- •от ХХ УУУУ 20007 г. МГУП
- •Учебник подготовлен в рамках Инновационной образовательной программы
- •ISBN 978-5-7262-0821-3
- •ISBN 978-5-7262-0822-0 (т.1)
- •Глава 1. ФИЗИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
- •Предисловие к тому 1
- •Глава 1. ФИЗИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
- •1.1. Кристаллическое состояние
- •1.1.3. Решетка и структура кристаллов
- •1.2. Основы кристаллографии
- •1.2.1. Кристаллографические проекции
- •1.2.2. Пространственная решетка
- •1.2.3. Кристаллографические символы
- •1.2.4. Обратная решетка
- •1.2.5. Матрица ортогонального преобразования
- •1.2.6. Преобразование индексов направлений
- •1.3. Симметрия кристаллов
- •1.3.1. Поворотные оси симметрии
- •1.3.2. Инверсионные оси
- •1.3.3. Зеркально-поворотные оси
- •1.3.4. Элементы теории групп
- •1.3.5. Точечные группы симметрии
- •Бравэ
- •Бравэ
- •Распределение ячеек Бравэ по сингониям показано в табл. 1.4.
- •1.3.6. Пространственные группы
- •1.3.7. Предельные группы симметрии
- •1.4. Структура кристаллов
- •1.4.1. Плотнейшие упаковки в структурах
- •1.4.3. Структурные типы соединений типа АВ
- •1.4.4. Структурные типы соединений типа АВ2
- •1.4.5. Структурные типы соединений типа АmВnCk
- •1.4.7. Структура фуллеренов, фуллеритов
- •1.4.8. Структура поверхности
- •1.5. Физические свойства кристаллов
- •1.5.1. Принцип симметрии в кристаллофизике
- •1.5.4. Упругие свойства кристаллов
- •1.6. Кристаллография пластической деформации
- •1.6.1. Геометрия пластической деформации
- •1.6.2. Кристаллографическая текстура
- •1.7. Кристаллография границ зерен
- •1.7.1. Малоугловые границы
- •1.7.2. Высокоугловые границы
- •1.8. Кристаллография мартенситных превращений
- •1.8.1. Морфология мартенситных превращений
- •1.8.2. Кристаллография мартенситных превращений
- •Контрольные вопросы, задачи и упражнения
- •Глава 2. ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
- •2.1. Точечные дефекты
- •2.1.1. Вакансии и межузельные атомы
- •2.1.2. Энергия образования точечных дефектов
- •Контрольные вопросы
- •Список использованной литературы
- •Глава 3. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
- •3.1. Строение атомов и межатомные взаимодействия
- •3.1.1. Классификация конденсированных систем
- •3.1.4. Энергия связи кристаллов
- •3.1.5. Типы связи в твердых телах
- •Металлическая связь. В отличие от ковалентной связи, которая образуется между двумя соседними атомами в результате коллективизации двух валентных электронов, металлическая связь появляется вследствие коллективизации всех валентных электронов. Эти электроны не локализуются у отдельных атомов, а принадлежат всему коллективу атомов. Поэтому они называются свободными электронами, перемещающимися по всему объему металла и в каждый момент времени равномерно распределенными в нем. Классическим подтверждением наличия таких свободных электронов в металлах является опыт Мандельштама и Папалекси, когда при резкой остановке вращающейся катушки, сделанной из металлической проволоки, в ней возникал электрический ток. Ярким подтверждением этому являются высокие электро- и теплопроводность металлов.
- •Ионная связь. Атомы, стоящие в периодической системе Д. И. Менделеева рядом с инертными газами, обладают склонностью принимать их конфигурацию либо путем отдачи, либо путем принятия электронов. У атомов щелочных металлов, стоящих непосредственно за инертными газами, валентный электрон слабо связан с ядром, так как движется вне заполненного слоя. Поэтому этот электрон может быть легко удален от атома. У галоидов, стоящих непосредственно перед инертными газами, недостает одного электрона для заполнения устойчивого слоя благородного газа. Поэтому галоиды обладают высоким сродством к дополнительному электрону.
