М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
М.А.Тынкевич
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
по курсу
“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА”
для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»
Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001
Кемерово 2001
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами |
1 |
Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами
Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение.
Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.
Пример.
1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001
Абсолютные погрешности исходных данных:
∆a=0.02 , ∆b=0.01, ∆t=0.0001.
Относительные погрешности исходных данных:
δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013.
Находим оценки с учетом, что
δ(xy)~δ(x/y)<δx+δy, ∆(x±y)<∆x+∆y, δ(x±y)<max(δx,δy) и ∆f(x)~f’(x) ∆x:
a2 |
=800.9 |
{ δ a2=2 δa=0.00142 ; |
∆a2 =809.9 0.00142=1.15006 } ; |
b3 |
=413.5 |
{ δ b3=3 δb=0.00405; |
∆b3=413.5 0.00405=1.67468 }; |
a2+ b3=1214.4 { ∆ (a2+b3)= ∆a2+∆b3=2.82474; |
|||
|
|
δ (a2+b3)= 2.82474/1214.4=0.00233}; |
|
Cos(t)=0.7071 {∆ (Cos(t))= (Cos(t))′∆t=Sin(t) ∆t ~0.00007 ; |
|||
|
|
δ (Cos(t))=d/dt(lnCos(t)) ∆t=Sin(t)/Cos(t) ∆t ~0.0001 }; |
|
F=(a2+b3)/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 = |
1717.44 , |
δF~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%); ∆F~ 1717.44 0.0024~4.12.
Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) нескольких переменных:
∂F ∂a
∆u = ∑ |
|
|
∂u |
|
|
∆x i , |
δu = ∑ |
|
|
∂ |
ln( u) |
|
∆x i |
∂x i |
|
||||||||||||
i |
|
|
|
|
i |
|
|
∂xi |
|
|
|||
|
|
|
|
= 2a |
|
|
|
|
=80.05; |
∂F |
|
= 3b |
2 |
=235.48; |
∂F |
= − |
a 2 +b3 |
sin( t ) =1717.4; |
||||||||||
cos( t ) |
∂b |
|
cos( t ) |
|||||||||||||||||||||
|
∂t |
cos 2 t |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆F = |
|
∂F |
|
∆a + |
|
∂F |
|
|
∆b + |
|
|
∂F |
|
∆t =4.1275; δF=∆F /F =0.0024 (~0.25 %). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂a |
∂b |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ∆F =4 < 0.5 10n-m+1 (m - число верных знаков, n=3 – поря-
док числа 1717.4 ) = 0.5 103-m+1 =0.5 104-m =5 103-m при m≤3, то m=3
(к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения δF) и F=172 101 (общая погрешность=погрешности исходных данных
2 |
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами |
(∆F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7).
2. F=(a2+b3) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5.
Находим a2 =800.9, b3 =413.5, Cos(t)=0.7071, a2+ b3=800.9+ 413.5 =1214.4, F=(a2+b3)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти
5 цифр верными).
Относительная погрешность δF=10-(m-1)/(2a1)=10-4/(2×1) =0.00005,
абсолютная погрешность ∆F=F× δF=1714.4× 0.00005=0.008572.
Для использования принципа равных влияний
∆x |
= |
|
|
xi |
|
∆ F |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
x ∂ F |
|
|
|||||
|
|
∑ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i ∂ x |
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
находим a×(dF/da)=2a2/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45, b×(dF/db)=2b3/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57,
t×(dF/dt)=t×(a2+b3)/cos2(t)×sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4,
знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ;
отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна:
∆a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ; ∆b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001; ∆t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.
