Арнольд В.И. Математические методы классической механики (1988)
.pdfВ.И.Арнольд
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Книга отличается от имеющихся учебников механики большей, чем это обычно принято, связью с современной математикой. Особенное внимание обращено на взаимно обогащающее взаимодействие идей механики и геометрии многообразии.
В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов формализм). Много внимания уделено качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты).
Для студентов университетов и вузов с расширенной программой по
математике, а также преподавателей и научных работников. |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие к третьему изданию |
6 |
Из предисловия к первому изданию |
9 |
ЧАСТЬ I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА |
|
Глава 1. Экспериментальные факты |
11 |
§ 1. Принципы относительности и детерминированности |
11 |
§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона |
12 |
§ 3. Примеры механических систем |
18 |
Глава 2. Исследование уравнений движения |
21 |
§ 4. Системы с одной степенью свободы |
21 |
§ 5. Системы с двумя степенями свободы |
26 |
§ 6. Потенциальное силовое поле |
30 |
§ 7. Кинетический момент |
32 |
§ 8. Исследование движения в центральном поле |
34 |
§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве |
42 |
§ 10. Движение системы га точек |
44 |
§ 11. Соображения подобия |
50 |
ЧАСТЬ II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА |
|
Глава 3. Вариационный принцип |
52 |
§ 12. Вариационное исчисление |
53 |
§ 13. Уравнения Лагранжа |
56 |
§ 14. Преобразование Лежандра |
59 |
§ 15. Уравнения Гамильтона |
61 |
§ 16. Теорема Лиувилля |
64 |
Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях |
70 |
§ 17. Голономные связи |
70 |
§ 18. Дифференцируемые многообразия |
72 |
§ 19. Лагранжева динамическая система |
77 |
§ 20. Теорема Нётер |
81 |
§ 21. Принцип Даламбера |
84 |
Глава 5. Колебания |
90 |
§ 22. Линеаризация |
90 |
§ 23. Малые колебания |
94 |
§ 24. О поведении собственных частот |
99 |
§ 25. Параметрический резонанс |
102 |
Глава 6. Твердое тело |
111 |
§ 26. Движение в подвижной системе координат |
111 |
§ 27. Силы инерции. Сила Кориолиса |
115 |
§ 28. Твердое тело |
119 |
§ 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо |
127 |
§ 30. Волчок Лагранжа |
131 |
§ 31. Спящий волчок и быстрый волчок |
136 |
ЧАСТЬ III. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА |
|
Глава 7. Дифференциальные формы |
142 |
§ 32. Внешние формы |
143 |
§ 33. Внешнее умножение |
148. |
§ 34. Дифференциальные формы |
152 |
§ 35. Интегрирование дифференциальных форм |
158 |
§ 36. Внешнее дифференцирование |
164 |
Глава 8. Симплектические многообразия |
175 |
§ 37. Симплектическая структура на многообразии |
175 |
§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты |
177 |
§ 39. Алгебра Ли векторных полей |
181 |
§ 40. Алгебра Ли функций Гамильтона |
187 |
§ 41. Симплектичеекая геометрия |
191 |
§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы |
197 |
§ 43. Симплектический атлас |
201 |
Глава 9. Канонический формализм |
205 |
§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана |
205 |
§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре — |
211 |
Картана |
|
§ 46. Принцип Гюйгенса |
218 |
§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений |
226 |
Гамильтона |
|
§ 48. Производящие функции |
234 |
Глава 10. Введение в теорию возмущений |
238 |
§ 49. Интегрируемые системы |
238 |
§ 50. Переменные действие — угол |
245 |
§ 51. Усреднение |
250 |
§ 52. Усреднение возмущений |
256 |
ДОБАВЛЕНИЯ |
|
Добавление 1. Риманова кривизна |
266 |
Добавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах Ли и |
283 |
гидродинамика идеальной жидкости |
|
Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических |
308 |
многообразиях |
|
Добавление 4. Контактные структуры |
314 |
Добавление 5. Динамические системы с симметрией |
337 |
