Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010
.pdfА должна быть горизонтальной, так как βA = 0 , чем и определяется выпуклость вверх кривой на эпюре M z на участке АВ.
Для балки (см. рис. 4.16) на участке ВС для M z имеем квадра-
тичную |
|
зависимость. В сечении |
с |
абсциссой x20 =1,5a |
||||||
Qy |
2 |
= |
dM z |
= tgβx |
= 0 , следовательно, |
βx |
|
= 0 , т.е. в этом сече- |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
20 |
20 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нии имеем только одну горизонтальную касательную к кривой функции M z , что и определяет выпуклость кривой на этом участ-
ке. Аналогичные рассуждения можно привести и для участка CD на рис. 4.11, в.
Рассмотрим применение данного приема определения кривизны для участка ВС эпюры M z на рис. 4.11, в. Эпюру Qy можно раз-
бить на две фигуры: прямоугольник b1b2c1c |
и треугольник bb1c . |
|
Если бы эпюра |
Qy имела только вид |
прямоугольника, т.е. |
Qy = 3qa = const , |
то эпюра M z была бы ограничена прямой на- |
клонной линией. Кривизну функции M z определяет наличие треугольника bb1c ( Q*y имеет в нем линейную зависимость). Согласно треугольнику bb1c Q*y = 0 в сечении С, т.е. угол наклона касатель-
ной к кривой функции M z в сечении С β*C = 0 , т.е. касательная, параллельная оси х, чем и определяется выпуклость вверх кривой функции M z на этом участке. Конечно, учитывая, что tgβC = Qy = 3qa , касательная будет иметь определенный наклон,
но характер выпуклости вверх сохраняется. Прием, изложенный в этом положении, может быть применен и для определения знака кривизны линий, ограничивающих эпюру Qy , если распределенная
нагрузка q(x) меняется по закону степенной или тригонометриче-
ской функции.
4.3.7Б. Для определения знака кривизны линий, ограничивающих эпюру M z , можно пользоваться и следующими соображениями. Любую непрерывную распределенную нагрузку ( q = const или q = q(x) ) можно представить дискретно, как состоящую из систе-
161
мы сосредоточенных сил, каждая из которой равна Pi = q dx . Тогда, пользуясь положением 4.3.1, согласно которому изломы на эпюре M z всегда направлены в сторону, противоположную направлению действующей силы, на эпюре M z будем получать ломаную линию, острия изломов которой направлены против направления Pi = q dx . В пределе эта ломаная линия дает кривую n порядка. Итак, получаем, что выпуклость линий, ограничивающих эпюру M z , всегда направлена в сторону, противоположную на-
правлению распределенной нагрузки.
4.3.8. Изгибающий момент имеет экстремальное значение в тех сечениях, в которых Qy достигает нулевого значения. При этом
(ось x направлена слева направо!) если Qy меняется с положительной на отрицательную, то M z в этом сечении максимальный (см. рис. 4.11, в, сечение с абсциссой x30 = 3,75a ; рис.4.16, г, сечение с абсциссой x20 =1,5a ), и наоборот, если Qy меняется с отрица-
тельной на положительную, то M z в этом сечении минимальный
(см. рис. 4.15, в, сечение С).
4.3.9. Изгибающий момент в сечении установки промежуточного шарнира всегда равен нулю. Так, в сечении С балки (см. рис. 4.16, г) M z = 0 , в крайних концевых сечениях А и К балки
(см. рис. 4.11), где установлены шарнирные опоры – M z = 0 . Если
в таких сечениях приложен сосредоточенный момент, то изгибающий момент равен этому сосредоточенному моменту.
В сечении жесткой заделки изгибающий момент равен по величине опорному моменту.
4.3.10. На крайних концевых шарнирных опорах и в заделке поперечная сила равна опорной реакции.
4.3.11. На свободном (консольном) конце балки Qy = 0 и M z = 0 , если на консольном конце не приложены сосредоточенная сила или сосредоточенный момент, в противном случае Qy и M z
будут равны соответственно силе и моменту (см. рис. 4.17, б и рис. 4.17, в, сечение К).
