Reshenie tip priemov po matematike_ochnaya
.pdfРЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
1.Привести уравнения данных гармонических колебаний
у= 4sin 3x −3cos 3x
к виду у = Asin(ωx +ϕ).
Найти амплитуду А, фазу ϕ , период гармоники и построить ее график. Решение. Привести уравнения данных гармонических колебаний
у = 4sin 3x −3cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
к виду |
у = Asin(ωx +ϕ), |
|
|
|
где |
|
А = |
|
а2 +b2 |
|
– амплитуда, |
||||||||
ϕ = arctg b , |
sin ϕ = |
b |
, cosϕ |
= |
a |
|
и |
T = |
2π |
|
– период колебания. |
|
|||||||
|
A |
ω |
|
||||||||||||||||
a |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В нашем случае: |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
sin ϕ = − |
, cosϕ = |
, откуда ϕ |
при- |
|||||||||
А = 42 + (−3)2 , ϕ = arctg |
4 |
и |
5 |
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
надлежит 4 четверти и ϕ = −arctg 3 |
= −36,90 |
, T = |
2π |
|
=1200 . Тогда |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
у = 5sin(3x −36,90 ) , |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
T =1200 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
От графика |
|
функции |
y = sin x |
перейдем к |
графику |
функции |
|||||||
у = 5sin(3x −36,90 ) с помощью следующей цепочки преобразований: |
||||||||||||||
|
y = sin x, |
y |
2 |
= sin 3x, |
y |
3 |
= 5sin 3x, |
y = 5sin 3(x −12,30 ), |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то есть к нашей функции у = 5sin(3x −36,90 ) . |
|
|
||||||||||||
|
Построение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Строим одну волну синусоиды y1 |
= sin x . |
|
|
||||||||||
2. |
Строим |
график функции |
y2 =sin3x , которая имеет |
период |
T=1200 (то есть сжимаем функцию y1 в три раза).
3.Увеличивая ординаты графика y2 в 5 раз, получаем график функ-
ции y3 =5sin 3x .
4.Сдвигаем график функции y3 на 12,30 вправо вдоль оси Ох.
у
5
1 |
|
1200 |
132,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
12,30 |
600 |
|
1800 |
3600 |
х |
|
|
у2=sin3x |
|
|
у1=sinx |
|
|
|
у3=5sin3x |
у=5sin(x–12,30) |
|
|
44
хr |
2. Даны векторы е1 = {1;2;1}, е2 = {− 2;3;−1}, е3 = {1;−1;24} |
и |
|||
= {1;8;−1}. Показать, что векторы е , е |
2 |
, е образуют базис трехмерного |
|||
|
1 |
3 |
|
|
|
пространства, найти разложение и координаты вектора хr в этом базисе. |
|||||
Полученную систему линейных уравнений решить тремя методами: |
|
||||
|
а) через определители (формулы Крамера), |
|
|
||
|
б) через обратную матрицу, |
|
|
|
|
|
в) методом Гаусса (через расширенную матрицу). |
, еr |
|
||
|
Решение. Составим определитель из координат векторов еr |
, е и |
|||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
вычислим его, разложив по элементам первой строки:
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
−2 −1 |
|
−2 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−2 3 −1 |
=1 |
− 2 |
|
+1 |
= |
||||||||||||
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 6 −1− 2(−4 +1) +(2 −3) =10 ≠ 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
значит, |
векторы |
еr , еr , еr |
образуют базис трехмерного пространства и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор хr можно разложить по векторам базиса |
||||||||||||||||||
|
|
хr |
= х1еr1 + х2еr2 + х3еr |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где х1 , х2 , |
х3 – координаты вектора х в базисе {е1, е2 , е3}. |
|||||||||||||||||
|
|
Перейдем к матричной записи полученного векторного уравнения |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
− |
2 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 |
= х1 |
+ |
х2 |
|
+ х3 |
−1 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Используя свойства матриц и действия над ними, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2 , х3 :
х1 − 2х2 + х3 =1,2х1 +3х2 − х3 = 8,х1 − х2 + 2х3 = −1.
а) Решение полученной системы линейных уравнений через определители.
Находим главный определитель системы уравнений:
|
|
1 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
2 |
3 |
−1 |
|
=10 ≠ 0, |
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера:
x = |
∆1 |
, |
х |
|
= |
∆2 |
, |
х |
|
= |
∆3 |
, |
|
|
∆ |
||||||||||
1 |
∆ |
|
|
2 |
|
∆ |
|
|
3 |
|
|
45
где ∆i (i =1,2,3) получается путем замены i-го столбца свободными чле-
нами.
