семестровые математика
.pdf
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
1. |
Решить системы уравнений |
|
|
|
|||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
5x + |
3y = 0, |
п |
+ |
y - |
z = 1, |
|
|
п2x |
|||||
|
м |
|
п |
|
|
|
|
|
п |
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
2y + |
z = 3, |
||
|
а) н |
|
5y = 4; |
б) нx - |
|||
|
п7x - |
п |
|
|
|
||
|
п |
|
|
п |
|
|
|
|
о |
|
|
п3x - |
y + |
5z = 9. |
|
|
Найти npcr (2ar + |
оп |
|
|
|
||
2. |
3b ), если ar = 3i - 2j + k , b = i + 3j - 2k , |
||||||
|
cr = - i |
+ k . |
|
|
|
|
|
3.Сила F = (3; 4; - 2) приложена к точке C (2; - 1; - 2). Определить ве-
личину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки
M (2; 4; 0).
4.Найти расстояние, пройденное точкой при прямолинейном равномерном движении за время t = 10 от начала движения M0 (0; 1; 1), если вектор скорости vr = (- 1; 3; 2).
5.Найти уравнение плоскости, отсекающей от осей координат равные отрезки и образующей с координатными плоскостями пирамиду, объем кото-
|
рой равен 3 куб. ед. |
|
|
|||
6. |
Написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через |
точку |
||||
|
M 2; 3 |
) |
под углом 45o к оси Ox . |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
7. |
Построить геометрические образы уравнений 2x2 + y = 4 , 2x2 + y2 |
= |
4, |
|||
|
x2 - |
4y2 |
= 2 на плоскости и в пространстве. |
|
|
|
8. |
Построить геометрические образы системы неравенств x2 + y2 - 2x Ј |
8 , |
||||
|
x - |
y Ј |
|
0 на плоскости и в пространстве. |
|
|
9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости
у 
2
1
−3 −2 −1 0 1 |
2 |
х |
Рис. 17
- 21 -
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
1. Решить системы уравнений |
|
|
|
||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
5x + |
3y = |
0, |
п |
+ |
y - |
z = 1, |
|
п2x |
||||||
м |
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
2y + |
z = 3, |
||
а) н |
|
5y = |
4; |
б) нx - |
|||
п7x - |
п |
|
|
|
|||
п |
|
|
|
п |
|
|
|
о |
|
|
|
п3x - |
y + |
5z = 9. |
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
2.К одной и той же точке приложены две силы P и Q , действующие под углом 120o друг к другу, причем | P |= 7 , | Q |= 4. Найти величину равнодействующей этих сил.
3.Даны вершины треугольника A (2; - 1; 2), B (2; 0; 5), C (1; 1; 0). Найти
объем и высоту треугольной призмы ABCA1B1C1, если боковое ребро AA1 совпадает с вектором ar = 4i + 3j + k .
4. |
Найти величину скорости и положение точки в момент времени t = |
5, ес- |
||
|
ли уравнение равномерного прямолинейного движения точки: x = |
3t - 1, |
||
5. |
y = 2t + 1, z = - 3t - 2 . |
|
||
Написать |
) |
уравнение прямой на плоскости, проходящей через |
точку |
|
|
M - 3; 0 |
параллельно оси Oy . |
|
|
|
( |
|
|
|
6.Плоскость параллельная оси Ox , отсекает от осей Oy и Oz отрезки. величиной - 2 . Построить плоскость и написать её уравнение.
7. |
Построить |
геометрические |
образы |
уравнений |
x2 - y2 |
= |
4 , |
|
|
x2 |
+ y2 - |
3x = 0 , y = - x2 + 1 на плоскости и в пространстве. |
|
|
|||
8. |
Построить геометрические образы системы неравенств 9 Ј |
x2 + y2 |
Ј |
16, |
||||
|
y і |
4x на плоскости и в пространстве. |
|
|
|
|
||
9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости
у
2
1
−3 −2 −1 0 1 |
2 |
х |
Рис. 18
- 22 -
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
1. Решить системы уравнений |
|
|
|||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
x + |
3y = |
5, |
п |
- |
y + |
z = 10, |
|
пx |
||||||
м |
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
2z = 3, |
|
а) н |
3x - |
5y = |
4; |
б) н2x + y - |
|||
п |
п |
|
|
|
|||
п |
|
|
|
п |
|
|
|
о |
|
|
|
пx + |
3y - |
2z = 0. |
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
2.Даны силы F1 = i - j + k , F2 = 2i + j + 3k . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из начала координат в точку
A (2; - 1; - 1) по прямой линии.
