- •Лабораторная работа № 4
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Численный метод Рунге-Кутта решения задачи Коши для оду 1-го порядка
- •Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Решение ду 2-го порядка методом Рунге-Кутта
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •Варианты заданий
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
ОДУ 2-го порядка имеет вид:
или .
Задача Коши для этого уравнения: найти такое решение, которое удовлетворяет начальным условиям ,.
Решение ду 2-го порядка методом Рунге-Кутта
С помощью замены переменных вместо одного ДУ 2-го порядкаполучим систему двух ДУ 1-го порядка:
с вектором начальных условий
.
Дальше применяем метод Рунге-Кутта с помощью встроенной функции , где
.
Задача 3. Решите задачу Коши методом Рунге-Кутта и постройте график приближенного решения ДУ ,,, по 60 точкам отрезка.
С помощью замены ,вместо заданного ДУ получим систему ДУ
с вектором начальных условий .
Решение:
1)
2)
3)
4)
- решение в форме матрицы, I-й столбец которой состоит из значений ,II-й из значений ,III-й - .
5) построить график решения
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Структура общего решения ДУ зависит от характера корней соответствующего характеристического уравнения:
.
Если характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня и, то фундаментальная система решений имеет види. Если характеристическое уравнение имеет 2 равных действительных корня, то фундаментальная система решений имеет види. Если характеристическое уравнение имеет 2 комплексных корняи, то фундаментальная система решений имеет види.
Общее решение ДУ: .
Задача 4. Найдите общее решение уравнения . Решите задачу Коши с начальными условиями,, (решенную приближенно методом Рунге-Кутта в задаче 3). Проверьте правильность решения. Изобразите его график.
Решение:
1) Установите режим автоматических вычислений.
2)
3) Найдите корни характеристического уравнения:
4) - функции фундаментальной системы решений.
5) Запишите общее решение уравнения (как функцию переменных ,и):
6) Для определения значений и, при которых выполняются начальные условия, найдитеи:
Упростим это выражение: .
7) Используйте вычислительный блок для нахождения и, учитывая, что
Given
=
=
Таким образом, искомое решение:
8) Проверьте решение подстановкой в уравнение:
9) Проверьте выполнение начальных условий:
10) Постройте график решения:
11) Сравните графики точного и приближенного решений.
Линейные неоднородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Общее решение линейного неоднородного уравнения записывается как сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.
Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения:
,
при этом
1) для , если, то частное решение ДУ имеет вид.
Если или, то частное решение ДУ.
Если то частное решение ДУ.
2) для ,
если , то частное решение ДУ имеет вид.
Если или, то частное решение ДУ.
Если , то частное решение ДУ.
3) для (в частности, приили).
Если , то частное решение ДУ имеет вид
.
Если или, то частное решение ДУ имеет вид
.
Задача 5. Найдите общее решение неоднородного уравнения . Проверьте правильность решения.
Решение:
1)
2-3) Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения вашего задания (см. пункты 2-5 решения задачи 4).
4) Запишите выражение для частного решения как функцию переменной и неизвестных коэффициентов – по виду правой части неоднородного уравнения:
5) Подставьте выражение частного решения в левую часть уравнения:
6) В полученном выражении приведите подобные относительно степеней , для чего выделите переменную х и щелкните по строкеCollect в меню Symbolics:
7) Приравняв коэффициенты при степеняхполученного выражения левой части уравнения и выражения правой части, запишите и решите систему относительно параметров,,:
=
=0
=
8) Запишите частное решение с найденными коэффициентами ,,:
9) Запишите общее решение неоднородного уравнения:
10) Проверьте решение подстановкой:
Замечание. В задаче 5 правая часть имеет вид многочлена . Если в задании или, соответственно измените в решении пункты 4-9.