Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

fix1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

zADA^A 15.~ nAJTI WEKTOR x~ PERPENDIKULQRNYJ DWUM WEKTORAM ~a =

f2 1 2g

I b =

f3 ;4 2g PRI USLOWII, ^TO j x~ j= 1 I ON OBRAZUET S

OSX@ OX TUPOJ UGOL.

rE[ENIE.

wEKTOR

~x KOLLINEAREN WEKTORNOMU

PROIZWEDENI@ WEKTOROW ~a

(RIS. 31), T.E.

I b

~x jj ~c

rIS. 31.

GDE

~c = [~a b]:

iTAK ~x = ~c:

kOORDINATY WEKTORA

~x = f cx cy cz g:

dLINA WEKTORA

2c2

+ 2c2

+ 2c2 =

=j j r

cx2 + c2y + cz2

=j j j ~c j :

kO\FFICIENT

= j

nAJDEM KOORDINATY WEKTORA

I EGO DLINU.

~c = [~a b] = 2 1

2 = 10i + 2j ; 11k:

~c = f10 2 ;11g:

iTAK

j= p

= 15:

dLINA WEKTORA ~c:

j ~c

100 + 4 + 121

kO\FFICIENT

tOGDA KOORDINATY WEKTORA

x~ = ( 15

15) :

tAK KAK WEKTOR DOLVEN OBRAZOWYWATX TUPOJ UGOL S OSX@ OX, EGO PER- WAQ KOORDINATA DOLVNA BYTX OTRICATELXNOJ, PO\TOMU OKON^ATELXNO POLU^IM

~x =	;2		;2		11	:
	( 3		15		15)

zADA^A 16.	wY^ISLITX SME[ANNOE PROIZWEDENIE
	~		~				~
((~a + ~c)(~c ; 3b)(~a + b))					ESLI IZWESTNO		(~ab~c) = 4:
rE[ENIE.	iSPOLXZUQ OPREDELENIE SME[ANNOGO PROIZWEDENIQ, PE-
REMNOVIM DWA PERWYH SOMNOVITELQ WEKTORNYM OBRAZOM:
		~				~	~
[(~a + ~c)(~c ; 3b)] = [~a ~c] + [~c ~c] ; 3[~a b] ; 3[~c b]:
u^TEM, ^TO	[~c ~c] =	~	I UMNOVIM POLU^ENNOE WYRAVENIE NA
u^TEM, ^TO	[~c ~c] =	0	I UMNOVIM POLU^ENNOE WYRAVENIE NA
TRETIJ SOMNOVITELX SKALQRNO. pOLU^IM
		;	~		~	~
	([~a ~c]	;	3[~a b] ; 3[~c b]) (~a + b) =				~ ~	~ ~
	~		~		~		~ ~	~ ~
= ([~a ~c] ~a) ;3([~a b] ~a) ;3([~c b]				~a) + ([~a ~c] b)		;3([~a b] b) ;3([~c b] b):
w SILU SWOJSTW SME[ANNOGO PROIZWEDENIQ IMEEM:
(~a~c~a) = 0			~		~~	~~
(~a~c~a) = 0		(~ab~a) = 0			(~abb) = 0	(~cbb) = 0:
tOGDA OSTANETSQ WYRAVENIE:					~	~	W KOTOROM U^I-
tOGDA OSTANETSQ WYRAVENIE:				;3(~cb~a) + (~a~cb),			W KOTOROM U^I-
TYWAEM, ^TO SME[ANNOE PROIZWEDENIE NE MENQETSQ PRI CIKLI^ESKOJ
PERESTANOWKE WEKTOROW I MENQET ZNAK PRI PERESTANOWKE DWUH WEKTO-
ROW. oKON^ATELXNO POLU^IM:
~	~		~	~	~		~
;3(~cb~a) + (~a~cb) = ;3(~a~cb) + (~a~cb) = ;2(~a~cb) = 2(~ab~c) = 2 4 = 8:
zADA^A 17.	dOKAZATX,				~	I ~c OBRAZU@T BAZIS W
zADA^A 17.	dOKAZATX,		^TO WEKTORA ~a , b			I ~c OBRAZU@T BAZIS W
PROSTRANSTWE I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x~ W \TOM BAZISE.
	~				~c = f1 2 1g		x~ = f2 ;2 1g:
~a = f2 3 1g b = f;1 2 ;2g					~c = f1 2 1g		x~ = f2 ;2 1g:

rE[ENIE. tRI WEKTORA W PROSTRANSTWE OBRAZU@T BAZIS, ESLI ONI NEKOMPLANARNY (rIS. 32.) (LINEJNO NEZAWISIMY). tOGDA IH SME[AN- NOE PROIZWEDENIE NE DOLVNO RAWNQTXSQ NUL@. iTAK, PROWERQEM USLO-

WIE (~ab~c) 6=:0

zAPI[EM SME[ANNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATNOJ FORME

~	2	3	1
		2	;2	= 5 6= 0 ) WEKTORY OBRAZU@T BAZIS:
~ab~c = ;1
	1	2	1

tOGDA L@BOJ WEKTOR ~x MOVNO PREDSTAWITX W WIDE LINEJNOJ KOMBINA-
~
CII BAZISNYH WEKTOROW ~x = ~a + b + ~c GDE ;	63

KO\FFICIENTY LINEJNOJ KOMBINACII QWLQ@TSQ

KOORDINATAMI WEKTORA x~ W BAZISE WEKTOROW ~a b ~c.

pEREHODIM K SISTEME URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ

\TIH KO\FFICIENTOW

2 ;

+ = 2

8 = 2

3 + 2 + 2 = ;2

= ;1 :

) >

rIS. 32.

; 2 + = 1

= ;3

~x = 2~a ; b ; 3~c:

zADA^A 18. nAJTI OB_EM TREUGOLXNOJ PIRAMIDY S WER[INAMI W

TO^KAH (RIS. 33.)

A(;5 3 4) B(;3 2 2)

C(4 1 2) D(;2 9 10):

rE[ENIE.

oB_EM PIRAMIDY NAHODIM S POMO]X@ SME[ANNOGO PRO-

IZWEDENIQ

V =

6 j (~ab~c) j :

oBRAZUEM TRI WEKTORA, WYHODQ]IE IZ ODNOJ TO^-

~a = ;!AB

;

;!AC

;

b =

= f9

;2g

3 6 6

rIS. 33.

~c = AD

CME[ANNOE PROIZWEDENIE \TIH WEKTOROW W KOORDINATNOJ FORME

;60:

~ab~c =

iTAK, OB_EM PIRAMIDY

V =

6 j ;60 j= 10:

zAME^ANIE. eSLI TREBUETSQ NAJTI DLINU WYSOTY, OPU]ENNOJ IZ WER[INY D NA OSNOWANIE ABC, TO ISPOLXZU@TSQ FORMULY OB_EMA TREUGOLXNOJ PIRAMIDY I PLO]ADI TREUGOLXNIKA:

V =

1SOSN:

IZ KOTOROJ H =

3 6

j (~ab~c) j

SOSN:

2 j[~a b]j

j[~a b]j

~ ~

j ~ab~c j=j [c ~a] b j=

zADA^A 19. nAJTI OB_EM PARALLELEPIPEDA, POSTROENNOGO NA WEK-

TORAH ~a b ~c (RIS. 34), ESLI IZWESTNO:

j ~a j= 3	~	^	o
j ~a j= 3	j b j= 6	j ~c j= 2 = (~c ~a) = 135
rE[ENIE. iSPOLXZUEM FORMULU WY^ISLE-
NIQ OB_EMA PARALLEPIPEDA
		~
	V	=j ~ab~c j :

iZ USLOWIQ ZADA^I WIDNO, ^TO W OSNOWANII PARALLELEPIPEDA LEVAT WEKTORA ~c I ~a, PO\TO- MU SME[ANNOE PROIZWEDENIE RASPI[EM SLE- DU@]IM OBRAZOM:

~^	o	:
' = (b [c ~a]) = 45		:

rIS. 34.