Добавление 6. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов |
347 |
Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи |
351 |
неподвижных точек и замкнутых траекторий |
|
Добавление 8. Теория возмущений условно-периодических движений и |
365 |
теорема Колмогорова |
|
Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобщения и |
384 |
|
приложения |
|
|
Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от |
393 |
|
параметров |
|
|
Добавление 11. Коротковолновые асимптотики |
406 |
|
Добавление 12. Лагранжевы особенности |
|
415 |
Добавление 13. Пуассоновы структуры |
|
422 |
Добавление 14. Об эллиптических координатах |
435 |
|
Добавление 15. Особенности систем лучей |
|
445 |
Добавление 16. Уравнение Кортевега—де Фриза |
465 |
|
Предметный указатель |
|
469 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
|
Алгебра Ли 181, 284, 285 |
— —, собственные числа 348 |
|
— — векторных полей 184 |
Гиперплоскость контактная 320 |
|
— — группы Ли 186 |
Гомологии 174 |
|
— — первых интегралов 190 |
Граница цепи 162 |
|
— — функций Гамильтона 187, |
График отображения 15 |
|
190 |
Группа галилеева 13 |
|
Апоцентр 36 |
— диффеоморфизмов |
|
Атлас 72 |
однопараметрическая 25, 182 |
|
— симплектический 201 |
— Ли 186, 284 |
|
Атласы эквивалентные 72 |
— ортогональная 197 |
|
Базис симплектический 192 |
— параллельных переносов 12 |
|
— эрмитово-ортонормировавный |
— симплектическая 193 |
|
309 |
— стационарная 241 |
|
Биения 97, 98 |
— унитарная 197 |
|
Вариация 53 |
Движение в RN 14 |
|
Вектор касательный к |
— в галилеевой системе координат |
|
многообразию 74, 75 |
15 |
|
— кокасательный к многообразию |
— в лагранжевой системе 77 |
|
176 |
— в подвижной системе координат |
|
— Лапласа 381 |
111 |
|
— Пуассона 345 |
— в центральном поле 32, 58 |
|
— формы нулевой 206 |
— поступательное 112 |
|
— характеристический 335 |
— условно-периодическое 251, 381 |
|
Векторы косоортогональные 192 |
Действие 57 |
|
Вихрь двумерного поля скоростей |
Действие группы Ли пуассововское |
|
300 |
339 |
|
Волчок быстро запущенный 140 |
Дивергенция 165 |
|
— быстрый 137 |
Диффеоморфизм 25 |
|
— Лагранжа 132 |
—, гомологичный тождественному |
|
— симметричный 132 |
387 |
|
— спящий 136 |
— контактный 325 |
|
Вращение 112 |
Дифференциал функционала 53 |
|
— переносное 113 |
Длина пути оптическая 220 |
|
— равномерное 113 |
Дополнение косоортогональное 192 |
|
— стационарное 129, 293 |
Жесткость системы 99 |
|
Время 13 |
Задача двух тел 49 |
|
Гамильтониан квадратичный 347 |
— Кеплера 39 |
|
— трех тел 20 |
— фазовая 22 |
— — — ограниченная 383 |
Кривизна риманова 266, 269 |
Закон Кеплера второй 33, 34, 40 |
— — по двумерному направлению |
— — первый 40 |
272 |
— — третий 40 |
Кривые эквивалентные 75 |
— сохранения импульса 45 |
Лагранжиан 57 |
— — кинетического момента 33, 34, |
Лемма Пуанкаре 172 |
42, 46, 47 |
— Стокса 205 |
— — циркуляции 298 |
— — многомерная 207 |
— — энергии 21, 26, 42, 47—49, 181 |
Линеаризация 91, 92 |
Изотропность пространства 17 |
Линии вихревые 205 |
Импульс 45 |
— ротора 205, 207 |
— обобщенный 57 |
Линия мировая 15 |
Инвариант адиабатический 262, 263, |
Луч 220 |
380, 381 |
Масса 20 |
— интегральный 179 |
Маятник Фуко 118 |
— — относительный 180 |
Медлительность фронта нормальная |
— — — Пуанкаре 209 |
220, 223 |
— — Пуанкаре—Картана 208 |
Метрика келерова 313 |
Инволютивность 60 |
— риманова 76 |
Инволюция Лежандра 332 |
— — левоинвариантная 287 |
Индекс Маслова 411—413 |
— — правоинвариантная 295 |
— Морса 410, 411, 413 |
Мир 13 |
Индикатриса 218 |
Многообразие вложенное 74 |
Интеграл формы по цепи 163 |
— дифференцируемое 72, 73 |
Интегрирование дифференциальных |
— келерово 313 |
форм 158 |
— лагранжево 409, 448 |
Карта 72 |
— —, порожденное триадой 461 |
Карты совместные 72 |
— лежандрово 331 |
Каустика 407, 408, 417, 449 |
— параллелизуемое 121 |
Квадрики конфокальные 436 |
— пуассоново 422 |
Класс когомологий алгебры Ли 339 |
— риманово 76 |
