termeh
.pdfПеред выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Составное (сложное) движение точки».
Обратите внимание на основные положения теории:
1.B каком случае движение точки называется составным движением
(относительно данной системы отсчета)? Чем кинематически отличаются выбранные системы координат.
2.Приведите самостоятельно примеры, в которых движение точки можно рассматривать как составное.
3.Дайте определения движений точки: абсолютного, относительного,
переносного.
4.Дайте определения скоростей (ускорений) точки: абсолютной скорости V
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(абсолютного |
ускорения |
a ), |
относительной |
скорости |
Vr =Vотн |
|||||
|
|
|
|
|||||||
(относительного ускорения ar = aотн ), переносной скорости |
Ve =Vпер |
|||||||||
(переносного |
ускорения |
ae = aпер ). Обратите |
особое |
внимание на |
||||||
определение переносной скорости и переносного ускорения |
точки. |
|
|
|
|
|
5.Сформулируйте теорему сложения скоростей. Запишите соответствующее уравнение в векторной форме.
6.Сформулируйте теорему сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса) и в частном случае. Запишите уравнения в векторной форме в обоих случаях.
7.Определение величины и направления ускорения Кориолиса aкор .
Перечислите случаи, в которых ускорение Кориолиса равно нулю. Поясните.
51
52
Составное (сложное) движение точки (краткие сведения из теории).
Движение точки называется составным, если точка участвует в двух или более движениях относительно выбранной системы отсчета. Чаще всего составным является движение точки относительно неподвижной (условно) системы отсчета. Это движение точки называется абсолютным движением, и скорость (ускорение) точки в неподвижной системе отсчета называется абсолютной скоростью V (ускорением a ) точки.
Дополнительно выбирается подвижная система отсчета (в каждой задаче есть конкретное движущееся тело, с которым ее связывают). Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы называется переносным движением точки. Абсолютная скорость (ускорение) той точки подвижного тела (с ним связана подвижная система отсчета), с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (мысленно остановили точку на
теле), называется переносной скоростью V e (ускорением ae ) точки.
Скорость (ускорение) точки в движении относительно подвижной системы отсчета называется относительной скоростью V r (ускорением ar ) точки (мысленно останавливаем движение тела).
Пример.
Капля воды стекает по лопатке рабочего колеса вращающейся турбины. Неподвижную систему отсчета свяжем со стенами машинного зала. Подвижную - с лопаткой турбины. Движение турбины (вращательное) - переносное движение капли. Движение капли по лопатке - относительное движение капли. Движение капли относительно стен - абсолютное, оно и является составным.
При вычислениях, связанных с относительным движением точки, применяется теория кинематики точки (см. задачу К1). Вычисления, связанные с переносным движением, зависят от вида движения тела, с которым перемещается подвижная система отсчета. Если движение тела поступательное или вращательное, то применяется рассмотренная выше теория (см. задачу К2). Если тело совершает составное движение, то используется теория, относящаяся к соответствующему движению тела. После выполнения упомянутых вычислений, применяется теория сложения скоростей и ускорений точки при ее сложном движении.
Теорема сложения скоростей при составном движении точки.
Формулировка теоремы |
|
Графическое нахождение V |
Аналитическое нахождение V |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и векторное уравнение |
|
Из векторного уравнения |
|
из векторного уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
V e , |
V r |
и в |
соответствии с |
Находим V e , V r ; выбираем оси координат и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением |
(1) |
строим |
|
векторный |
уравнение (1) проектируем на эти оси: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллелограмм (или треугольник). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
Vex |
Vrx , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vy |
Vey |
Vry , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vez |
Vrz . |
||||||||||||||||||
Абсолютная скорость V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vz |
||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
равна векторной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сумме |
переносной |
ско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее находим модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рости V e |
точки и отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сительной |
скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
V r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
V |
Vx2 Vy2 Vz2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r . |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и направление вектора V |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
V |
V |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(V , i) |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vy |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(V , j) |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если построение выполнено в масштабе, то из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чертежа |
находим модуль |
V. |
Можно также |
|
|
|
cos(V , k) |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислить V, используя известные стороны и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углы построенных треугольников и формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрии (например, теорему косинусов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
54
Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса).