DALEE SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW [c ~a] I~b RASPI[EM, ISPOLXZUQ

OPREDELENIE SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ:

=j [c ~a] j j b j cos ' =

MODULX WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW ~c I ~a RAWEN PROIZWEDENI@ IH DLIN NA SINUS UGLA MEVDU NIMI:

	~	j	~
=j	~c j j ~a j sin j b j cos ' =		~a j j b j j ~c j sin cos ' =
	p	2	p	2
	= 3 6 2 2		2 = 18:
zADA^A 20. dOKAZATX, ^TO ^ETYRE TO^KI A(4 ;3 ;5)
B(2 ;3 1) C(;1 1 4) D(5 5 2)			LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI. (rIS.
35.)

rE[ENIE ZADA^I SWODITSQ K PROWERKE USLOWIQ KOMPLANARNOSTI TREH WEKTOROW ;!AB ;!AC ;!AD. w OTLI^IE OT PREDYDU]IH ZADA^ SME[ANNOE PROIZ-

rIS. 35. WEDENIE \TIH WEKTOROW DOLVNO RAWNQTXSQ NUL@. sOSTAWLQEM OPREDELITELX TRETXEGO

PORQDKA, STROKAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ KOORDINATY \TIH WEKTOROW, WY^ISLQEM EGO I DELAEM WYWOD.

g L A W A 3

analiti~eskaq geometriq na ploskosti

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ - \TO RAZDEL MATEMATIKI, KOTORYJ IZ- U^AET SOOTWETSTWIE MEVDU ANALITI^ESKIMI WYRAVENIQMI I GEOMET- RI^ESKIMI OBRAZAMI. pRI \TOM WID ANALITI^ESKOGO WYRAVENIQ, SO- OTWETSTWU@]EGO DANNOMU GEOMETRI^ESKOMU OBRAZU, ZAWISIT OT SPO- SOBA PRIWQZKI, T.E. OT WYBORA SISTEMY KOORDINAT. oKAZYWAETSQ, ^TO WSEGDA MOVNO PODOBRATX SISTEMU KOORDINAT TAKIM OBRAZOM, ^TOBY URAWNENIE DANNOGO GEOMETRI^ESKOGO OBRAZA BYLO NAIBOLEE PROSTYM (KANONI^ESKIM). nAIBOLEE UPOTREBIMOJ QWLQETSQ PRQMOUGOLXNAQ DE- KARTOWA SISTEMA KOORDINAT. nIVE MY RASSMOTRIM WOPROS OB URAW- NENIQH I IH GEOMETRI^ESKIH OBRAZAH W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOOR- DINAT NA PLOSKOSTI I W 3-H MERNOM PROSTRANSTWE, A TAKVE PRIWEDEM PRIMERY ISPOLXZOWANIQ POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I PARAMETRI^ESKOGO SPOSOBA ZADANIQ LINIJ.

1. pRQMAQ NA PLOSKOSTI

wSQKU@ PRQMU@ NA PLOSKOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH XOY MOVNO OPISATX URAWNENIEM 1-OJ STEPENI (LINEJNYM) OTNOSITELXNO DWUH PEREMENNYH x I y, T.E. URAWNENIEM WIDA

Ax + By + C = 0

(1)

|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ OB]IM URAWNENIEM PRQMOJ NA PLOS-

KOSTI. (~ASTO PRI RE[ENII ZADA^ UDOBNO POLXZOWATXSQ I DRUGIMI WIDAMI URAWNENIJ PRQMOJ, NO POSLE RE[ENIQ POLU^ENNYE URAWNENIQ PRQMOJ PRINQTO PRIWODITX K OB]EMU WIDU.)

w ANALITI^ESKOJ GEOMETRII NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYE FOR- MULY I SOOTNO[ENIQ POLU^ENY KAK REZULXTAT RE[ENIQ KONKRETNOJ ZADA^I. rASSMOTRIM ZADA^I, W KOTORYH POLU^ENY RAZLI^NYE WIDY URAWNENIJ PRQMOJ NA PLOSKOSTI W ZAWISIMOSTI OT ISHODNYH DANNYH.

