В.Д. Моисеенко Определение перемещений в балке
.pdfМинистерство образования Российской Федерации Государственное учреждение
Кузбасский государственный технический университет Кафедра сопротивления материалов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по курсу сопротивления материалов
для студентов всех специальностей
Составители В.Д. Моисеенко С.А. Сидельников
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 27.06.02
Рекомендованы к печати методической комиссией по направлению 550100 Протокол № 16 от16.10.02
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2003
1
1. Введение
Расчет балок на жесткость при изгибе имеет не меньшее значение, чем расчет на прочность. Анализ деформации балки при прямом изгибе показывает, что при приложении к ней поперечной нагрузки продольная ось балки искривляется в плоскости действия нагрузки, а поперечные сечения перемещаются. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией. Новые положения сечений характеризуются линейными и угловыми перемещениями, показанными на рис.1.
q
P
V (z)
z |
θ (z) |
|
ℓ
Рис. 1. Перемещения при изгибе
Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к продольной оси недеформированной балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается V.
Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему начальному вертикальному положению, называется углом поворота сечения и обозначается θ.
Расчет балок на жесткость при изгибе заключается в определении наибольших упругих линейных и угловых перемещений поперечных сечений от заданной нагрузки и сопоставлении их с соответствующими допускаемыми перемещениями, зависящими от назначения и условий эксплуатации балок. Иначе говоря, требуется обеспечить соблюдение условия жесткости, выраженного неравенствами:
Vmax ≤ [V], |
θ max ≤ [θ], |
(1.1) |
где [V] и [θ] - допускаемые значения прогиба и угла поворота.
2
Цель задания «Изогнутая ось балки» - получение навыков определения линейных и угловых перемещений в балках основными методами: методом начальных параметров и методом Максвелла – Мора (по способу Верещагина).
2. Теоретические основы метода начальных параметров
Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид
EIxV″ = ± Mиз, |
(2.1) |
где EIx – жесткость сечения балки при изгибе; V″ – вторая производная от прогиба V по абсциссе сечения; Миз – изгибающий момент в произвольном сечении.
Уравнение (2.1) может иметь два знака, потому что знак кривизны (V″ ≈ 1/ρ) изогнутой оси балки может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат, знак изгибающего момента выбирается в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. При направлении оси прогибов вверх знак изгибающего момента согласуется со знаком кривизны, которая положительна при вогнутой форме и отрицательна при выпуклой форме (рис. 2, а).
V |
Z |
V″>0 |
V″<0 |
Mx>0 |
Mx >0 |
a) |
б) |
V″<0 |
V″>0 |
Mx<0 |
Mx<0 |
Z |
V |
Рис. 2. Зависимость знака кривизны от координатных осей
В таком случае уравнение изогнутой оси балки записывается со знаком плюс в правой части EIxV″ = Mиз. При направлении оси прогибов
3
вниз знаки кривизны и изгибающего момента не согласуются (рис. 2,б) и в правой части уравнения изогнутой оси следует ставить знак минус EIxV″ = – Mиз. Проинтегрировав уравнение (2.1) первый раз, получим уравнение углов поворота:
EIxθ =EIxV′ = ± ∫Mиз dz + C . |
(2.2) |
Проинтегрировав второй раз, получим уравнение прогибов:
EIxV = ± ∫dz ∫Mиз dz + Cz+D, |
(2.3) |
где С и D – постоянные интегрирования.
Определим постоянные интегрирования изогнутой оси балки, для чего рассмотрим их физический (геометрический) смысл в уравнениях (2.2) и (2.3). Уравнение (2.2) может быть записано в виде, удобном для вычисления углов поворота θ = V′:
θ = V′ = ± |
∫M изdz |
+ |
C |
. |
(2.4) |
|
|
||||
|
EI x |
EI x |
|
При z = 0 интеграл вида ∫Миз dz обращается в нуль, следует:
θ0 = Vz' =0 = |
C |
, |
C = θ0EIx. |
(2.5) |
|
||||
|
EI x |
|
|
Это означает, что постоянная интегрирования С численно равна углу поворота θ0 в начале координат балки, умноженному на жесткость сечения EIx.Уравнение (2.3) запишем также в виде, удобном для вычисления прогибов:
V = ± |
∫dz ∫Mизdz |
+ |
Cz |
+ |
D |
. |
(2.6) |
|
|
|
|||||
|
EIx |
EIx |
EIx |
|
В этом уравнении выражения ∫dz ются в нуль, откуда следует:
D VZ = 0 = V0 = EI x ,
∫dMиз dz, Сz при z = 0 обраща-
D = V0EIx. |
(2.7) |
4
Следовательно, постоянная интегрирования D численно равна прогибу V0 в начале координат балки, умноженному на жесткость сечения EIx.
Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки на опорах, где граничные условия зависят от типа расчетной схемы балки.
Для балок с несколькими участками дифференциальное уравнение изогнутой оси балки не имеет одного аналитического выражения и записывается раздельно для каждого участка. При n участках в балке раздельное интегрирование n дифференциальных уравнений приводит к получению 2n постоянных интегрирования.
Рассмотренные ниже правила, предложенные Клебшем, используемые при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки и последующем его интегрировании, позволяют уравнять постоянные интегрирования по всем участкам балки и свести их количество к двум, С и D:
Начало координатных осей выбирается на одном из концов балки и является общим для всех участков.
Выражение изгибающего момента записывается с учетом нагрузок, расположенных между началом координатных осей и текущим сечением с координатой z на последнем участке.
Равномерно-распределенная нагрузка, не распространяющаяся на последующие участки, продлевается до конца балки с условием приложения в пределах продленной части компенсирующей равномерно – распределенной нагрузки противоположного направления.
Внешний сосредоточенный момент умножается на фиктивное плечо вида (z - a)°, где а – координата сечения приложения внешнего сосредоточенного момента.
Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки производится без раскрытия скобок.
При определении постоянных интегрирования С и D из граничных условий, а также при определении прогибов и углов поворота в расчетных сечениях используется «правило отрицательного аргумента». Согласно этому правилу не учитываются слагаемые, содержащие аргумент вида (z – a), (z – b), (z - c) и т.д., принимающий отрицательное значение независимо от его показателя степени. Здесь а, b, с – координаты сечений приложения различных нагрузок.
|
|
|
|
5 |
|
RA |
|
m |
q |
|
|
|
||
|
|
|
Z |
|
A |
|
|
|
|
|
a |
|
B |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b
c
z
ℓ
V
|
RA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M R |
( z ) = RA z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m |
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Mm(z) = – m(z – a)° |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
( z −b )2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mq(z) = – q |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mq′(z) = q′ |
( z −c )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q′ = q |
|
|
|
|
|
Рис. 3. Правила Клебша при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки
В случае определения перемещений в составной балке с промежуточным шарниром в уравнение углов поворота и прогибов соответственно вводятся дополнительные слагаемые ∆θ (z-d)° и ∆θ (z-d). Здесь ∆θ – взаимный угол поворота поперечных сечений, примыкающих к промежуточному шарниру слева и справа, а d – координата промежуточного шарнира. При этом соблюдаются все правила Клебша, в частности определение постоянных интегрирования С и D, а также ∆θ производится из граничных условий на опорах балки.
6
Построение изогнутой оси балки выполняется с учетом представленных на рис. 4 правил знаков для прогибов и углов поворота в зависимости от выбора места и направления координатных осей.
V |
|
|
|
|
V |
θ > 0 |
V > 0 |
θ < 0 |
θ < 0 |
V > 0 |
θ > 0 |
|
|
|
|
||
|
|
Z |
Z |
|
|
|
|
Z |
Z |
|
θ > 0 |
V > 0 |
θ < 0 |
|
V > 0 |
|
θ < 0 |
θ > 0 |
||
V |
|
|
|
V |
Рис. 4. К определению знаков прогибов и углов поворота
3. Теоретические основы метода Максвелла – Мора (способа Верещагина)
Этот метод удобно использовать в случае определения прогиба или угла поворота, в каком – либо отдельном сечении без исследования всей изогнутой оси балки.
Помимо метода Максвелла – Мора, основанного на вычислении соответствующего определенного интеграла, определение перемещений может быть произведено способом Верещагина, являющимся способом «перемножения эпюр». В этом случае пользуются следующим выражением:
∆ip = |
ωpY |
, |
(3.1) |
EI x |
где ∆ip – искомое перемещение; ωр – площадь грузовой эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки; Y – ордината единичной эпюры изгибающих моментов от единичного нагружения балки, взятая под центром тяжести площади грузовой эпюры.