- •Изоморфизм и морфотропия. Рассмотрим несколько ионных соединений щелочных металлов с галоидом бромом: LiBr, NaBr, KBr, RbBr и CsBr. Первые четыре соединения имеют решетку типа NaCl, а пятое соединение CsBr кристаллизуется в решетке типа CsCl.
- •3.2. Основы электронной теории кристаллов
- •3.2.1. Квантовая теория свободных электронов
- •3.2.2. Зонная теория металлов
- •3.3. Теория фаз в сплавах
- •3.3.1. Классификация фаз в сплавах
- •3.3.2. Твердые растворы
- •3.3.3. Промежуточные фазы
- •1B3.4. Диффузия и кинетика фазовых превращений
- •2Bв металлах и сплавах
- •4B3.4.1. Линейные феноменологические законы
- •5B3.4.2. Макроскопическое описание явления диффузии
- •6B3.4.3. Атомная теория диффузии в металлах
- •9B3.4.5. Диффузия и фазовые превращения в металлах
- •10Bи сплавах
- •3B3.5. Электрические свойства твердых тел
- •11B3.5.1. Основы электронной теории электропроводности
- •14B3.5.3. Эффект Холла
- •15B3.5.4. Связь электросопротивления со строением сплавов
- •20B3.5.7. Сверхпроводимость
- •3.6. Магнитные свойства твердых тел
- •3.6.1. Основные определения. Классификация веществ по магнитным свойствам
- •3.6.2. Магнитные свойства свободных атомов
- •3.6.3. Физическая природа диамагнетизма
- •3.6.4. Физическая природа парамагнетизма
- •3.6.5. Магнитная восприимчивость слабых магнетиков
- •3.6.6. Основы теории магнитного упорядочения
- •3.6.7. Доменная структура ферромагнетиков
- •3.6.8. Магнитные свойства ферромагнетиков
- •3.6.9. Антиферромагнетики и ферримагнетики
- •3.7. Тепловые свойства твердых тел
- •3.7.2. Теплоемкость кристаллических твердых тел
- •3.7.3. Теплопроводность твердых тел
- •3.7.4. Термическое расширение твердых тел
- •3.8. Упругие свойства твердых тел
- •3.8.1. Основные характеристики упругости
- •3.8.2. Упругость чистых металлов и сплавов
- •3.8.3. Ферромагнитная аномалия упругости
- •3.8.5. Внутреннее трение
- •Контрольные вопросы
- •Список использованной литературы
Если при повороте система координат xyz переходит в x'y'z' (рис. 1.25,б), то ось поворота l можно определить по пересечению меридианов B1 и B2. Каждый из них проходит через гномостереографическую проекцию плоскости Nyy' или Nzz' и соответствующую биссектрису b1 или b2. Угол поворота α измеряют в плоскости Pl между
точками ZP и ZP' , являющимися проекциями z и z' на плоскость Pl.
а
Рис. 1.25. Определение оси и угла поворота в пространстве (а) и на стереографической проекции (б, в)
1.2.2. Пространственная решетка
Любой узел пространственной решетки определяется линейной формой:
Rm = m1a1 + m2a2 + m3a3, |
(1.10) |
где a1, a2, a3 – векторы трансляций, а m1, m2, m3 – целые числа. Начало координат при этом может быть выбрано в любом узле пространственной решетки
Пространственная решетка может быть получена бесконечным параллельным повторением параллелепипеда, построенного на векторах кратчайших трансляций (базисных векторах) a1, a2, a3. Такой параллелепипед называют элементарной ячейкой. Можно показать, что при сделанном выборе трансляций элементарная ячейка не содержит узлов, находящихся на ее гранях или внутри объема. Такую ячейку называют примитивной или простой. Всякий узел примитивной ячейки принадлежит одновременно восьми
37
смежным ячейкам, поэтому примитивная ячейка содержит только один узел решетки.
Длины векторов a1, a2, a3 и углы между ними α1, α2, α3 называют параметрами решетки, иногда их обозначают как a, b, c и α, β и γ соответственно (рис. 1.26).
Для описания кристаллического веще-
ства используют кристаллографическую систему координат с векторами транс-
ляций a1, a2, a3 (a, b, c) В общем случае Рис. 1.26. Элементарная это шесть параметров: косоугольные ко-
ячейка
ординаты с неодинаковыми масштабны-
ми отрезками по осям:
a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90о.