Варианты заданий
№ |
|
F(a,b,c) |
|
|
|
|
a |
b |
c |
m |
||||||
1 |
1 |
|
ab |
( a +b ) sin( 3c ) |
|
2456 |
0.00078 |
0.008 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 c |
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
|||
|
2 |
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
5 |
|||
|
|
|
a−b arcsin( c ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0.2456 |
0.20078 |
0.008 |
|
||
|
|
[( a+b )c |
] |
ln( 1 + c ) |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
||||||
|
|
|
a−b |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
c3 |
( a −b )7 cos( ac ) |
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
5 |
|||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
1 |
|
ab |
( a3 +b )sin2( c ) |
0.12456 |
0. 0078 |
0.008 |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 c |
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
|||
|
2 |
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
|||
|
|
a−b arctg( c ) |
|
|
||||||||||||
4 |
1 |
( a+b )c |
3 |
2 |
) |
0.2456 |
0.20078 |
0.008 |
|
|||||||
|
|
|
a−b |
2 |
|
ln( 1 +c |
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами |
3 |
|
2 |
|
|
c2 |
( a −b )3 cos( ac2 ) |
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
5 |
|||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
1 |
|
|
ab |
|
|
( a +b )2 Sin( c ) |
0.12456 |
0.078 |
0.2468 |
|
|||||||||||||
|
|
3 c |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.0003 |
±0.00013 |
|
|||
|
2 |
|
|
a+b2 |
|
arccos( c ) |
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.835 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0.2456 |
0.20078 |
0.008 |
|
|
|
[( aa+−bb)c ] |
ln( 1 +c ) |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
5 |
|
|
|
|
|
( a −b ) |
cos( a |
|
c ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7 |
1 |
|
|
a2b |
( 1 +b )Sin( 2c ) |
|
|
2456 |
0.00078 |
0.008 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 c |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
a+b |
|
ln( 1 + ac ) |
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
||||||||||
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8 |
1 |
[( a+b )c |
] |
ln 2 ( 1 +c ) |
|
|
0.2456 |
0.20078 |
0.008 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
||||||
|
2 |
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
|
|
|
|
|
( a −b ) |
cos( ac ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9 |
1 |
|
|
ab |
|
|
( a +b )Sin( c ) |
|
|
0.12456 |
0. 0078 |
0.008 |
|
|||||||||||
|
|
3 1+c |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.00013 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
a+b |
arctg( ac ) |
|
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10 |
1 |
|
|
( a+b2 )c |
2 |
ln( 1 + ac2 ) |
0.2556 |
0.50078 |
0. 8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
2 |
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.013 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
c2 |
( a −b )cos( 1 + ac |
2 |
) |
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
|||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
1 |
|
|
ab |
2 |
|
|
( a −b )Sin( cb ) |
|
|
0.2456 |
0.0078 |
8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
3 c |
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±1.23 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
( a+b )2 |
arcsin( ac ) |
|
|
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12 |
1 |
|
|
a+b |
|
( a |
2 |
+b )ln( 3 +c ) |
0.12456 |
0.12078 |
0.08 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 a−b |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.02456 |
0.01823 |
0.0348 |
5 |
||||
|
|
|
a−b arccos( c ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13 |
1 |
|
|
ab |
2 |
|
|
Sin( cb ) +cb |
|
|
|
|
0.2456 |
0.078 |
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
3 c |
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.003 |
±1.25 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
c( a+b )2 |
+ arcsin( ac ) |
|
0.02456 |
0.007823 |
0.8348 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14 |
1 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
||||
|
|
3 a−b a |
ln( a +c ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
4 |
|
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a+b |
|
−arccos( a +c ) |
0.02456 |
0.01823 |
0.0348 |
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
a−b |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
15 |
1 |
|
|
a+b |
( a |
−b ) ln( a +c ) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||||||||||
|
|
|
( ab )2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
a+b |
( 1 |
+c + |
c4 |
)lg( c ) |
0.02456 |
0.01823 |
0. 348 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
4! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
16 |
1 |
|
|
a+b2 |
a ln( a +c ) |
0.1245 |
0.120 |
2.08 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 a−b |
±0.0005 |
±0.0003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
a + |
a+b |
|
lg( ac ) |
|
0.02456 |
0.01823 |
3.0148 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
17 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
|
3 a−b a ln( 2a +c ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2456 |
0.1823 |
0.0348 |
5 |
|
||
|
|
|
|
a−b2 −arcsin( a +c ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
18 |
1 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||
|
|
|
a−b a ln(πc ) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.02456 |
0.01823 |
0.0348 |
5 |
|
||
|
|
|
|
a−b lg(arccos( a +c )) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
19 |
1 |
|
|
a+b |
|
( a |
2 |
−b ) |
ln( a +c ) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
|||||||
|
|
( ab )2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
a+b |
( 1 |
+ a + |
c4 |
)lg( c ) |
0.02456 |
0.01823 |
0. 348 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
4! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
20 |
1 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||
|
|
|
( a−b )2 | sin(ln( a +c )) | |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
a+c |
( 1 |
+c )lg( bc ) |
0.02456 |
0.01823 |
2. 348 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
a−b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
21 |
1 |
|
|
a2 +b |
|
ln |
2 |
( a +c ) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
( ab )2 |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
a2 +b |
( 1 |
+bc )lg( c ) |
0.02456 |
0.01823 |
0. 348 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
22 |
1 |
|
|
a3 −b2 |
|
ln( a +c ) |
0.22456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( ab )2 |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
a+b2 |
( 1 |
+c )lg( c ) |
0.02456 |
0.01823 |
0. 348 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
23 |
1 |
|
|
a2 −b2 |
|
arctg(ln( a +c )) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( ab )2 |
|
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12456 |
0.01823 |
2. 08 |
4 |
|
||
|
|
|
|
a−b arctg(ln( a +c )) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
24 |
1 |
|
|
a4 −b4 |
ln(sin( a +c )) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( ab )2 |
|
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a+b |
|
|
0.02456 |
0.01823 |
0. 348 |
5 |
|
|
|
a−b ln(sin( a +c )) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
25 |
1 |
|
ln( a+b ) |
( a −b ) ln( ac ) |
0.12456 |
0.12078 |
2.08 |
|
|
|
|
|
|
|
( ab )2 |
±0.0005 |
±0.00003 |
±0.015 |
|
|
||
|
|
2 |
|
ln( a+b ) |
( 1 +c )ln( ac ) |
0.12456 |
0.11823 |
2. 08 |
5 |
|
|
|
|
|
|
a−b |
|
|
|
|
|
P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помощью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешностью исходных данных или округления).