3.Даны вершины треугольника A (1; - 2; 3), B (0; 1; 2), C (2; 0; 1). Найти площадь треугольника и длину высоты. опущенной из вершины C .
4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку A (0; 1; - 2) парал-
лельно вектору b = 2i |
- 3j + |
k . |
5. Написать уравнение |
прямой |
на плоскости, проходящей через точку |
M (- 3; 0), перпендикулярно прямой y = 2x - 6.
6.Построить плоскость 3x - 4y + 6z - 12 = 0 и написать уравнение линии пересечения этой плоскости с плоскостью Oyz .
7. |
Построить геометрические образы уравнений x2 + y2 = |
1, x2 - y2 |
= 1, |
||||
|
x2 + 2y2 = 16 на плоскости и в пространстве. |
|
1 |
|
|
|
|
8. |
Построить геометрические образы системы неравенств x і |
|
y2 |
, x Ј |
2 на |
||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
плоскости и в пространстве.
9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости
у
2
1
|
|
45 |
30 |
|
0 |
|
1 |
4 х |
|
|
||||
Рис. 19
- 23 -
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
1. Решить системы уравнений |
|
|
||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
3x + |
4y = |
3, |
п |
- |
3y = 0, |
|
п2x |
|||||
м |
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
п |
|
|
|
|
2z = 1, |
|
а) н |
|
5y = |
2; |
б) н5y - |
||
п7x - |
п |
|
|
|||
п |
|
|
|
п |
|
|
о |
|
|
|
п7x + |
9y = 12. |
|
|
|
|
|
оп |
|
|
2.Проверить, является ли фигура ABCD ромбом, если A (2; 1; 0),
B (- 3; 2; 1), C (0; - 1; 2), D (1; 0; - 1).
3.Даны три силы F1 = (1; - 2; 1), F2 = (1; 1; 1), F3 = (- 2; - 3; 1), прило-
женные к точке M (2; 1; 2). Найти величину момента их равнодействую-
щей относительно точки A (0; - 1; - 1).
4.Даны уравнения движения точки: x = 2t + 1, y = 3t - 2, z = 4t . Найти
|
путь, пройденный точкой за время t |
= 10 от начала движения. |
|
|
|
||||
5. |
Написать |
) |
уравнение прямой на |
плоскости, проходящей |
через точку |
||||
|
( |
, параллельно прямой y |
= |
2x - 6. |
|
|
|
|
|
|
M - 3; 0 |
|
|
) |
|
|
|||
6. |
|
|
|
|
( |
|
перпен- |
||
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A 2; 1; 0 |
|
||||||||
|
дикулярно вектору ar = i - 2k . |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Построить геометрические образы уравнений x2 - 2y = 1, |
x2 + 4y2 |
= 1, |
||||||
|
x2 + 2x + y2 = 0 на плоскости и в пространстве. |
|
|
|
|
||||
8. |
Построить геометрические образы |
системы неравенств |
y Ј |
|
4 - |
x2 , |
|||
yі 1 на плоскости и в пространстве.
9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости
2
1
−4 |
−2 −1 0 1 |
2 |
Рис. 20
- 24 -
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1 1. Решить систему уравнений аналитически и геометрически
мп2x + 3y = 4,
п
н
п7x - 2y = 1.
по
2.Найти площадь треугольника, построенного на векторах AB и AC ,
если A (2;1;- 3), B (0;1;4), C (- 3;2;1).
3.Сила F = (3;- 1;0) приложена к точке B (1;- 1;2). Найти модуль
момента силы F относительно точки A (2;- 3;- 4).
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A (2;1;0) и
B (- 3;2;1).
5. Построить кривую x2 + 2x - y2 + 43 = 0 , найти координаты центра и полуоси.
Вариант 2 1. Решить систему уравнений аналитически и геометрически
мп2x - 3y = 6,
п
н
п4x + 5y = 2.