7
При определении прогиба или угла поворота единичное нагружение создается соответственно единичной силой или единичным моментом, прилагаемыми к балке в тех сечениях, где определяется перемещение. Определение перемещений при сложном виде грузовой эпюры выполняется по участкам балки, на каждом из которых единичная эпюра должна быть линейно – гладкой, т.е. описываться одной линейной зависимостью. При этом в пределах каждого из таких участков на грузовой эпюре выделяются простые фигуры, для которых легко определяются площади и положение центров тяжести. Затем суммируются произведения площади ωpi каждой простой фигуры на ординату Yi единичной эпюры, взятую под центром тяжести соответствующей простой фигуры. В приложении приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся простых геометрических фигур. Формула (3.1) в случае сложного вида грузовой эпюры имеет вид
∆ip = |
∑ωpiYi |
, |
(3.2) |
|
|||
|
EI x |
|
где i – номер простой фигуры в грузовой эпюре.
Направления единичной силы и единичного момента, выбираемые произвольно, указывают предположительные направления искомых перемещений.
Полученные положительные значения перемещений подтверждают верность выбранных направлений перемещений, а отрицательные значения указывают на то, что перемещения направлены противоположно направлению единичного нагружения.
4. Пример определения перемещений в простой двухопорной балке методом начальных параметров
Для балки, расчетная схема которой показана на рис. 5,а, требу-
ется:
1)построить эпюры Q, Mиз и подобрать сечение из прокатного двутавра, полагая [σ] = 160 ΜПа;
2)определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях
при Е = 2 105 МПа и построить прогнутую ось балки;
8
3) проверить жесткость при [V ]= 300l .
При выполнении расчетов в Технической системе единиц необ-
ходимо помнить, что 1Н = 0,1 кгс; 1кН = 0,1 тс; 1Па = 1 10-5 смкгс2 ; 1МПа = 106 Па.
Решение
Любым из способов, рассмотренных в задании «Изгиб», строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Миз (рис. 5, б, в).
Определяем опасное сечение и M max по эпюре Миз. Подбор дву-
таврового поперечного сечения производим, используя условие прочности при изгибе:
Wx тр ≥ |
|
Мmax |
= |
28 |
=0,000175м |
3 |
. |
|
|
|
|
||||
|
[σ] |
160 103 |
|
По таблице сортамента (ГОСТ 8239 – 89) принимаем двутавровое сечение № 20, для которого Wх = 0,000184 м3, Ix= 0,0000184 м4, жест-
кость сечения балки:
EIx = 2 105 103 0,0000184 = 3680 кН м2.
Подготовим расчетную схему к составлению дифференциального уравнения изогнутой оси балки (рис.5,г).
Начало координат выбираем на левом конце балки, направив ось прогибов вниз.
Обрывающуюся распределенную нагрузку продолжаем до конца балки, компенсируя ее на третьем и четвертом участках.
Внешний сосредоточенный момент умножаем на фиктивное пле-
чо (z – 3)°.
Составляем дифференциальное уравнение
EIxV" = −Миз.
|
|
|
|
|
9 |
|
|
P=5 кH RA = 19 кН |
|
|
RВ = 6 кН |
|
|||
|
|
q=10 кН/м |
m1 = 25 кН·м |
|
m2 =10кН·м |
||
а) |
|
A |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1м |
|
2м |
|
3м |
1м |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
б) |
|
+ |
|
|
|
|
Эп.Q (кН) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
5 |
1,4м |
6 |
|
6 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
в) |
− |
|
|
|
|
|
Эп. Миз=М р(кН·м) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4,8 |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
1 |
A |
|
2 |
|
|
Z |
|
3,5м |
C |
В |
3 |
|||
г) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
θ(3) |
|
|
θ(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
θ(A) |
|
θ(2) |
|
θ(B) |
|
|
|
|
|
θ |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(C) |
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(1) |
V(2) |
V(C) |
|
V(3) |
|
|
Рис. 5. Схема балки, эпюры Qи Mиз, расчетная схема |
||||||
|
|
|
|
и изогнутая ось балки |
|