Лабораторная работа 2
Пределы последовательностей и степенные ряды
Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей {an},{bn}, если они существуют, с точностью ε.=10-2 и соответствующие порядковые номера N(ε). Изобразите графически характер поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим путем истинное значение предела и порядок сходимости.
Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при n=1,2,... с точностью ε.=10-4 (или покажите, что ряд расходится) .
Варианты заданий
№ |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
an |
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
3n /( 3 + |
1 |
)n |
|
(-1)n (1- |
14 |
1 sin( 1 ) |
|
|
|
1n |
nn +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
cos(1/n)) |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
n |
2 |
+1) |
|
|
15 |
( 2π )n n! |
|
|
|
|
2 |
+1/n) |
|||||||||||||||
|
arctg(n |
|
(-1) n/(n |
|
|
|
|
( 2n )! |
|
arctg(n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
1 /( 1 + |
n |
) |
( −1 ) ( n − n −1) |
16 |
1 /( 1 + n ) |
|
|
|
3 n6 +2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 n 2 + 5 |
|
|
|
|
n |
|
|
1/n |
|
1 |
|
|
|
1 |
cos( |
1 |
( |
−1 ) |
n |
) |
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
(1-2 ) |
|
|
17 |
|
n ln(πn ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 3 +1 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||||||||
5 |
|
arctg(n2+1) |
|
|
( −1 )n+1 |
|
18 |
( −1 )n+1e−2n2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
( 2n−1 ) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( 2n−1 )( 2n−1 )! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
−ln n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
( −1 )n+1 5n |
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
1 |
sin |
(−1)n |
|
19 |
∑ |
|
−ln( n ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Лабораторная работа 2 . Пределы последовательностей и степенные ряды
|
|
( 2n )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −1 )n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
|
|
(-1)n+1 /n2 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6( n−1 )( 5n+2 ) |
||||||||||||||||||||||
|
( 2π )2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
( 2n−1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( n+1 )( n+3 ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8 |
ln(1+(1+n)1/n) |
|
en sin(2/n) |
21 |
|
e−( 2n−1 )2 π 2 |
8 |
|
|
|
|
|
n sin |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
( −1 )n |
||||||||||
9 |
2 / ln(12n-2) |
|
n nn +2 |
22 |
(-1) |
|
|
/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
( 2n |
+ |
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 )( 2n 1 )! |
|||||||
10 |
|
13 n+2 |
|
1n ln( n ) |
23 |
|
|
|
|
1 |
tg( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
ln( n ) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n sin(5/n) |
1 |
|
|
|
24 |
|
1 |
−ln( 1 + |
1 |
) |
2n |
|
|
|
( 3π )n n! |
||||||||||||||||||
11 |
|
|
3 n3 +2n+50 |
|
|
|
|
|
|
|
( 3n )! |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
12 |
1 |
n n+2 |
( 1 + |
3 |
)n2 |
25 |
|
( −)n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n!( n+1 )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 lnn |
|||||||||||||||||
13 |
arcsin(1-1/n2) |
|
( −1 )n (π / 2 )2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( 2n )!( 4n+1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 3
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Задание 1. Выполните обращение матрицы А и решение системы АХ=В методом Гаусса по любой из известных схем, ограничиваясь в записи чисел тремя знаками после запятой. Получите решение той же задачи в среде MatLab и сравните полученные результаты. Приняв найденное методом Гаусса решение за начальное приближение, выполните его уточнение до 4-5 знаков любым из итерационных методов.