Вычислим определители ∆1, ∆2 , ∆3 .
|
1 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆1 = |
8 |
3 |
|
−1 |
= 6 −8 − 2 −(−3 +1−32) = 30, |
|||||||||||||||||||||
|
−1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∆2 = |
|
2 |
8 −1 |
|
= 0, ∆3 = |
|
2 |
3 |
8 |
|
= −20 . |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
−1 |
|
|
|
||||
Находим |
|
|
x |
= |
30 |
|
= 3; х |
2 |
= |
|
0 |
= 0; |
х |
3 |
= |
− 20 |
= −2. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
x1 = 3; |
х2 = 0; |
|
|
х3 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
б) Решение системы через обратную матрицу.
Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных, Х – матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:
1 |
− 2 |
1 |
Х |
1 |
|
|
1 |
||||
|
2 |
3 |
|
|
|
Х |
|
|
8 |
|
|
А = |
−1 , |
Х = |
2 |
, |
Н = |
. |
|||||
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает
следующую матричную форму:
А Х = Н .
Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычис-
лить обратную матрицу |
А |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
31 |
|
|
|
||||
∆ |
∆ |
∆ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А−1 = |
|
|
А12 |
|
|
|
|
|
А22 |
|
|
А32 |
|
, |
||||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
А |
А |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
13 |
|
|
23 |
|
|
|
33 |
|
|
|
||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
|
|
|||||||
где Аij (i =1,2,3; j =1,2,3)– алгебраическое дополнение элемента aij . |
||||||||||||||||||||
Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения Аij эле- |
||||||||||||||||||||
ментов матрицы А. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
− 2 |
1 |
|
=10 ≠ 0, следовательно, матрица А имеет обратную |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∆ = |
|
2 |
3 |
|
|
−1 |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матрицу А−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
А |
|
|
= (−1)1+1 |
|
3 |
|
|
−1 |
|
= |
5, А |
|
= (−1)1+2 |
|
|
|
2 −1 |
|
= −5, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
А = (−1)1+3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
= −5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
А |
|
|
= (−1)2+1 |
|
|
|
|
|
− 2 1 |
|
|
|
|
= 3, А |
|
= (−1)2+2 |
|
1 1 |
|
= 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А = (−1)2+3 |
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А |
|
|
= (−1)3+1 |
|
|
|
− 2 |
1 |
|
|
|
= −1, А |
|
|
= (−1)3+2 |
|
1 |
1 |
|
= 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
А = (−1)3+3 |
|
|
1 − 2 |
|
= 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
А−1 = |
− |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 1 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 −1 7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
5 |
|
− |
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Решение системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 1 |
|
|
1 |
|
|
5 1+3 8 + (−1) (−1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Х = А−1 Н = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 1 3 |
|
|
|
8 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 1+1 8 +3 (−1) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 −1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 1+ (−1) 8 + 7 (−1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда x1 = 3; |
|
х2 = 0; |
х3 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ответ: |
x1 = 3; х2 = 0; |
х3 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (через расширенную матрицу).
Составим расширенную матрицу данной системы линейных уравнений и с помощью элементарных преобразований матрицы приведем ее к треугольному виду (ниже главной диагонали все элементы равны нулю).
47
|
|
|
|
х1 |
|
х2 х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
− 2 1 |
|
1 |
1 |
− 2 1 |
|
1 |
|
1 − 2 1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = (А |
|
Н)= |
2 |
|
3 −1 |
|
8 |
|
~ |
0 |
7 |
−3 |
|
6 |
|
~ |
0 1 |
1 |
|
− 2 |
|
~ |
||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
−1 2 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
− 2 |
|
|
0 7 |
−3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
− 2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
1 |
1 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
0 −10 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что ранги матриц А и В совпадают и равны числу неизвестных, то есть r(A) = r(B) = 3, n = 3 . Следовательно, система линейных уравне-
ний имеет единственное решение. Чтобы найти это решение, перейдем от матричной записи к ступенчатой системе уравнений.
x1 − 2х2 + х3 =1,
2+ х3 = −2,
−10х = 20.
3х
Двигаясь снизу вверх (обратный ход метода Гаусса), получаем х3 = −2.
