3. Подробное описание двух методов на выбор

Кубический сплайн:

Кубические сплайны - это мощное и удобное средство, но и они небезупречны: необходимо учитывать влияние направления и величины касательных векторов, указывать все точки кривой до ее изображения, невозможна локальная коррекция кривой. Последнее особенно важно для интерактивной работы. Расчет кубического сплайна требует обращения большой матрицы, зависящей от всех элементов сплайна; т.е. изменение любого сегмента затрагивает все остальные сегменты. Воздействие уменьшается при удалении от точки возмущения, но полностью пренебречь им нельзя. Параболическая интерполяция разрешает большинство этих проблем за счет того, что она только непрерывна, т. е. в точках соединения сегментов сохраняется непрерывность лишь первой производной. Для многих прикладных задач этого достаточно, причем параболическая интерполяция не требует больших расчетов.

Параболическая интерполяция была разработана Оверхаузером [1-9]. Оверхаузер строил кривую интерполяции, исходя из геометрических соображений. Идея состоит в линейной интерполяции пересекающихся частей двух парабол. Параболы заданы четырьмя последовательными точками: первая - тремя первыми точками, вторая - тремя последними. Пересечение лежит между второй и третьей точками.

Рис. 1-18 Параболическая интерполяция.

Несмотря на то, что параболы - плоские кривые, их линейная интерполяция это кубическая пространственная кривая, как показано на рис. 1-18.

Рассмотрим обобщенный вывод для всего семейства. Параболически интерполированная кривая имеет вид

,                (1-41)

где ,,- параметры,,- параметрические параболы, проходящие через,,и,,, соответственно, как показано на рис. 1-19. Для простоты параболы на рис. 5-19 лежат в одной плоскости, но это не обязательно (рис. 1-18). Параметрическое представлениеиследующее:

,                     (1-42)

,                     (1-43)

где и- матрицы, представляющие положение вектор-точек,,и,,, соответственно. Результат интерполяции - кубическая кривая

,                        (1-44)

Рис. 1-19 Обозначение для параболической интерполяции.

Чтобы определить и, а затеми, необходимо установить связь между параметрами,,. Из рис. 1-19, замечая, чтоменяется от 0 до 1 на сегменте отдовдоль,меняется от 0 до 1 на сегменте отдовдоль, именяется от 0 до 1 на сегменте отдовдоль, разумно предположить, чтои, а такжеисвязаны линейно. Отсюда

,                ,                 (1-45)

где - константы, заданные граничными условиями в вектор-точках,,и. Предположим, что данные распределены равномерно или почти равномерно, и диапазон параметров нормализован, т.е.. Тогда можно условиться, что

,                  ,,                  (1-46а)

,                  ,,                   (1-46b)

,                                                     .                  (1-46с)

Здесь основные предположения таковы: дляидля. Эти предположения сделаны в работе [1-10]. В результате получаем единственный член семейства параболических интерполированных кривых, как будет показано ниже.

В предположениях уравнений (1-45)

Итак

,          .                  (1-47)

Вспомним уравнение (1-42) и используем уравнение (1-46а), чтобы выразить через,,,

,    (1-48а)

,       (1-48b)

.      (1-48с)

Запишем в виде одной матрицы

.

Отсюда

.                 (1-49)

Аналогично через ,,находится выражение. Пользуясь уравнением (1-46b), получаем

,    (1-50a)

,       (1-50b)

.      (1-50c)

Сравнение с уравнениями (1-48) сразу же дает

.                (1-51)

Вспомним уравнение (1-41) и подставим уравнения (1-42) и (1-43):

.

Используем уравнение (1-47), чтобы переписать это только в терминах параметра ,

.

Подставив ииз уравнений (1-49) и (1-51), получим

.

Перепишем уравнение так, чтобы включить все четыре точки ,,,:

.

Наконец, перепишем результат в форме уравнения (1.44)

,                        (1-44)

где

(1-52)

и

.                (1-53)

Заметим, что результат имеет вид произведения матрицы интерполяционных функций и геометрической матрицы.

Линейная интерполяция:

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки при (i = 0. 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

    Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов , то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точкии, в виде

    Отсюда

(*)

    Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке

Рис 2.1- График зависимости линейной интерполяции.