по
2. Найти пр |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
uuur AB , если A 1;4;2 |
, B |
0;1;3 |
, C |
- 1;2;0 . |
||
|
AC |
|
|
|
|
|
3. Найти модуль вектора линейной скорости v , если вектор угловой |
||||||
r |
|
|
|
|
r |
2i - j . |
скорости w = 3k |
, а радиус вектор вращающейся точки r = |
|||||
4. |
|
( |
) |
перпен- |
Найти уравнение прямой, проходящей через точку A 0;1;2 |
|
|||
дикулярно плоскости 2x + y - |
3z = 1. |
|
|
|
5. |
Построить кривую x2 - |
6x - 4y2 = 7 . Найти координаты центра и |
||
полуоси. |
|
|
|
|
- 25 -
Вариант 3
1. Решить систему уравнений аналитически и геометрически
мп6x - 5y = 1,
п
н
п3x + 2y = 7.
по
2.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB
иAC , если A (1;0;2), B (- 1;1;0), C (3;2;- 1).
3.Под действием сил F1 = (3;2;1) и F2 = (4;1;- 2)материальная точ-
ка перемещается из положения A (- 3;1;0) в положение B (4;- 1;0). Найти работу равнодействующей силы на данном перемещении.
4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A (0;1;2) пер-
пендикулярно прямой x -2 1 = y-+13 = z1 .
5. Построить кривую 9x2 + y2 + 6y = 0. Найти координаты центра и полуоси.
Вариант 4
1. Решить систему уравнений аналитически и геометрически
мп3x - 5y = 2,
п
н
п2x + 3y = 6.
по
2.Проверить перпендикулярность векторов AB и AC , если A (3;1;0),
B (- 2;1;3) и C (0;2;- 1).
3.Силы F1 = (2;- 1;3) и F2 = (- 2;2;- 1) приложены к точке
B (2;- 1;0). Найти модуль и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат.
4.Написать уравнения движения точки, если начало движения в точке A (2;0;1), а вектор скорости vr = (3;1;- 2).
5.Построить кривую 4x2 + 4x + y2 = 3. Найти координаты центра и полуоси.
-26 -
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Прямая на плоскости
y = x + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tga , где a – угол наклона прямой.
y - y0 = k (x - x0 ) – уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0;y0 )с угловым коэффициентом k = tga .
y - y1 |
= |
x - |
x1 |
– уравнение прямой, проходящей через точки |
|
x2 - |
|
||
y2 - y1 |
x1 |
|||
M1 (x1;y1 )и M2 (x2;y2 ).
ax + yb = 1 – уравнение прямой в отрезках на осях, где a и b – отрезки,
которые прямая отсекает на осях Ox и Oy соответственно. Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой.
Плоскость
A (x - x0 )+ B (y - y0 )+ C (z - z0 )= 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0;y0;z0 )перпендикулярно вектору N = (A;B;C ).
Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости.
ax + yb + cz = 1 – уравнение плоскости в отрезках на осях, где a , b, и c
– отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ox , Oy и Oz соответственно.
|
|
|
|
|
Прямая в пространстве |
||
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
= |
z - z0 |
– канонические уравнения прямой, прохо- |
|
m |
n |
p |
|||||
|
|
|
|
||||
дящей через точку M0 (x0;y0;z0 )параллельно вектору l = (m;n;p).
x = x0 + mt , y = y0 + nt , z = z0 + pt – параметрические уравнения
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - |
x1 |
= |
y - |
y1 |
= |
|
z - z1 |
– уравнения прямой, проходящей через |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 - x1 |
y2 - y1 |
2 |
z2 - z1 |
|
2 ) |
|||||||||||
точки M |
1 |
( 1 1 |
|
1 ) |
и M |
( 2 |
;y |
2 |
;z |
|||||||
|
x ;y ;z |
|
|
= x |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 27 - |
Кривые второго порядка
(x - x0 )2 + (y - y0 )2 = R2 – уравнение окружности с центром в точке M0 (x0;y0 )и радиусом R .
x2 |
+ |
y2 |
= 1 – каноническое уравнение эллипса. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
x2 |
- |
y2 |
= 1 – каноническое уравнение гиперболы. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
y = ± ab x – уравнения асимптот гиперболы. y2 = 2px, y = kx2 – уравнения парабол.