Формулировка |
Графическое |
|
|
|
|
Аналитическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
теоремы и вектор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение Кориолиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
нахождение a из |
нахождение a из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ное уравнение |
векторного урав- |
векторного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
|
ae , |
|
ar , |
aK . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 V sin , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Находим |
|
a e , a r , |
|
|
a |
K |
2 V |
; |
модуль |
|
|
a |
K |
|
где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ускорение a |
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
aK . Выбираем мас- |
Выбираем |
|
|
|
|
|
оси |
|
|
|
ко- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
случае, |
|
|
когда |
штаб и в соответ- |
ординат |
|
и проекти- |
( e , V r ) , |
e |
– модуль переносной |
угловой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переносное |
|
движе- |
ствии с уравнением |
руем уравнение (1) на |
скорости, |
Vr |
– |
модуль |
относительной |
скорости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние |
|
точки |
не по- |
(1) |
строим |
|
век- |
эти оси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки. |
Определить направление |
aK |
|
можно двумя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ступательное, равно |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торный многоуголь- |
|
x |
ex |
rx |
|
|
Kx |
способами. 1) |
Правило векторного произведения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторной |
|
сумме |
ник. Вектор, прове- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a y |
aey |
ary |
|
|
a Ky , |
вектор |
aK |
|
направлен перпендикулярно плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переносного |
|
|
уско- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
денный |
из |
начала |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aez |
arz |
|
a Kz . |
перемножаемых векторов |
|
e |
и |
V r , в ту сторону, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рения ae |
|
точки, |
первого |
в |
|
конец |
|
az |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительного |
последнего вектора, |
|
|
|
|
Далее находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
кратчайший |
|
по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ворот |
от |
вектора e к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ускорения ar точки |
дает |
абсолютное |
|
|
|
|
|
модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и ускорения Корио- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору |
V r |
выглядит |
||||||||||||||||||||||||
ускорение a точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лиса aK : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
происходящим |
против |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и направление вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a ae ar aK . (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хода часовой стрелки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
В |
случае, |
|
|
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Правило Жуковского: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющую |
вектора |
|||||||||||||||||||||||||||
переносное |
|
движе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(a , i) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V r , |
которая перпенди- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние точки – посту- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
пательное, |
aK 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кулярна |
|
вектору |
e , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(a , j) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
надо повернуть на 90 в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сторону |
|
|
переносного |
||||||||||||||
|
a ae ar . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(a , k) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращения |
|
|
– |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор aK . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим два типовых примера (в примере К3а ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в примере К3б – лежит в ее плоскости).
Пример K3a. Пластина OEAB1D (ОЕ = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону = f1(t) (положительное направление отсчета угла показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по
закону s AB f2 (t) (положительное направление отсчета координаты s на траектории – от A к В).
Дано: R = 0,5 м, = t2- 0,5t3,
s = Rcos( t/3) ( – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).
Определить: абсолютную скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс в момент времени t1 = 2 с.
Рис. К3а.
Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением (подвижные оси B1xy связаны с пластиной). Тогда
абсолютная скорость |
|
|
|
|
и абсолютное ускорение aабс |
точки найдутся по |
||||||||||||||
Vабс |
||||||||||||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n |
a |
a n |
a |
a |
|
|
|
||
V |
V |
|
V , |
a |
абс |
кор |
, |
(1) |
||||||||||||
|
абс |
|
отн |
|
|
пер |
|
отн |
отн |
пер |
пер |
|
|
|
||||||
где учтено, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a a |
a n , |
a |
a |
a n . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
отн |
отн |
отн |
пер |
пер |
пер |
|
|
|
|
Определим все, входящие в равенства (1) величины.