3.1.1. oSNOWNYE URAWNENIQ PRQMOJ NA PLOSKOSTI

~ 1.	pRQMAQ ZADANA TO^KOJ		M0(x0	y0)	I WEKTOROM		NORMALI
N =	fA Bg W KA^ESTWE KOTOROGO MOVET BYTX WZQT L@BOJ
WEKTOR, PERPENDIKULQRNYJ PRQMOJ. (rIS.1.)
w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ
PRQMOJ MY BEREM NA NEJ PROIZWOLXNU@ TO^-
KU	M(x y)	OBRAZUEM WEKTOR		;;;!M0M =
f(x ; x0) (y ; y0)g
I ZAPISYWAEM USLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI WEK-
TOROW N = fA Bg I		;;;!M0M = f(x;x0) (y;y0)g				rIS. 1.
	~			N ;;;!M0M		= 0:	iLI W
ISPOLXZUQ IH SKALQRNOE PROIZWEDENIE
				~
KOORDINATNOJ FORME
	A (x ; x0) + B (y ; y0) = 0:						(2)
rASKRYW SKOBKI I OBOZNA^IW C = ;Ax0 ; By0						POLU^IM OB]EE
URAWNENIE PRQMOJ
	Ax ; Ax0 + By ; By0 = 0 =)				Ax + By + C = 0:

tAKIM OBRAZOM, ZNAQ KOORDINATY TO^KI, ^EREZ KOTORU@ PROHODIT PRQMAQ, I KAKOJ-LIBO WEKTOR, PERPENDIKULQRNYJ PRQMOJ, MOVNO LEG- KO POLU^ITX EE URAWNENIE.

zADA^A 1. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^-

	M0(;1 2)			N = f3	;4g.
KU			PERPENDIKULQRNO WEKTORU	~
	rE[ENIE.	iSPOLXZUEM URAWNENIE (2)

3 (x+1);4 (y;2) = 0 ) 3x+3;4y+8 = 0 ) 3x;4y+11 = 0:

zADA^A 2. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^- KU M0(3 ;5) PERPENDIKULQRNO OSI OY .

rE[ENIE. iSPOLXZUEM URAWNENIE (2). oTMETIM, ^TO ORTOM OSI

~
OY SLUVIT WEKTOR j = f0 1g:
0 (x ; 3) + 1 (y + 5) = 0 =)	y + 5 = 0:
	67


2.	pRQMAQ ZADANA TO^KOJ M0(x0 y0)					I NAPRAWLQ@]IM WEKTO-
ROM	~s = fm ng W KA^ESTWE KOTOROGO MOVET BYTX WZQT L@BOJ
WEKTOR, PARALLELXNYJ PRQMOJ. (rIS.2.)
		w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PRQ-
		MOJ	MY BEREM		NA	NEJ PROIZWOLXNU@		TO^KU
		M(x	y)	OBRAZUEM WEKTOR			;;;!M0M =	f(x ;
		x0) (y ; y0)g			I ZAPISYWAEM USLOWIE KOLLINE-
		ARNOSTI WEKTOROW ~s = fm ng I
	rIS. 2.	;;;!M0M	= f(x ; x0) (y			; y0)g :

;;;!M0M = ~s:

iLI W KOORDINATNOJ FORME

x ; x0 = y ; y0 : m n

|TO URAWNENIE NOSIT NAZWANIE KANONI^ESKOGO URAWNENIQ PLOSKOSTI.

(3)

PRQMOJ NA

iTAK, ZNAQ KOORDINATY TO^KI, ^EREZ KOTORU@ PROHODIT PRQMAQ, I KAKOJ-LIBO WEKTOR, PARALLELXNYJ PRQMOJ, MOVNO LEGKO POLU^ITX EE URAWNENIE.

zADA^A 3.

sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^-

M0(;1 2)

PARALLELXNO

~s = f3 ;4g.

rE[ENIE.

iSPOLXZUEM URAWNENIE (3)

x + 1

= y ; 2

;

4(x + 1) = 3(y

;

2) =

4x + 3y

;

2 = 0:

)

pOSLE PREOBRAZOWANIQ

MY POLU^ILI OB]EE URAWNENIE PRQMOJ.

zADA^A 4. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^- KU M0(3 ;5) PARALLELXNO OSI OY .

rE[ENIE. iSPOLXZUEM URAWNENIE (3),							~
rE[ENIE. iSPOLXZUEM URAWNENIE (3),							ZNAQ j = f0 1g:
x ; 3	= y + 5	=	1	(x	;	3) = 0(y + 5) =		x	;	3 = 0:
0	1	)			;		)		;

3. pRQMAQ ZADANA DWUMQ TO^KAMI M1(x1 y1) I M2(x2 y2).

w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PRQ-
MOJ	MY	BEREM NA NEJ PROIZWOLXNU@ TO^KU
M(x	y)	OBRAZUEM DWA WEKTORA (RIS. 3.)
;;;!M1M = f(x ; x1) (y ; y1)g			I
;;;!M1M2 = f(x2 ; x1) (y2 ; y1)g
			;;;!1
ZAPISYWAEM USLOWIE KOLLINEARNOSTI WEKTOROW M M				I

KOORDINATNOJ FORME

rIS. 3.

;;;!M1M2 W

x ; x1	=	y ; y1	:	(4)
x2 ; x1		y2 ; y1
\|TO URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE ZADANNYE TO^KI.

zAMETIM, ^TO WEKTOR ;;;!M1M2 QWLQETSQ NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM PRQ- MOJ, PO\TOMU URAWNENIE (4) LEGKO MOGLO BYTX POLU^ENO I IZ KANONI- ^ESKOGO URAWNENIQ.

zADA^A 5. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE

ZADANNYE TO^KI	M1(3 ;6)	I	M2(;5 1):

rE[ENIE. pODSTAWIM W URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE

TO^KI, KOORDINATY TO^EK				M1 I	M2.
x ; x1	=	y ; y1	)	x ;	3	= y + 6	)	x ; 3	= y + 6	:
x2 ; x1		y2 ; y1	)	;5 ; 3 1 + 6			)	;8	7

pOLU^ENNOE KANONI^ESKOE URAWNENIE PREOBRAZUEM K OB]EMU WIDU

7x + 8y + 27 = 0:

4: oTMETIM, ^TO IZ KANONI^ESKOGO URAWNENIQ PRQMOJ LEGKO PO-

LU^A@TSQ PARaMETRI^ESKIE URAWNENIQ

				8	x ; x0	= t
x ; x0	= y ; y0			8	m			x = mt + x0 : (5)
x ; x0	= y ; y0	= t	)	>		)		x = mt + x0 : (5)
m	n		)	>		)	8 y = nt + y0
				< y ; y0		= t	<
				>	n		:
				:

OX)

	tAKIM OBRAZOM, DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PRQMOJ NA PLOSKOSTI
NEOBHODIMO ZNATX:
~	;	LIBO TO^KU	M0(x0	y0)	I WEKTOR NORMALI PRQMOJ
N = fA Bg			M0(x0	y0)
		LIBO TO^KU	M0(x0	y0)	I NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR
~s =;fm ng
	;	LIBO DWE TO^KI M1(x1			y1) I M2(x2 y2):
		LIBO DWE TO^KI M1(x1			y1) I M2(x2 y2):

nO, KROME OSNOWNYH URAWNENIJ (1) ; (3) ISPOLXZU@TSQ URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(x0 y0) S ZADANNYM UGLOWYM KO- \FFICIENTOM (TANGENSOM UGLA NAKLONA, OBRAZOWANNOGO PRQMOJ S OSX@

I URAWNENIE PRQMOJ "W OTREZKAH". pOLU^IM \TI URAWNENIQ.