4.3.12. В соответствии с принятым правилом знаков для изгибающего момента получается, что положительные ординаты эпю-
162
ры M z откладываются все время на сжатых волокнах балки. Действительно, для сечений x1 , x2 , x3 , x4 , x5 балки (см. рис. 4.11)
изгибающие моменты положительные, т.е. балка гнется вогнутостью вверх, в положительное направление оси у («вода не сливается»!); при этом сжатыми оказываются верхние волокна балки, и положительные ординаты M z откладываются в положительное
направление оси у, т.е. все положительные ординаты находятся над базовой линией – на сжатых волокнах.
На участке АВ, ВС и частично на участке CD балки (см.
рис. 4.15) изгибающий момент отрицательный, кривизна ρ1 < 0 , т.е.
балка гнется выпуклостью вверх («вода сливается»!), сжатыми оказываются нижние волокна, и все отрицательные ординаты M z откладываются вниз от базовой линии – на сжатых волокнах.
Итак, рассматривая базовую линию эпюры M z как балку, за-
ключаем, что согласно принятому правилу знаков для изгибающего момента, эпюра изгибающего момента всегда располагается на сжатых волокнах. Это положение в дальнейшем будет использоваться при изображении изогнутой оси балки, а также для определения знака действующих в балке нормальных напряжений.
4.1.4.Примеры построения эпюр Qy и M z
Пр и м е р 5 (рис. 4.17)
Пользуясь вышеприведенными правилами построения и проверки эпюр Qy и M z , для представленной балки покажем, как
строить эпюры не составляя выражения для внутренних силовых факторов в текущих сечениях с абсциссами xi .
I операция. Составление расчетной схемы (см. рис. 4.17, а). II операция. Определение опорных реакций. Составим урав-
нения равновесия:
∑X = 0 − H A = 0 ;
∑mD = 0 RA 3l − 2P l − 3ql 0,5l + M − P 2l = 0
RA = 2,5ql ;
163
Рис. 4.17
164
∑mA = 0 2P l + 3ql 2,5l − RD 3l + M − P 5l = 0
RD = 3,5ql ;
Проверка:
∑mE = 0 RA 4l − 2P 2l − 3ql 1,5l + RD l + M − P l = 0 , 0 ≡ 0 .
Выносим значения опорных реакций на расчетную схему.
III операция. Построение эпюры Qy . Построение эпюры проведем, определяя только значения Qy в характерных сечениях, т.е.
на границах участков.
На первом этапе будем просматривать балку слева (начиная от сечения А) направо.
1. На опоре А Qy ( A) = RA = 2,5ql (см. положение 4.3.10), со
знаком плюс, так как стремится повернуть лежащую справа часть балки по часовой стрелке.
2.На участке АВ ( q = 0 ) Qy = const = RA = 2,5ql .
3.Начиная с сечения В Qy уменьшается на q x′ , так как q x′
дает отрицательную перерезывающую силу – стремится повернуть против часовой стрелки часть балки, лежащую справа от q x′ , и в
сечении С (слева от сечения!) Qyлев(C) = RA − ql =1,5ql .
4. В сечении С имеет место скачок на величину сосредоточенной силы 2P = 6ql (см. положение 4.3.1) вниз, так как 2P дает от-
рицательную поперечную силу (стремится повернуть справа лежащую часть балки против часовой стрелки). Тогда справа от сечения
Qправy (C) =1,5ql − 6ql = −4,5ql .
5. На участке CD идет дальнейшее уменьшение поперечной силы на величину qx′′ и в сечении D (слева от сечения!)
Qyлев(D) = −4,5ql − ql = −5,5ql . Дальнейшее построение эпюры Qy
проведем, просматривая балку справа (начиная от сечения К) налево. 6. В сечении К Qy (K) = −P = −3ql (см. положение 4.3.11), т.е.
имеет отрицательное значение, так как сила Р стремится повернуть, слева прилежащую часть балки, против часовой стрелки.
165
7.На участке КЕ нет никакой нагрузки и значение перерезывающей силы сохраняется тоже, т.е. Qy = −P = −3ql .