1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по траектории:
|
|
s AB R cos( t / 3). |
(2) |
Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t1 = 2 с, получим
s1 R cos( 2 / 3 ) 0,5 R.
Тогда ACB sR1 0,5 .
55
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении
(точка B1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь находим числовые значения V |
, a |
|
и an |
: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отн |
отн |
|
отн |
|
|
|
|
|
|
2 R |
sin( |
t / 3), |
|
|
|
3 R |
cos( t / 3), |
|||||
Vотн s |
|
3 |
aотн Vотн |
9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a n |
|
V 2 |
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
отн |
|
|
отн , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
отн |
|
отн |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где отн - радиус кривизны |
относительной |
траектории, равный радиусу |
окружности R. Для момента времени t1 = 2с, учитывая, что R = 0,5 м, получим
V |
|
2 R |
sin(2 /3) |
2 |
|
3 |
1,42 м/с, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
отн |
|
|
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
3 R |
cos(2 /3) |
3 |
0,86 м/с2 , a n |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
4,06 м/с2 . |
|||||||||
отн |
|
|
9 |
|
|
|
36 |
|
|
отн |
|
24 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знаки показывают, что вектор aотн направлен в сторону положительного |
||||||||||||||
|
|
|
|
в противоположную сторону; вектор a n |
||||||||||
отсчета координаты s, а вектор V |
отн |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отн |
направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.
2. Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это
движение (вращение) происходит |
по |
закону t2 |
0,5t3 (см. задачу |
К2). |
|
Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения: |
|
||||
2t 1,5t2 , |
2 3t |
|
|||
и при t1 =2 с |
|
|
|
|
|
2 с-1 , |
4 c-2 . |
|
(4) |
||
Знаки указывают, что в |
момент |
t1 =2 |
с направления |
и |
противоположны направлению положительного отсчета угла ; отметим это на рис. К3а соответствующими стрелками.
Для определения Vпер и aпер найдем сначала расстояние h1 = ОВ1 точки В1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 2R |
|
2 1,41м. Тогда в момент |
|||||||||||||||
времени t1 = 2 с, учитывая равенства (4) , получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
Vпер |
|
h1 2,82 м/с, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
h 5,64 м/с2 , an |
2h |
5,64 м/с2 . |
(5) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
пер |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
пер |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
с учетом направления и |
|||||||||||
Изображаем на рис. КЗа векторы V |
пер |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|
ивектор aперn (направлен к оси вращения).
3.Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле aкор 2 Vотн sin , где – угол между вектором Vотн и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось
56
вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор
Vотн . В момент времени t1 = 2 с, учитывая, что в этот момент Vотн 1,42 м/с и2 с-1 , получим
a 5,68 м/с2 . |
(6) |
кор |
|
Направление aкор найдем по правилу Н.Е.Жуковского: |
так как вектор |
Vотн лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90 в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем aкор на рис.
К3а. (Иначе направление aкор можно найти, учитывая, что aкор 2( Vотн ).) Изображаем вектор aкор на рис. К3а.
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения Vабс и аабс остается только сложить эти
векторы. Произведем это сложение аналитически.
4. Определение Vабс . Проведем координатные оси В1ху (см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства Vабс Vотн Vпер на эти оси.
Получим для момента времени t1 = 2 с:
Vабс х Vотнх Vпер х 0 Vперсos45 1,99 м/с; Vабс y Vотн y Vпер y Vотн Vпер cos45 3,41 м/с.
После этого находим
Vабс Vабс2 х Vабс2 у 3,95 м/с.
Учитывая, что в данном случае угол между Vотн и Vпер равен 45°, значение Vабс можно еще определить по формуле
Vабс Vотн2 Vпер2 2Vотн Vпер cos45 3,95 м/с.