Пространственные решетки по симметрии расположения узлов разделяются на семь видов, называемых сингониями (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Кристаллографические системы координат
|
Число |
|
Сингонии |
независимых |
Параметры |
|
параметров |
|
Триклинная |
6 |
a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90о |
Моноклинная |
4 |
a ≠ b ≠ c; α = γ = 90о; β ≠ 90о |
Ромбическая |
3 |
a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90о |
Тетрагональная |
2 |
a = b ≠ c; α = β = γ = 90о |
Ромбоэдрическая или |
2 |
a = b = c; α = β = γ ≠ 90о |
тригональная |
|
|
Гексагональная |
2 |
a = b ≠ c; α = β = 90о; γ = 120о |
Кубическая |
1 |
a = b = c; α = β = γ = 90о |
Важной характеристикой кристаллографической системы является метрическая матрица G = {gij}, элементы которой определяются скалярными произведениями базисных векторов:
gij = (ai aj). (1.11)
Так как скалярные произведения коммутативны, то метрическая матрица всегда симметрична: gij = gji.
38
Из определения метрической матрицы следует, что длина базисных векторов равна
ai = gii1/2, |
(1.12) |
углы αij между базисными векторами определяются соотношением
cos αij = gij / (gii1/2 gjj1/2), |
(1.13) |
а определитель метрической матрицы равен квадрату объема эле-
ментарной ячейки V, т.е. |
|
V = (detG)1/2. |
(1.14) |
Метрические матрицы для некоторых сингоний имеют вид: |
|
a2 |
0 |
0 |
|
|
a2 |
0 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gкуб= |
|
0 |
0 |
|
, |
Gтетра= |
0 |
a2 |
0 |
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
a |
|
|
|
0 |
0 |
c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
0 |
|
|
a2 |
0 0 |
|
|||||||
|
a |
2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
Gгекс= − |
|
|
|
|
|
0 |
, |
Gромбич= |
0 |
|
0 |
. |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
c2 |
|
|||
0 |
|
|
0 |
|
c |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях для описания пространственной решетки используют сложные элементарные ячейки, ребра которых не являются кратчайшими трансляциями, а в центрах граней или в центре объема имеются дополнительные узлы (правила выбора элементарных ячеек будут рассмотрены в дальнейшем). В этом случае положение узла в решетке задается вектором Rmn = Rm + Rn, где вектор Rn определяет положение дополнительных узлов
Rn = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.15) n1, n2, n3 – дробные числа, являющиеся координатами транляцион-
но неидентичных узлов внутри элементарной ячейки, т.е. базис решетки. В матричном виде базисы объемноцентрированной (I), гранецентрированной (F), и A-центрированной решеток (A) имеют вид:
I – |
0 |
0 |
0 |
, |
A – |
0 |
0 |
0 |
, |
|
1/ 2 1/ 2 1/ 2 |
|
|
0 |
1/ 2 1/ 2 |
|
39
|
|
0 |
0 |
0 |
|
F – |
1 |
/ 2 |
1/ 2 |
0 |
. |
|
|
0 |
1/ 2 |
1/ 2 |
|
|
1 |
/ 2 |
0 |
1/ 2 |
|
1.2.3. Кристаллографические символы
Символы узла. Положение любого узла в пространственной решетке определяется вектором Rmnp
Rmnp = ma + nb + p c. (1.16)
Три целых числа m, n, p однозначно определяют положение узла и называются индексами данного узла. Совокупность чисел m, n, p, записанная в двойных квадратных скобках [[m1 m2 m3]], называется символом узла. Узлы, лежащие на одной прямой, имеют пропорциональные индексы. Числа в символе пишутся подряд, без запятых, читаются порознь. Запятые ставятся лишь в тех (редчайших) случаях, когда индекс двузначен. Знак минус пишется над цифрой.
Например, [[1 2 0]] читается «один, минус два, ноль».
В сложных решетках для всех узлов, не лежащих в вершинах элементарных ячеек, числа m1, m2, m3 будут дробными. Например, узел, находящийся в центре объема ячейки и ближайший к началу координат, имеет символы [[½ ½ ½ ]], а узел в центре одной из гра-
ней – [[0 ½ ½ ]].