8.Начиная с сечения Е, значение Qy возрастает, так как qx′′′
вызывает положительную поперечную силу – стремится повернуть слева прилежащую часть балки по часовой стрелке, и в сечении D (справа от сечения!) Qправy (D) = −P + ql = −2ql .
Обращаем внимание, что в сечении D получен скачок на величину 5,5ql − 2ql = 3,5ql = RD , что соответствует положению 4.3.1.
IV операция. Построение эпюры M z . Вначале, как и в случае построения эпюры Qy , будем просматривать балку слева направо.
1. НаконцевойшарнирнойопореА M z = 0 (см. положение4.3.9).
2. В сечении В M z (B) = RAl = 2,5ql 2 . Значение M z положительное, так как момент RAl стремится изогнуть часть балки АВ по отношению к сечению В вогнутостью вверх («вода не сливается»!).
На участке |
АВ отсутствует |
q = 0 , |
Qy = const , и |
следовательно, |
|||||||
эпюра |
|
M z |
ограничена |
прямой |
наклонной |
линией |
при |
||||
Qy = |
dM z |
= tgβ > 0 , т.е. βAB > 0 . |
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. В сечении С изгибающий момент M z (C) = RA 2l − ql |
= |
||||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4,5ql 2 . На участке ВС эпюра M z ограничена кривой второго порядка. Кривая имеет выпуклость вверх, что определяется треугольником bb1c на рис.4.17, б (см. положение 4.3.7А).
4. В сечении D M z (D) = RA 3l − q 2l l − 2P l = −0,5ql 2 . На участке CD эпюра M z ограничена кривой второго порядка с вы-
пуклостью вверх, что определяется треугольником dc1d1 на рис. 4.17, б (см. положение 4.3.7А).
Дальнейшее построение эпюры M z проведем, просматривая балку справа (начиная от сечения К) налево.
166
5. В сечении К M z (K) = −M = −6ql 2 (см. положение 4.3.11).
Изгибающий момент имеет отрицательное значение, так как сосредоточенный момент М стремится изогнуть слева примыкающую к сечению К часть балки выпуклостью вверх («вода сливается»!).
6. В сечении Е M z (E) = −M + P l = −3ql 2 . Эпюра M z на участке КЕ ограничена прямой наклонной линией, так как Qy = 0 на
этом участке.
7. В сечении D M z (D) = −M + P 2l − q l 2l = −0,5ql 2 . На участке ED эпюра M z ограничена кривой второго порядка, так как
Qy на этом участке имеет линейную зависимость. Направление кривизны определяется треугольником ed2e1 (рис. 4.17, б).
Обращаем внимание, что на эпюре M z в сечении В отсутствует
излом линии, ограничивающей эпюру, |
так как действительно в |
|||||
этом сечении имеется только одно значение Qy = |
dM z |
= tgβ, т.е. |
||||
dx |
||||||
|
|
|
|
|
||
только один угол β =βAB . |
В сечении С имеем две касательные к |
|||||
кривой, ограничивающей |
эпюру |
M z : |
βCлев > 0 |
(соответствует |
||
Qyлев(C) = tgβ =1,5ql ) и βCправ < 0 |
(соответствует Qyправ(C) = tgβ = |
= −4,5ql ). В сечении D также две касательные, проходящие под
углом |
βлевD < 0 (соответствует Qyлев(D) = tgβлевD = −5,5ql < 0 ) и |
βправD |
< 0 (соответствует Qyправ(D) = tgβправD = −2ql < 0 ). |
На рис. 4.17, в изломы линий, ограничивающих эпюру M z , на-
правлены острием в сторону, противоположную направлению действующей в данном сечении сосредоточенной силы, например в сечении А, С, D, K.
П р и м е р 6 (рис. 4.18)
Рассмотрим построение эпюр Qy и M z для балки, загруженной распределенной нагрузкой, меняющейся по линейному закону.
167
Рис. 4.18
Линию, показывающую закон изменения нагрузки q(x) , назы-
вают грузовой линией, а площадь между грузовой линией и осью балки называют грузовой площадью, величина которой и дает значение равнодействующей данной распределенной нагрузки.