5. Определение aабс . По теореме о сложении ускорений
|
|
|
|
a |
|
a |
a n |
|
a |
|
a n |
a . |
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
абс |
|
отн |
|
отн |
|
пер |
|
|
пер |
кор |
|
|
|
|
||||||
|
Для определения aабс спроектируем |
обе |
части |
равенства (7) на |
||||||||||||||||||||
проведенные оси В1xy. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
абс x |
an |
a |
кор |
аn |
сos45 |
a |
|
сos45 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
отн |
|
|
пер |
|
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
аn |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
а |
абс y |
сos45 |
a |
|
сos45 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|
пер |
|
|
|
отн |
|
|
|||||
|
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент |
|||||||||||||||||||||||
времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент aабсx 9,74 м/с2 ; |
aабс у 7,15 м/с2 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
a |
абс |
|
a2 |
a2 |
|
|
12,08 м/с2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
абсx |
|
абс y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: Vабс = 3,95 м/с, aабс |
|
= 12,08 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
Пример К3б. Треугольная пластина ADE |
||
|
вращается вокруг оси z, совпадающей со |
||
|
стороной АЕ, по закону |
|
= f1(t) |
|
(положительное направление отсчета угла |
||
|
показано на рис. К3б дуговой стрелкой). |
||
|
По гипотенузе AD движется точка В по |
||
|
закону s = АВ = f2(t); положительное |
||
|
направление отсчета s – от A к D. |
|
|
|
Дано: = 0,1t3 - 2,2t; |
|
|
|
s = АВ = 2 + 15t – 3t2; ( – в радианах, s – |
||
|
в сантиметрах, t – в секундах). |
|
|
|
Определить: абсолютную скорость Vабс и |
||
Рис. К3б. |
абсолютное ускорение aабс |
в |
момент |
|
времени t1 = 2 с. |
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным
(подвижные оси B1xyz связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение aабс найдутся по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n |
a |
a n |
a |
a |
|
|
|
V |
V |
|
V |
|
, |
a |
абс |
кор |
, |
(1) |
||||||||||
|
абс |
|
отн |
|
пер |
|
|
отн |
отн |
пер |
пер |
|
|
|
||||||
где учтено, что a |
a |
a n |
, |
a |
|
a |
a n . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
отн |
|
отн |
|
отн |
|
|
пер |
пер |
пер |
|
|
|
|
|
|
Определим все входящие в равенство (1) величины.
1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения
точки по прямолинейной траектории: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
s = AB = 2 + 15t – 3t2, |
|
|
|
|
(2) |
|||||||
поэтому |
|
6t, |
|
|
|
|
6, |
n |
|
2 |
0 , так |
как |
для |
||
Vотн s 15 |
aотн Vотн |
aотн |
Vотн |
||||||||||||
прямой линии . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В момент времени t1 = 2 с имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
s1 = AB1 = 20 см, Vотн = 3 см/с, аотн |
= - 6 см/с2. |
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Знаки показывают, что вектор Vотн |
направлен |
в |
сторону положительного |
||||||||||||
отсчета |
координаты s, а |
вектор |
|
a |
отн |
a |
|
– в |
противоположную |
сторону. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
отн |
|
|
|
|
|
|
||
Изображаем эти векторы на рис. К3б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Переносное движение (мысленно остановим движение точки по |
|||||||||||||||
пластине). Это движение (вращение) происходит по закону = 0,1t3 - 2,2t. |
|
||||||||||||||
Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения |
|||||||||||||||
(см. задачу К2): = |
= 0,3t2 - 2,2; = = 0,6t и при t1 = 2 с, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
= -1 с-1 |
, = 1,2 с-2. |
|
|
|
|
(4) |
||||||
Знаки указывают, что в момент t1= 2 с направление совпадает с |
|||||||||||||||
направлением положительного |
отсчета |
угла |
, |
а |
направление |
|
ему |
||||||||
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние h1 от точки B1 до оси вращения z:
h1 = АВ1 sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (4), получим
V |
|
|
|
|
|
h 10 см/с, |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
12 см/с2 , an |
2 h 10 см/с2 . |
(5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
пер |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
пер |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и а |
(с учетом знаков и ) |
и а n ; |
||||||||||||||||||
Изобразим на рис. К3б векторы V |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пер |
пер |
|
|
|
|
пер |
|||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
направлены векторы V |
|
и |