Символы узловой прямой. Решетку можно представить как семейство параллельных узловых прямых. Это семейство можно характеризовать прямой, проходящей через начало координат, которое принимается за первую точку, определяющую данную прямую. Второй определяющей точкой является ближайший узел с целочисленными координатами. Координаты этого узла, взятые в квадратные скобки, принимают за кристаллографический символ прямой [mnp]. Индексы важнейших направлений в кубическом кристалле приведены на рис. 1.27.
Оси координат имеют символы: ox – [100], oy – [010], oz – [001]. Одно из основных преимуществ кристаллографической символики
40
состоит в неизменности символов осей координат от сингонии кристалла.
|
|
а |
б |
Рис. 1.27. Индексы важнейших направлений в пространстве (а) и на стереографической проекции (б)
Индексы в угловых скобках <mnp> используют для обозначения направлений определенного типа, связанных элементами симметрии. Например, для кубической сингонии символ <100> обозначает
направления [100], [010] и [001], а также [100], [010], [001], т.е.
направления, индексы которых отличаются либо перестановкой, либо знаком.
В сложных ячейках можно выделить примитивные ячейки, построенные на кратчайших векторах трансляций. Так, в случае гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки примитивная ячейка будет построена на векторах ½ a[110], ½ a[011], ½ a[101] (рис. 1.28).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.28. Примитивная ячейка |
|
Рис. 1.29. Примитивная ячейка |
в ГЦК решетке |
|
для ОЦК решетки |
41
Примитивная ячейка для объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетки построена на векторах ½a[11 1 ], ½a[ 1 11], ½a[1 1 1] (рис. 1.29).
Базисные векторы примитивной решетки можно представить в матричном виде как
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
Aгцк = |
|
0 |
|
a |
|
|
, |
Aоцк = |
|
− |
a |
|
a |
||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
− |
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a
2
a2 . (1.17)
a
2
Символы плоскости. Пространственная решетка может быть представлена семейством параллельных узловых плоскостей. Пусть одна из таких плоскостей семейства отсекает на осях координат отрезки A, B, C. Уравнение такой плоскости в отрезках мож-
но записать в виде |
|
(x/A) + (y/B) + (z/C) = 1. |
(1.18) |
Переменные x, y, z в этом уравнении являются координатами узлов пространственной решетки, лежащих в данной плоскости, поэтому они равны целому числу m, n, p трансляций по каждой из осей:
x = m a; y = n b; z = p c. |
|
(1.19) |
Подставляя значения координат в уравнение |
(1.18), получаем |
|
m (a/A) + n (b/B) + p (c/C) |
= 1. |
(1.20) |
Так как правая часть уравнения (1.20) равна единице, то отношения a/A, b/B, c/C представляют собой рациональные числа. В этом случае отношение между ними всегда будет равно отношению трех
простых (не имеющих общего множителя) целых чисел h, k, l: |
|
1/(A/a) : 1/(B/b) : 1/(C/c) = h : k : l. |
(1.21) |
Кристаллографическими индексами плоскости (индексами Мил-
лера) называют три целых простых числа h, k, l, которые являются обратным отношением длин отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат, выраженных в соответствующих длинах трансляций. Индексы, заключенные в круглые скобки, называют кристал-
лографическим символом плоскости (hkl). Учитывая пропорцио-
нальность индексов
42
h = q (a/A), k = q (b/B), l = q (c/C)
и подставляя их в исходное уравнение плоскости, получаем
hm + kn + lp = q, |
(1.22) |
где q – целое число. Для плоскости, проходящей через начало ко-
ординат, q = 0; для плоскости, ближайшей к |
началу координат, |
q = 1, причем эта плоскость отсекает на осях координат отрезки |
|
A = a/h, B = b/k, C = c/l. |
(1.23) |
На рис. 1.30 показано расположение различных кристаллографических плоскостей в кубической элементарной ячейке.
Рис. 1.30. Расположение различных плоскостей в кубической элементарной ячейке
Символ в фигурных скобках {hkl} используют для обозначения плоскостей определенного типа, связанных элементами симметрии, и называется кристаллической формой. Например, для кубической сингонии символ {100} отвечает плоскостям (100), (010), (001),
(100), (010), (001), связанных между собой преобразованиями симметрии. Число плоскостей p в кристаллической форме называют множителем повторяемости. Так, в кубической сингонии для
{100} p = 6, для {110} p = 12, {111} p = 8, {123} p = 48. Следует отметить, что плоскости, принадлежащие одной кристаллической форме, характеризуются одинаковым межплоскостным расстоянием, т.е. одинаковым расстоянием между двумя соседними параллельными плоскостями.