Полученный результат подставляем во второе уравнение, а потом вместе с найденным х2 в первое уравнение:
|
|
|
х2 − 2 = −2, х2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
х1 − 2 0 − 2 =1, х1 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ответ: x1 = 3; |
х2 = 0; |
|
х3 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3. Определить тип кривой 9х2 + 25у2 = 225, найти ее параметры; |
|||||||||||||||||||||
определить угловой коэффициент прямой |
х |
+ |
у |
=1. Найти точки пере- |
||||||||||||||||||||
5 |
3 |
|||||||||||||||||||||||
сечения данных линий и сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Приведем уравнение кривой 9х2 + 25у2 = 225 к канони- |
|||||||||||||||||||||
ческому виду |
х2 |
+ |
y2 |
=1, разделив на 225. Получим уравнение эллипса |
||||||||||||||||||||
а2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||
|
х2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
=1. Его большая полуось a = 5 , |
малая полуось |
b = 3. Центр |
||||||||||||||||||||
25 |
9 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
совпадает с началом координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Уравнение прямой |
х |
|
у |
=1 имеет вид «в отрезках» |
х |
|
у |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
=1 , |
||||||||||||
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
b |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|||||
что удобно для построения. |
Для нахождения углового коэффициента |
48
прямой приведем ее к виду y = kx +b , выразив у через х: у = −53 х+3 .
Угловой коэффициент k = −53 .
Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему
9x2 + 25y2 = 225,5y = −3x +15.
Возведем второе уравнение в квадрат
25y2 = (−3x +15)2
и подставим в первое уравнение:
9х2 + (−3х+15)2 = 225, 9 |
х2 +9х2 −90х+ 225 = 225, |
|
18х2 −90х = 0, 18х(х−5) |
= 0, |
|
х1 = 0, |
х2 = 5, |
|
у1 = 3, |
у2 = 0. |
|
Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.
у
3
–5 |
0 |
5 |
х |
–3
4. Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(0;0;1), В(2;3;5),
С(6;2;3), D(3;7;2). Требуется:
1)записать векторы АВ, АС, АD в системе орт i , j, k и найти модули этих векторов;
2)найти угол между векторами АВ и АС ;
3)найти проекцию вектора АD на вектор АВ;
4)найти площадь грани АВС;
5)найти объем пирамиды АВСD;
6)составить уравнение ребра АС;
7)составить уравнение грани АВС.
49
Решение. |
rj, kr по |
1) Произвольный вектор а представляется в системе орт ir, |
формуле r
аr = ахir + ay j + az k ,
где ax , ay , az – координаты вектора а. Если заданы точки M1(x1, y1, z1 ),
M 2 (x2 , y2 , z2 ), то для вектора аr = M1M 2 ax = x2 − x1, ay = y2 − y1, az = z2 − z1 ,
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M 2 = (x2 − x1 )ir + ( y2 − y1 ) rj + (z2 − z1 )k . |
||||||||
Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, |
||||||||
В, С, D, получим: |
|
|
|
|
|
|
||
АВ = (2 −0)i + (3 −0) rj + (5 −1)k = 2i +3 j + 4k ; |
||||||||
АС = (6 −0)i + (2 −0) rj + (3 −1)k = 6i + 2 j + 2k ; |
||||||||
АD = (3 −0)i + (7 −0) j + (2 −1)k = 3i + 7 j + k . |
||||||||
Если вектор |
аr = ахir + ay j + az k , то его модуль вычисляется по |
|||||||
формуле: аr = |
|
ах |
2 + ay |
2 + az |
2 . |
|||
Модули найденных векторов |
|
|||||||
АВ = 22 +32 + 42 = 29 ; |
||||||||
АС = 62 + 22 + 22 = 2 11 ; |
||||||||
АD = 32 + 72 +12 = 59 . |
||||||||
2) Известна формула |
|
|||||||
r r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
||||
cos a,b |
|
= |
a |
r |
, |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
где ar br – скалярное произведение векторов а и b , которое можно вы-
числить следующимr образом: ar b = axbx + ayby + azbz .
У нас
|
|
|
|
AB AC |
= 2 6 +3 2 + 4 2 = |
13 ≈ 0,7279 , |
|
cosϕ = cos AB, AC |
= |
||||||
|
|
|
|
AB |
AC |
2 29 11 |
319 |
|
|
|
|
то есть ϕ ≈ 430 .