|
перпендикулярно плоскости ADE, а вектор |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пер |
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аперn |
– по линии В1С к оси вращения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором Vотн |
и осью |
||||||||||||||||||||||||||||
вращения (вектором |
|
) равен 30°, то в момент времени t1 = 2 с |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
кор |
2 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
sin 30 3 см/с2 . |
(6) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление aкор найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор Vотн спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору аперn ) и затем эту проекцию повернем на
90° в сторону , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора aкор . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vпер (см. рис. К3б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4. Определение Vабс . |
Так как |
V |
абс V |
отн Vпер , а векторы |
Vотн |
и Vпер |
||||||||||||||||||
взаимно перпендикулярны, то V |
|
|
|
|
V 2 |
V 2 |
; в момент времени t1 |
= 2 с |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
абс |
|
|
|
|
отн |
|
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vабс = 10,44 см/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a |
абс |
a |
|
a n |
a |
|
|
|
a n a |
кор |
. |
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
отн |
отн |
|
пер |
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Для определения |
aабс |
проведем координатные оси В1xyz1 |
и вычислим |
|||||||||||||||||||||
проекции aабс на эти оси. Учтем при этом, что векторы aпер и aкор |
лежат на оси |
|||||||||||||||||||||||||
х, а векторы aотн |
и aперn |
расположены в |
плоскости В1yz1, т.е. |
в плоскости |
пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси В1хyz1 и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t1 = 2с:
|
|
|
|
|
|
|
|
aабс x |
aпер |
|
акор 9 см/с2 , |
||||
|
|
|
|
|
|
||
aабс y aперn |
|
aотн |
sin 30 13 см/с2 , |
||||
|
|
|
|||||
aабсz1 |
aотн |
cos30 5,20 см/с2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим значение aабс : aабс |
aабс2 |
x aабс2 |
y aабс2 |
z |
16,64 см/с2 . |
|
|
|
|
1 |
|
Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
59 |
Задача К4 (тема: “Многозвенный механизм. Плоское движение тела”)
Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В или E (рис. K4.0- K4.7) или из стержней 1-3 и ползунов B или E (рис. K4.8, K4.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2, шарнирами; точка D находится в середине стержня AB. Длины стержней: l1 =0,4 м, l2 =1,2 м, l3 =1,4м, l4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами , , , , . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К4а (для рис. 0-4) или в табл. К4б (для рис. 5-9); при этом в табл. К4а 1 и 2 – величины постоянные.
Определить величины, указанные в таблицах в столбцах "Найти". Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа
механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т. д.).
Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун c направляющими для большей наглядности изобразить, как в примере К4 (см. рис. К4б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость VB и ускорение aB – от точки В к b (на рис. 5-9).
Указания. Задача К4 – на исследование многозвенного механизма. В отличие от задачи К2, в механизм входят звенья 2 и 3, совершающие сложное движение – плоскопараллельное. При решении задачи для определения скоростей точек этих звеньев и угловых скоростей этих звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к
каждому звену 2 и 3 в отдельности.
При определении ускорения точки звена AB исходить из векторного равенства aB aA aBA aBAn , где A – точка, ускорение a A которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка A движется по дуге окружности, то aA aA aAn ); B – точка, ускорение aB которой нужно
определить (о случае, когда точка B тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К4).
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела». Обратите внимание на основные положения теории:
1.Признак (определение) плоскопараллельного движения тела.
2.Уравнения плоскопараллельного движения.
3.На какие простые движения раскладывается это движение; назовите вид переносного и относительного движений тела.
4.Определение абсолютной скорости точки тела:
a)метод полюса (теорема сложения скоростей);
б) теорема о проекциях скоростей точек на прямую, соединяющую точки; в) метод мгновенного центра скоростей (МЦС) тела; частные случаи нахождения МЦС тела.
60