3. Практическая часть

Задача 1

Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные модели.

Решение:

Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования).

Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие работало наиболее эффективно.

Постановка задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1. ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

2. затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

3. объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

4. ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

5. цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

6. фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

7. размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

8. предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9. реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10. на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели – в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные объемы производства x₁, ... , x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К - капитал, L - труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁ k₁+ x₂ k₂+…+ x_n k_n<= K 

x₁ l₁+ x₂ l₂+ …+x_n l_n<= L - ограничения по ресурсам

x₁ r₁+ x₂ r₂+…+ x_n r_n<= R 

x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_nmax - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования – по известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства корма для сельского хозяйства: сена, силоса и сенажа. Здесь применяется относительно однородное сырье – трава.

Пусть:

x₁ – количество сена, x₂ – количество силоса, x₃ – количество сенажа,

p₁=4500, p₂=500, p₃=600 - цены на 1 тонну продукта,

k₁=3,5; k₂=2; k₃=2,2 - капитал на 1 тонну продукта,

l₁ =5; l₂=2; l₃=2 - труд на 1 тонну продукта,

r₁=6; r₂=2,5; r₃=2,7 - сырье на 1 тонну продукта,

K= 432,5 - всего капитала, (машино-час.)

L= 499- всего трудовых ресурсов, (человеко-час)

R= 623,5 всего сырья.(тонн)

Тогда получаем конкретную модель:

x₁ 4500+ x₂ 500+ x₃ 600  max - целевая функция (размер прибыли)

x₁ 3,5+ x₂ 2+ x₃ 2,2<= 432,5 

x₁ 5+ x₂ 2+ x₃ 2<=499 - ограничения по ресурсам

x₁ 6+ x₂ 2,5+ x₃ 2,7<=623,5 

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office 2007, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Таблица 1

p1	p2	p3
4500	500	600
k1	k2	k3
3,5	2	2,2
l1	l2	l3			Целевая
5	2	2			303500
r1	r2	r3
6	2,5	2,7
K	L	R
432,5	499	623,5
x1	x2	x3
53	52	65
Левая часть ограничена	Левая часть ограничена	Левая часть ограничена
432,5	499	623,5

В таблице 1 мы находим размер максимальной прибыли, равной 303500 рублей при производстве 53 тонны сена, 52 тонны силоса и 65 тонн сенажа.

Задача 2

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, с функцией полезности U=(x₁-3)^1/2(x₂ –1)^2/3max.

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Решение:

Пояснение к решению задачи:

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

U=(x₁-3)^1/2(x₂ –1)^2/3max.

р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I (25)

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0,

где р₁, р₂ – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I – доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, величины р₁, р₂, I – заданы (экзогенные).

А формула №25 - это бюджетное ограничение означающее, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода.

Задача заключается в выборе такого потребительского набора (х₁⁰, х₂⁰), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Набор (х₁⁰, х₂⁰), которой является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным равновесием потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

Для того чтобы найти потребительский набор (х₁⁰, х₂⁰) воспользуемся функцией полезности U в модели Стоуна. Она характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров ₁ и ₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =3_, x₂⁰=1, ₁=1/2 и ₂=2/3.

Т.е в данной задаче при заданном бюджетном ограничении потребительский набор, максимизирующий функцию полезности равен (3,1).

Функция спроса модели Стоуна имеет вид:

x_i= x_i⁰+ _i (I - p_j x_j⁰) / p_i_j , где i = 1..n – вид товара. (26)

Эту функцию легко интерпретировать. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага a_i. Затем рассчитывается сумма денег, оставшаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности α_i. Разделив количество денег на сумму р_i, получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i – го блага и добавляем его к а_i.