Задание 2. Решите систему СХ=D . Для несимметрической С воспользуйтесь методом Краута, для симметрической – методом квадратных корней. Сопоставьте полученные решения (треугольные матрицы и оценки Х) с получаемыми стандартными средствами
MatLab.
Варианты заданий
№ |
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.47 |
-0.11 |
0.55 |
.1.33 |
1 |
2 |
3 |
13 |
||
|
0.42 |
1 |
0.35 |
0.17 |
1.29 |
|
2 |
3 |
5 |
4 |
|
-0.25 |
0.67 |
1 |
0.36 |
2.11 |
|
3 |
5 |
9 |
17 |
|
0.54 |
-0.32 |
-0.74 |
1 |
0.10 |
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений |
7 |
|
|
|
|
|
2 |
0.63 |
1 |
0.11 |
0.34 |
2.08 |
|
|
1 |
2 |
3 |
0.55 |
|
0.17 |
1.18 |
-0.45 |
0.11 |
0.17 |
|
1 |
4 |
9 |
1.35 |
|
|
0.31 |
-0.15 |
1.17 |
-2.35 |
1.28 |
|
1 |
8 |
27 |
3.55 |
|
3 |
0.58 |
0.21 |
-3.45 |
-1.18 |
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.77 |
0.04 |
-0.21 |
0.18 |
1.24 |
|
0.42 |
1.43 |
0.27 |
1 |
||
|
-0.45 |
1.23 |
-0.06 |
0 |
-0.88 |
|
1.43 |
-0.84 |
0.93 |
2 |
|
|
-0.26 |
-0.34 |
1.11 |
0 |
0.62 |
|
0.27 |
0.93 |
-0.48 |
3 |
|
4 |
-0.05 |
0.26 |
-0.34 |
1.12 |
-1.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.79 |
-0.12 |
0.34 |
0.16 |
-0.64 |
|
0.64 |
0.54 |
-0.33 |
3 |
||
|
-0.34 |
1.18 |
-0.17 |
0.18 |
1.42 |
|
0.54 |
-0.92 |
0.24 |
2 |
|
|
-0.16 |
-0.34 |
0.85 |
0.31 |
-0.42 |
|
-0.33 |
0.24 |
0.78 |
1 |
|
5 |
-0.12 |
0.26 |
0.08 |
0.75 |
0.83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.68 |
-0.18 |
0.02 |
0.21 |
-1.83 |
|
0.5 |
1.77 |
0.39 |
1.5 |
||
|
0.16 |
-0.88 |
-0.14 |
0.27 |
0.65 |
|
0.84 |
1.79 |
0.95 |
2.5 |
|
|
0.37 |
0.27 |
-1.02 |
-0.24 |
-2.23 |
|
0.24 |
1.03 |
-0.41 |
3 |
|
6 |
0.12 |
0.21 |
-0.18 |
-0.75 |
1.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.58 |
-0.32 |
0.03 |
0 |
-0.44 |
|
0.19 |
0.51 |
0.86 |
0.35 |
||
|
0.11 |
-1.26 |
-0.36 |
0 |
-1.42 |
|
0.51 |
0.32 |
0.95 |
0.42 |
|
|
0.12 |
0.08 |
-1.14 |
-0.24 |
0.83 |
|
0.86 |
0.95 |
-0.12 |
0.45 |
|
7 |
0.15 |
-0.35 |
-0.18 |
0 |
1.42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.83 |
0.31 |
-0.18 |
0.22 |
1.71 |
|
0.64 |
1.54 |
-0.33 |
0.3 |
||
|
-0.21 |
-0.67 |
0 |
0.22 |
-0.62 |
|
1.54 |
-0.92 |
0.24 |
0.2 |
|
|
0.32 |
-0.18 |
-0.95 |
-0.19 |
0.89 |
|
-0.33 |
0.24 |
0.78 |
0.1 |
|
8 |
0.12 |
0.28 |
-0.14 |
-1 |
-0.94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.87 |
0.27 |
-0.22 |
-0.18 |
-1.21 |
|
0.55 |
1.77 |
0.39 |
1.5 |
||
|
-0.21 |
-1. |
-0.45 |
0.18 |
0.33 |
|
0.84 |
1.79 |
0.95 |
2.5 |
|
|
0.12 |
0.13 |
-0.33 |
0.18 |
0.48 |
|
0.24 |
1.03 |
-0.41 |
3 |
|
9 |
0.33 |
-0.41 |
0 |
-1 |
