- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
- •140100 Теплоэнергетика и теплотехника
- •Введение
- •1 Производная функции
- •Вопросы для самопроверки
- •2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Неопределенный интеграл
- •3.1 Метод замены переменного
- •3.2 Интегрирование по частям
- •3.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •3.4 Интегрирование рациональных дробей
- •II ,, IV.
- •3.5 Вопросы для самопроверки
- •4 Определенный интеграл
- •4.1 Основные свойства определенного интеграла
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Задача №9
2.1 Вопросы для самопроверки
Каковы признаки возрастания и убывания функции?
Что называется экстремумом функции?
Сформулируйте необходимые и достаточные признаки существования экстремума функции.
Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба графика функции?
Что называется асимптотой кривой?
Каких видов бывают асимптоты графика функции и как их найти?
3 Неопределенный интеграл
Функция называетсяпервообразной функции еслиМножество первообразных функцииназывается неопределенным интегралом и обозначается.
Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:
,
поэтому нетрудно получить следующую таблицу интегралов:
1) (), 7),
2) , 8),
3) , 9),
4) , 10),
5) , 11),
6) , 12).
Не останавливаясь на непосредственном интегрировании по формулам, как на простейшем способе решения примеров, перейдём сразу к более сложным методам.
3.1 Метод замены переменного
Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции
Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производнуюи обратную функцию. (Например:монотонна). Тогда справедлива формула:
. (3.1.1)
В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (3.1.1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называетсяметодом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:
. (3.1.2)
Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (3.1.2), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл (3.1.1).
Пример 8 .
Решение.
.
Пример 9 .
На практике часто используется следующая простая формула:
,
где - первообразная функции.
Пример 10. .
Пример 11. .
Пример 12. .
3.2 Интегрирование по частям
Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.
.
Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.
Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.
I.
где - многочлен степени. В качественужно взять, а=- другой сомножитель.
При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.
II. .
В этом случае, наоборот, следует положить =.
Рассмотрим применение указанной схемы.
Пример 13.
.
Это интеграл первого типа, поэтому:
==
==
Пример 14. .
Решение.
Это интеграл второго типа, поэтому имеем:
.
Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию по ее дифференциалу. Поэтому в качестве этого сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.
Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.
Пример 15 .
.
Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобку, получим
,
откуда
.
3.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
К этому типу интегралов относятся интегралы вида:
;
;
Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.
Сначала научимся находить более простые интегралы видов и.
Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.
Пример 16 .
Решение.
Пример 17 .
Решение.
.
Пример 18.
Решение.
Пример 19 .
Решение.
где - интеграл, рассмотренный в примере 17.