- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •15. Прямая на плоскости.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке некоторой области. Рассечем поверхностьS, изображающую функцию z, плоскостями x=иy=. Плоскостьx=пересекает поверхностьS по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функцииz=f(x,y) вместо х числа . Точкапринадлежит кривой. В силу дифференцируемости функцииz в точке функциятакже является дифференцируемой в точкеy=. Следовательно, в этой точке в плоскостиx=к кривойможет быть проведена касательная. Построим касательнуюк кривойв точкеx=. Прямыеиопределяют плоскость, которая называетсякасательной плоскостью к поверхности S в точке . Составим ее уравнение. Так как плоскостьпроходит через точку, то ее уравнение может быть записано в виде А() + В() + С()=0, которое можно переписать так:(разделив уравнение на –С и обозначив А/-С=, В/-С=). Найдеми. Уравнения касательных имеют вид:;соответственно. Касательнаялежит в плоскости.. В итоге. Следовательно,. Искомое уравнение касательной плоскости:. Прямая, проходящая через точкуи перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется еенормалью. Каноническое уравнение нормали: .
Экстремум ф-ции нескольких переменных. Теорема(необходимые условия экстремума): Если в точке N(,) дифференцируемая функцияz=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: .Док-во: Зафиксируем одну из переменных. Положим, y=. Тогда получим ф-циюодной переменной, которая имеет экстремум приx-. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной,, т.е.. Замеч.: ф-ция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точка, в которой частные производные первого порядка функцииz=f(x,y) равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функцииz. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Теорема(достаточное условие экстремума): Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функцияF(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значенияобозначим. Тогда: 1.Если, то функцияf(x,y) в точке имеет экстремум: максимум, еслиA<0, минимум, если A>0; 2.Если , то функцияf(x,y) в точке экстремума не имеет. В случаеэкстремум в точкеможет быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a,b], либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точкуследует искать среди критических точек данной функции.
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:
1) найти критические точки функции на интервале (a,b);
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечания:
1. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.
2. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.
60. Комплексные числа. Формулы Муавра. Комплексным числом назыв. выражение вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i – так назыв. мнимая единица, . Еслиx=0, то число 0+iy=iy назыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. . Число х назыв. действительной частьюz, . Два комплексных числаиназываются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z = x + 0i = x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z = 0 + iy. Комплексное число Z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числаZ=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемогогдеarg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (), т.е. -(иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0;)).
Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами
Сложение. Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение. Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Отсюда, в частности, и следует: . Если числа заданы в тригонометрической форме:.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра (если есть n множителей и все они одинаковые): .