3) Известно, что прbrar = arbrb ,
50
то есть в нашем случае |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
прAB |
AD = a rb = |
2 3 +3 7 |
+ 4 1 |
= |
31 |
≈ 5,76 . |
||||
|
|
|
|
|
b |
29 |
|
|
29 |
|
4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, |
||||||||||
построенного на векторах a и b |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S = 2 |
|
a |
×b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
ir |
|
rj |
kr |
|
|
|
||
|
a ×b |
= ax |
ary |
az . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
||
В нашем примере S∆ABC = |
|
1 |
AB × AC , причем |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ir |
rj |
kr |
|
|||
|
AB × AC = 2 3 4 = 2(−ir +10 rj −7kr) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
2 |
2 |
|
|
|
|
Таким образом, S∆ABC |
= 1 |
2 (−1)2 +102 + (−7)2 = 150 = 5 6 (кв. ед.). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векто- |
||||||||||
r |
r |
можно найти по формуле |
|||||||||
рах a, b |
, c |
||||||||||
где ar |
V = |
1 |
r |
r |
r |
|
|
|
|
||
6 (a ×b) |
c , |
|
|
|
|
||||||
×b – векторное произведение векторов, которое можно вычислить |
|||||||||||
по следующему правилу: |
|
|
|
где (ar×b) cr |
– смешанное произведение векторов, которое вычисляется |
||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
r |
r |
|
ax |
ay |
az |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
bx |
by |
bz |
. |
|
||||||||
(a ×b) c = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|||
У нас V = |
1 |
|
(АВ× АС) AD |
|
, где |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|||
(АВ× АС) AD = |
|
||||||||||||
6 |
2 |
2 |
= 2(2 −14) −3(6 −6) + 4(42 −6) =120 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
|
||
то есть V = 1 |
120 = 20 (куб. ед.). |
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ), имеет вид:
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
||||||
|
|
|
|||||||||
x |
2 |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
z |
2 |
− z |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
Подставив координаты точек А и С, получим:
x −0 |
= |
y −0 |
= |
z −1 |
|
, |
|
6 −0 |
2 −0 |
3 −1 |
|||||
|
|
|
то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:
|
x |
= |
y |
= |
z −1 |
или |
|
x |
|
= |
y |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки |
||||||||||||||||||||||||
A(x1, y1, z1 ), |
В2 (x2 , y2 , z2 ), С1(x1, y1, z1 ), можно записать в виде |
|||||||||||||||||||||||
|
x − x1 |
|
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 − x1 |
|
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x3 − x1 |
|
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим: |
||||||||||||||||||||||||
|
x −0 |
y −0 z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z −1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 −0 |
3 −0 5 −1 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
4 |
|
= 0; |
|||||||||
|
6 −0 |
2 −0 3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2 |
|
2 |
|
|
х(−2) − у(−20) + (z −1)(−14) = 0; −2x + 20y −14z +14 = 0;
x −10y + 7z −7 = 0.
РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
5. Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:
х+ 2, |
х ≤ −2, |
|
|
2 − 4, |
− 2 < x <1, |
у = x |
||
4 |
− 2x, |
x ≥1. |
|
|
|
Требуется:
1)найти точки разрыва функции, если они существуют;
2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;
3)сделать чертеж.
52
Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (−∞;−2), (−2;1), (1;+∞) . При х = −2 и х =1 меняется аналитическое вы-
ражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х = −2 :
lim |
y = lim (x + 2) = 0; |
lim |
y = lim (x2 − 4) = 0. |
x→−2 |
x→−2 |
x→−2 |
x→−2 |
x<−2 |
x<−2 |
x>−2 |
x>−2 |
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке х =1:
lim y = lim(x2 − 4) = −3; |
lim y = lim(4 − 2x) = 2. |
||
x→1 |
x→1 |
x→1 |
x→1 |
x<1 |
x<1 |
x>1 |
x>1 |
Так как односторонние пределы функции у в точке х =1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.
Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке х =1 скачок функции ∆ = 2 −(−3) = 5.
Построим график функции.
у
0 |
х |
6. Провести полное исследование функции |
у = |
х2 |
+ 20 |
методами |
|
х− 4 |
|||||
|
|
|
дифференциального исчисления и построить ее график. Решение.
1)Область определения функции
D( y) ={x (−∞;4) U(4;+∞)}.
2)Исследование на непрерывность и классификация точек разры-
ва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
lim |
f (x) = lim |
|
x2 |
+ 20 |
= −∞; |
|
|
x − 4 |
|||||
x→4−0 |
x→4−0 |
|
||||
lim |
f (x) = lim |
x2 |
+ 20 |
= +∞. |
||
x − 4 |
||||||
x→4+0 |
x→4+0 |
|
53