Четвертый индекс в гексагональной системе. Элементарная ячейка в гексагональной решетке определяется двумя равными векторами a1 и a2, расположенными под углом 120о друг к другу, и осью c, находящейся под прямым углом к плоскости, в которой лежат векторы a1 и a2, называемой базисной плоскостью. Узлы ре-
43
шетки, расположенные в базисной плоскости, имеют гексагональную симметрию и характеризуются тремя равноправными осями
a1, a2 и a3 (рис. 1.31).
Поэтому в гексагональной системе принято определять положение плоскости с помощью четырех индексов (hkil), где четвертый индекс i берется по оси a3. Так как для определения положения плоскости в пространстве достаточно трех индексов, то четвертый индекс не является независимым, а выражается через остальные.
Проведем в гексагональной системе координат плоскость, следом которой в базисной плоскости будет отрезок AB; эта плоскость отсекает на оси
a1 отрезок OA = A1, на оси a2 – отрезок OB = A2 и на оси a3 – отрицательный отрезок OD = – A3 (см. рис. 1.31). Проведем из точки D прямую, параллельную оси a2. Из подобия получившихся тре-
угольников следует, что |
|
A1/A2 = (A1 – A3)/A3, |
(1.24) |
откуда |
|
(A1/A2) – (A1/A3) = –1 или (1/A1) + (1/A2) = 1/A3. |
(1.25) |
Так как индексы являются величинами, обратными отрезкам, отсекаемым плоскостью на осях координат, и по оси a3 отсекается отрицательный отрезок, то
Рис. 1.32. Обозначения плоскостей в гексагональной элементарной ячейке
h + k = – i, |
(1.26) |
т.е. четвертый индекс равен сумме первых двух, взятой с противоположным знаком.
На рис. 1.32 плоскости гексагональной призмы обозначены с помощью трех и четырех индексов. Символы этих плоскостей в четырехиндексном обозначении отличаются только перестановкой первых
трех индексов формы {1010}. Таким образом, при обозначении с помощью четы-
44
рех индексов легко обнаруживаются равнозначные плоскости. Однако расчеты в гексагональной системе для упрощения проводят с помощью трех индексов. Четвертый индекс часто опускается и заменяется точкой, т.е. записывается (hk.l).
Символом {hkil} обозначают симметрично-равнозначные (эквивалентные) плоскости, которые переводятся друг в друга какимлибо элементом симметрии.
Система обозначений с четырьмя индексами может быть использована и для направлений в гексагональной решетке. Если в системе с тремя индексами направление R записывается в виде
R(3) = Ua1 + Va2 + Wc, |
(1.27) |
то в системе с четырьмя индексами оно запишется |
|
R(4) = ua1 + υa2 + ta3 + wc, |
(1.28) |
где индекс t вводится условием |
|
u + υ + t = 0. |
(1.29) |
Так как в гексагональной системе a3 = – (a1 + a2), то, учитывая условие (1.29), выражение (1.28) можно переписать в виде
R(4) = ua1 + υa2 + (u + υ)(a1 + a2) + wc = |
|
|
= (2u + υ)a1 + (u + 2υ)a2 + wc. |
(1.30) |
|
Сравнивая выражения (1.27) |
и (1.30), получаем |
|
U = 2u + υ, |
V = u + 2υ, W = w. |
(1.31) |
Решение системы уравнений (1.31) относительно u, υ, w имеет вид u = (2U – V)/3, υ = (2V – U)/3, откуда, приводя индексы направлений к общему знаменателю, получим:
u = 2U – V, υ = 2V – U,
w = 3W, t = – (u + υ). |
(1.32) |
Примеры перехода от |
системы |
обозначений с тремя индексами к обозначениям, в которых используются четыре индекса, даны на рис. 1.33.
Обозначения в четырех индексах позволяют найти симметричноравнозначные (эквивалентные) направления <u υ t w>.
45