1.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.81 |
-0.07 |
0.38 |
-0.21 |
0.81 |
|
0.59 |
1.77 |
1.39 |
1.5 |
||
|
-0.22 |
-0.92 |
0.11 |
0.33 |
0.64 |
|
0.84 |
1.79 |
0.95 |
2.5 |
|
|
0.51 |
-0.07 |
-0.81 |
-0.11 |
1.71 |
|
1.24 |
1.03 |
-0.41 |
3 |
|
10 |
0.33 |
-0.41 |
0 |
-1 |
1.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-1 |
0.22 |
-0.11 |
0.31 |
-2.7 |
|
1.42 |
1.43 |
0.27 |
0.1 |
||
|
0.38 |
-1 |
-0.12 |
0.22 |
1.5 |
|
1.43 |
-0.84 |
0.93 |
0.2 |
|
|
0.11 |
0.23 |
1 |
-0.51 |
1.2 |
|
0.27 |
0.93 |
-0.48 |
0.3 |
|
|
0.17 |
-0.21 |
0.31 |
-1 |
0.17 |
|
|
|
|
|
|
8 Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений
11 |
-0.93 |
-0.08 |
0.11 |
-1.18 |
0.51 |
|
|
-0.93 |
-0.08 |
0.11 |
1.18 |
|
0.18 |
-0.48 |
0 |
0.21 |
-1.17 |
|
|
0.18 |
-0.48 |
0 |
0.21 |
|
0.13 |
0.31 |
-1 |
-0.21 |
1.02 |
|
|
0.13 |
0.31 |
-1 |
0.21 |
12 |
0.08 |
0 |
-0.33 |
-0.72 |
0.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.95 |
-0.06 |
-0.12 |
0.14 |
2.17 |
|
-1 |
-0.07 |
0.21 |
0.92 |
||
|
0.04 |
-1.12 |
0.08 |
0.11 |
1.4 |
|
1 |
0.03 |
-0.42 |
0.92 |
|
|
0.11 |
0.12 |
0 |
1.03 |
0.8 |
|
-0.03 |
1 |
-0.04 |
1.2 |
|
13 |
0.34 |
0.08 |
-1.06 |
0.14 |
2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
-0.19 |
0.27 |
-0.88 |
1.2 |
-1 |
-0.07 |
0.21 |
0.92 |
|||
|
-0.33 |
-1 |
-0.07 |
0.21 |
0.92 |
|
0.07 |
0.03 |
-0.42 |
0.92 |
|
|
0.11 |
0 |
1.03 |
-0.42 |
0.92 |
|
0.21 |
0.42 |
-0.04 |
1.2 |
|
14 |
-0.92 |
-0.03 |
0 |
-0.04 |
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-0.88 |
-0.23 |
0.25 |
-0.16 |
1.24 |
0.08 |
-0.12 -0.77 |
0.32 |
||||
|
0.33 |
0.03 |
-0.84 |
-0.32 |
-1.15 |
|
0.25 |
0.22 |
0.14 |
-1 |
|
|
0.14 |
-0.66 |
-0.18 |
0.24 |
0.89 |
|
-0.77 |
-0.14 |
0.06 |
-0.12 |
|
15 |
0.12 |
-0.05 |
0 |
-0.85 |
0.57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.12 |
-1 |
0.32 |
-0.18 |
0.72 |
|
0.08 |
0.25 |
-0.77 |
0.32 |
||
|
0.08 |
-0.12 |
-0.77 |
0.32 |
0.58 |
|
0.25 |
0.22 |
0.14 |
-1 |
|
|
0.25 |
0.22 |
0.14 |
-1 |
-1.56 |
|
-0.77 |
0.14 |
0.06 |
-0.12 |
|
16 |
-0.77 |
-0.14 |
0.06 -0.12 |
-1.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0.86 |
0.23 |
0.18 |
0.17 |
1.42 |
1 |
2 |
3 |
0.55 |
|||
|
0.12 |
-1.14 |
0.08 |
0.09 |
0.83 |
|
2 |
4 |
9 |
0.35 |
|
|
0.16 |
0.24 |
-1 |
-0.35 |
-1.21 |
|
3 |
9 |
5 |
0.55 |
|
17 |
0.23 |
-0.08 |
0.05 |
-0.75 |
-0.65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
76 |
21 |
6 |
-34 |
-142 |
|
1 |
2 |
4 |
0.55 |
||
|
12 |
-114 |
8 |
9 |
83 |
|
1 |
4 |
16 |
1.35 |
|
|
16 |
24 |
-100 |
-35 |
-121 |
|
1 |
8 |
64 |
3.55 |
|
18 |
23 |
-8 |
5 |
-75 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-83 |