I операция. Составление расчетной схемы (см. рис. 4.18, а). II операция. Определение опорных реакций. Заменяем всю
распределенную нагрузку ее равнодействующей, равной |
1 |
q0 l |
|
2 |
|||
|
|
(грузовая площадь равна площади треугольника), которая будет приложена в центре тяжести треугольника, т.е. на расстоянии 23 l
от левого сечения А.
168
Составим уравнения равновесия:
∑X = 0 |
− H A = 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
q0l |
|
|
||||||
∑mB = 0 |
RA l − |
1 |
|
q0 |
l |
1 |
l = 0 ; |
RA = |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
||||||
∑mA = 0 |
− RB |
l + |
|
1 |
q0 l |
2 |
l = 0 ; |
RB = |
q0l |
. |
||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑Y = 0 |
RA − |
q0 l + RB = 0 0 ≡ 0 . |
||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выносим значение реакций на расчетную схему.
III операция. Построение эпюры Qy . В сечении х действует
q(x) = |
q0 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Qy |
= RA − |
1 |
q(x) x = |
q0l |
− |
q0 x |
, |
||||||||
2 |
6 |
|
|
2l |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
при x = 0 |
Qy |
( A) = |
q0l |
= RA , |
||||||||||
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
при x = l |
Qy |
(B) = − |
q0l |
|
= −RB . |
|||||||||
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На всей длине l эпюра Qy ограничена параболой. Направление кривизны найдется по положению 4.3.7А в сечении А q = dQdxy =
= tgα = 0 α = 0 , т.е. касательная к эпюре Qy в сечении А долж-
на быть горизонтальна, что и определяет кривизну кривой – выпуклость вверх (см. рис. 4.18, б).
Приравняв уравнение для Qy нулю, получим значение
x0 |
= |
l |
= 0,577l , т.е. найдем абсциссу сечения, в котором Qy пе- |
|
|||
|
3 |
|
реходит через нулевое значение.
Эпюра Qy представлена на рис. 4.18, б.
169
IV операция. Построение эпюры M z . Нагрузку в виде тре-
угольника 12 q(x) x заменяем равнодействующей приложенной в
центре тяжести этого треугольника, т.е. на расстоянии 13 x от рас-
сматриваемого сечения х. Запишем выражение для M z :
M z = RA |
x − |
q(x) x |
|
1 |
x = |
q0 l |
x − |
q0 x3 |
, |
|
|||||
|
|
2 |
|
3 |
6 |
6l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M z ( A) = 0 , |
ql 2 |
|||||
|
x = x0 |
|
|
l |
|
|
|
M z (max) = |
|||||||
при |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
3 |
|
|
|
|
9 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при x = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
M z (B) = 0 . |
|
|
|
|||
Эпюра |
M z |
|
ограничена |
кривой третьего порядка (см. |
|||||||||||
рис. 4.18, в). |
Кривизна линии, |
ограничивающей эпюру M z , опре- |
делена, исходя из положения 4.3.7А и 4.3.7Б.
Иногда приходится рассматривать сечения справа (от опоры В) налево, как отмечено на рис. 4.18, а абсциссой x1 (в случае когда балка продолжается влево от сечения А и имеет большое количество нагрузки, что приводит к громоздким выражениям для Qy и
Mz при просмотре балки слева направо).
Вэтом случае пользуются одним из следующих трех приемов. 1-й прием. Нагрузку на длине x1 разбивают на прямоугольную
грузовую площадь |
|
Bcde |
|
и треугольную грузовую площадь edk . |
|||||||||||||||||||
При этом q(x ) = |
q0 |
|
(l − x ) . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
y |
= −R |
B |
+ q(x ) x |
+ |
(q |
0 |
− q(x |
)) x |
= |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− q |
0 |
l |
|
|
|
|
|
q |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ q |
0 |
x − |
|
1 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M z = RB x1 − q(x1 ) x1 x21 − 12 (q0 − q(x1 )) x1 23 x1 =
170