условия экстремума). 6

37.Нахождение наибольшего,меньшего знач ФПН 7

46. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. 8