СТРУКТУРНАЯ БЛОК-СХЕМА
При выполнении студентами индивидуальных заданий по разделу «Векторная алгебра» настоятельно рекомендуется пользоваться структурной блок-схемой. Блок схема включает в себя обозначения векторов, примеры векторных величин, линейные и нелинейные операции над векторами (рис. 21). Студент-первокурсник из-за отсутствия опыта испытывает большие трудности в самостоятельной работе. Блок-схема облегчает эту работу, а также способствует лучшему пониманию вопросов векторной алгебры, наглядно отражает основные формулы, нужные при решении задач.
- 28 -
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
Примеры векторных величин |
|||
ar =(x1; y1; z1 ), |
b =(x2; y2; z2 ),cr =(x3; y3; z3 ) |
, |
|
сила Fr , |
s , |
|||||||||||
|
ar |
|
|
|
|
|
|
ar = |
|
|
|
|
|
перемещениеr |
||
|
|
= x2 + y2 + z2 , |
(cosα;cos β;cosγ ) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
, |
|
скорость v |
, |
|
|
|
|
cosα = |
|
xr1 |
|
;cos β = |
yr1 |
;cosγ = |
zr1 |
|
|
момент Mr , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
угловая скорость ω |
||||||||
|
|
|
|
|
| a | |
|
|
| a | |
|
| a | |
|
|
|
|
||
|
|
Линейные |
|
|
|
|
|
r |
r |
Сложение |
|
=(x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2 ) |
|
||
a |
+b |
|
|
r |
r |
Вычитание |
|
a |
−b |
=(x1 − x2; y1 − y2; z1 − z2 ) |
|
Умножение на скаляр |
|||
λar =(λx1; λy1; λz1 ) |
|||
r |
r |
r |
r |
a |
b |
a |
= λb |
x1 = y1 = z1 = 1 x2 y2 z2 λ
Операции над векторами
Нелинейные
|
Скалярное произведение |
|
|
||||||
|
r |
r |
r |
r |
|
r |
|
||
|
a b |
=| a | |
| b | cosϕ =| a | nprb , |
|
|||||
|
|
ar b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Применение |
|
|
|
|
|||
1. |
Работа A = F sr . |
|
|
r |
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Угол между векторами cosϕ = |
a |
b |
r |
|
||||
r |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| a | |
| b | |
|
||
3. |
Проекция вектора на вектор npbrar = |
arrb |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
| b |
| |
|
4. |
Условие перпендикулярности |
|
|
|
|
||||
|
r |
r |
r |
+ y1 y2 + z1z2 = 0 |
|||||
|
a b = 0 |
a |
b , x1x2 |
||||||
|
|
Векторное произведение |
|
||||||||
|
r |
r |
|
r |
ar |
×b = cr |
r |
r r |
b |
||
1. | c |
|=| a |
| | b |
| sinϕ , 2. |
c |
a, c |
||||||
3. |
r |
r |
|
ir |
rj |
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a×b = |
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
Применение
1. Момент силы F , Mr = rr×Fr 2. Площадь параллелограммаr
S =| ar×b |
3. Линейная скорость vr =ωr×rr
Смешанное произведение ar (br×cr)= arbrcr
r r r |
= |
x1 |
y1 |
z1 |
ab c |
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
Применение |
|
||||
1. |
Объем параллелепипеда VΠ =| arb cr| |
|||||
2. |
Объем тетраэдра V = |
1 |
| |
r r r |
|
|
6 |
ab c | |
|
||||
|
T |
|
r r r |
|
||
3. Условие компланарности |
= 0 |
|||||
ab c |
||||||
Рис. 21. Блок-схема по векторной алгебре
- 29 -
Учебное издание
Составитель Лилия Михайловна Калинина
Подготовил к переизданию Сергей Андреевич Лактионов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задачи для самостоятельной работы по дисциплине «Математика»
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать |
.Формат бумаги 60х84 1/16. |
||
Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л.. |
|
||
Уч.-изд. л. |
. Тираж |
экз. Заказ |
. |
Сибирский государственный университет 654007, г.Новокузнецк, ул Кирова, 42.
Издательский центр СибГИУ
- 30 -