27 |
-13 |
-11 |
142 |
|
0.64 |
0.53 |
-0.33 |
3 |
||
|
5 |
-68 |
13 |
24 |
26 |
|
0.53 |
-0.92 |
0.23 |
2 |
|
|
9 |
54 |
127 |
36 |
23 |
|
-0.33 |
0.23 |
0.78 |
1 |
|
19 |
13 |
27 |
34 |
156 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
9 |
1.11 |
5 |
3 |
1 |
11 |
|||
|
2 |
1 |
9 |
4 |
1.16 |
|
3 |
5 |
3 |
17 |
|
|
3 |
9 |
1 |
4 |
1.24 |
|
1 |
3 |
5 |
19 |
|
|
9 |
1 |
3 |
4 |
1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений |
9 |
|
|||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0.28 |
-0.17 |
0.06 |
-21 |
11 |
12 |
13 |
13 |
|||||
|
|
0.52 |
-1 |
0.12 |
0.17 |
117 |
|
|
12 |
13 |
15 |
4 |
|
|
|
0.17 |
-0.18 |
-0.79 |
0 |
0.81 |
|
|
13 |
15 |
19 |
17 |
|
21 |
|
0.11 |
0.22 |
0.03 |
-0.95 |
-0.72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
76 |
21 |
6 |
-34 |
142 |
|
1 |
2 |
4 |
0.55 |
|
||
|
|
12 |
-114 |
8 |
9 |
83 |
|
2 |
4 |
7 |
1.35 |
|
|
|
|
16 |
24 |
-100 |
35 |
121 |
|
3 |
6 |
14 |
3.55 |
|
|
22 |
|
23 |
-8 |
5 |
-75 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-83 |
27 |
-13 |
-11 |
142 |
1.64 |
0.53 |
-0.33 |
3 |
|
|||
|
|
5 |
-68 |
13 |
24 |
26 |
|
0.53 |
-0.92 |
0.23 |
2 |
|
|
|
|
9 |
54 |
127 |
36 |
23 |
|
-0.33 |
0.23 |
1.78 |
1 |
|
|
23 |
|
13 |
27 |
34 |
156 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
3 |
5 |
4 |
1.11 |
15 |
13 |
11 |
11 |
|
|||
|
|
5 |
4 |
3 |
25 |
1.16 |
|
13 |
15 |
13 |
17 |
|
|
|
|
3 |
25 |
4 |
5 |
1.24 |
|
11 |
13 |
15 |
19 |
|
|
24 |
|
4 |
5 |
25 |
3 |
1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.12 |
-1 |
0.32 |
-0.18 |
0.72 |
|
0.08 |
0.25 |
-1.77 |
0.32 |
|
||
|
|
0.08 |
-0.12 |
-0.77 |
0.32 |
0.58 |
|
0.25 |
0.22 |
0.14 |
-1 |
|
|
|
|
0.25 |
0.02 |
0.14 |
-1 |
-1.56 |
|
-1.77 |
0.14 |
0.06 |
-0.12 |
|
|
25 |
|
-0.77 |
-0.14 |
0.06 -0.12 |
-1.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-0.86 |
0.23 |
0.18 |
0.17 |
1.42 |
11 |
21 |
31 |
0.55 |
|
|||
|
|
0.12 |
-1.14 |
0.08 |
0.09 |
0.83 |
|
21 |
41 |
91 |
0.35 |
|
|
|
|
0.16 |
0.24 |
-1 |
-0.35 |
-1.21 |
|
|
31 |
91 |
51 |
0.55 |
|
0.23-0.08 0.05 -0.75 -0.65
Лабораторная работа 4
Решение нелинейных уравнений
Задание 1. Выполните отделение корней с использованием аналитических оценок и найдите один из корней методами дихотомии и хорд с относительной погрешностью до 0.1% . Сравните объем вычислений при использовании указанных методов.
Задание 2. Выполните отделение корней с использованием графической оценки и найдите один из корней методами Ньютона и простой итерации с относительной погрешностью до 0.1% . Сравните объем вычислений при использовании указанных методов.