5. pREOBRAZUEM URAWNENIE (2) SLEDU@]IM OBRAZOM:

A(x ; x0) + B(y ; y0) = 0 )		B(y ; y0) = ;A(x ; x0)	)
)	y ; y0 = ;BA (x ; x0):	oBOZNA^IW k = ;BA POLU^IM
	y ; y0 = k (x ; x0):		(6)

pOSLE PREOBRAZOWANIJ MOVNO ZAPISATX E]E ODIN WARIANT URAWNENIQ PRQMOJ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM:

y ; y0 = kx ; kx0

rIS. 4.

b = (y0	y = kx + b:	(7)
b = (y0	; kx0):
zDESX )


uRAWNENIQ (6) I (7) OTLI^A@TSQ TEM, ^TO W URAW-
NENII (6) SRAZU WIDNY KOORDINATY TO^KI, ^EREZ
KOTORU@ PROHODIT PRQMAQ, A W URAWNENII (7) ;
NET.	sMYSL PARAMETRA
k =	y ; y0	= tg ' KAK TANGENSA UGLA NAKLONA
	x ; x0		OX POKAZAN NA RISUNKE 4.
PRQMOJ K OSI

uRAWNENIE PRQMOJ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM POLU^AETSQ I IZ KA- NONI^ESKOGO URAWNENIQ (3)

x ; x0	= y ; y0		n	(x		x0) = y		y0
x ; x0	= y ; y0	)	m	(x	;	x0) = y		y0
m	n	)	m		;		n;
				GDE
)	y ; y0 = k(x ; x0)			GDE		k = m:
)	y ; y0 = k(x ; x0)					k = m:

6. pOLU^IM URAWNENIE PRQMOJ, OTSEKA@]EJ NA KOORDINATNYH OcQH OX I OY OTREZKI a I b SOOTWETSTWENNO.

dLQ RE[ENIQ ZADA^I MOVNO ISPOLXZOWATX URAW- NENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE ZADAN- NYE TO^KI, LEVA]IE NA OSQH KOORDINAT

M1(a 0) I M2(0 b): (rIS.5.)

rIS. 5.

x ; x1

y ; y1

)

; a

= y ; 0

)

;

)

x ; a = y

)

+ ;a

= y

xa + yb = 1:

(8)

|TO I ESTX URAWNENIE PRQMOJ "W OTREZKAH."

w TABLICE 3.1. PRIWEDENY TIPY URAWNENIJ PRQMOJ NA PLOSKOSTI S UKAZANIEM GEOMETRI^ESKOGO SMYSLA WHODQ]IH W NIH PARAMETROW.

o^ENX WAVNO UMETX IZ DANNOGO URAWNENIQ PRQMOJ IZWLE^X WS@ INFORMACI@ OB \TOJ PRQMOJ: KOORDINATY TO^KI, ^EREZ KOTORU@ PRO- HODIT PRQMAQ, I KOORDINATY WEKTORA ; LIBO NAPRAWLQ@]EGO, LIBO WEKTORA NORMALI, TAK KAK PRAKTI^ESKI WO WSEH ZADA^AH O WZAIMNOM RASPOLOVENII PRQMYH, KOTORYE BUDUT RASSMOTRENY NIVE, ISPOLXZU- @TSQ SREDSTWA WEKTORNOJ ALGEBRY.

zAMETIM, ^TO URAWNENIE ODNOJ I TOJ VE PRQMOJ MOVET BYTX ZAPI- SANO RAZLI^NYMI SPOSOBAMI, PRI^EM IZ ODNOGO WIDA URAWNENIQ LEGKO POLU^ITX DRUGOJ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.05.20154.59 Mб9Facies.pdf
#
19.07.20191.11 Mб4FEDERAL BUDGETARY EDUCATION Тихонов Д. AGENCY (....doc
#
29.05.2015800.94 Кб57Filyushin_-_kursovaya.docx
#
21.07.2019867.33 Кб44final_vers_of_MF.doc
#
29.05.201575.29 Кб27Fin_menedzhment_polny.docx
#
29.05.20153.39 Mб22fix1.pdf
#
29.05.2015246.28 Кб44Fizika.docx
#
16.08.2019109.57 Кб23fizika2.doc
#
29.05.20159.15 Mб713Fizika_1_UP_FGOS_140400_150700_220400_220700_1.doc
#
20.11.2019173.7 Кб15fizika_kolosha (1).docx
#
29.05.20152.91 Mб371Fizika_razrushenia_posobie.doc