Клетки жордавовы 348 |
— связное 73 |
— — неустранимые 349 |
— симплектическое 175, 427 |
Когомологий 173, 339 |
Многочлен гиперболический 442 |
Колебания малые 88 |
— Чебышева 29 |
— собственные 95 |
Множество эллипсоидов вращения |
— фазовые 364 |
394 |
Количество движения 45 |
Момент 340 |
Коммутатор 181, 184 |
— вектора относительно оси 43 |
— Ли 186 |
— — — точки 33 |
Контактизация симплектического |
— инерции относительно оси 123 |
многообразия 335 |
— кинетический 32, 46, 289 |
Координаты обобщенные 57 |
— количества движения 32 |
— циклические 58, 64 |
Направление сопряженное 221 |
— эллиптические 437 |
Невесомость 116 |
Коразмерность многообразия 395 |
Неравенство Юнга 60 |
Коцикл алгебры Ли двумерный 339 |
Нутация 135, 139 |
Кривая 15 |
Обмотка тора 251 |
Образ контактной формы 326 |
— — неинтегрируемое 316 |
Однородность пространства 17 |
— осесимметричное 43 |
Одночлены внешние 146 |
— правоинвариантное 187 |
Окрестность точки многообразия 73 |
— приведенное 345 |
Оператор дифференциальный 183 |
— силовое потенциальное 31, 42 |
— инерции 122, 289 |
— центральное 32, 42 |
Орбита 27 |
Полином возвратный 198 |
Особенности лагранжевы 415 |
Полиэдр сингулярный ft-мерный 161 |
— лежандровы 333, 421 |
Положение равновесия 22, 87, 90 |
Ось инерции 123 |
Поля изозавихренные 298 |
Отображение дифференцируемое 76 |
Поток геодезический 278 |
— за период 103 |
— — ориентированных контактных |
— каноническое 180, 210 |
элементов 326 |
— лагранжево 420, 449 |
— поля через поверхность 164 |
— лежандрово 452 |
— фазовый 25, 65 |
— периодов 432 |
— — гамильтонов 178 |
— пуассоново 424 |
— — локально гамильтонов 191 |
— Хопфа 28 |
Представление группы |
Перегрузка 116 |
коприсоединенное 286 |
Перекачка энергии 97 |
— — присоединенное 285 |
Переменные действие — угол 246— |
Преобразование галилеево 14 |
248 |
— каноническое 210 |
— действия 245 |
— — бесконечно малое 236 |
— Клебша 424 |
— — свободное 227, 234 |
Перемещение винтовое 115 |
— Лежандра 59, 332, 452 |
— виртуальное 85 |
— симплектическое линейное 193 |
Перенесение вектора параллельное |
— — сильно устойчивое 199 |
267, 270 |
— — устойчивое 199 |
Перицентр 36 |
— унитарное 413 |
Плоскость контактная 322 |
— эллиптическое 354 |
— Лобачевского 268 |
Прецессия 131, 136, 139 |
— симплектического пространства |
Принцип Гюйгенса 219, 326 |
изотропная 194 |
— Даламбера—Лагранжа 84, 87 |
— — — лагранжева 194 |
— детерминированности Ньютона |
— — — нулевая 194 |
12 |
— фазовая 22 |
— наименьшего действия |
Плотность гомеоидная 442—444 |
Гамильтона 52, 56, 57 |
Подалгебра 190 |
— — — Мопертюи 216 |
Подгруппа дискретная 242 |
— относительности Галилея 12, 16 |
Подмногообразие лежандрово 331, |
— усреднения 253 |
450 |
— Ферма 218 |
Поле векторное вариации |
Проекция естественная 75 |
геодезической 275 |
Произведение внешнее 145, 148 |
— — гамильтоново 177, 422 |
— внутреннее 173 |
— — контактное 326 |
— кососкалярное 187, 188, 191, 342 |
— — локально гамильтоново 191 |
— прямое 14 |
— — фазовой скорости 22 |
— скалярное 13 |
— гиперплоскостей 315 |
— — эрмитово 309 |
— — невырожденное 319 |
Производная ковариантная 273, 275 |
— Ли 173 |
Семейство квадрик конфокальное |
|
Производная отображения 76 |
436 |
|
— по направлению 182 |
Сила 20, 44 |
|
— рыбака 173 |
— внешняя 45 |
|
— формы внешняя 166 |
— внутренняя 44 |
|
Промежуток времени 13 |
— инерции 87, 115 |
|
Пространство аффинное 12 |
— — вращения 116 |
|
— галилеево 13 |
— Кориолиса 116 |
|
— — координатное 14 |
— обобщенная 57 |
|
— евклидово 13 |
— реакции связи 84 |
|
— касательное 74, 75 |
— центробежная 116 |
|
— кокасательное 176, 285, 320 |
Силы взаимодействия 44 |
|
— комплексное проективное 309 |
Симплекс 168 |
|
— конфигурационное 15, 52 |
Симплектизация |
контактного |
— — системы со связями 71 |
векторного поля 327 |
|
— — твердого тела 119 |
— — многообразия 322 |
|
— одновременных событий 13 |
Система голономная 70—72, 85 |
|
— симплектическое линейное 191 |
— замкнутая 16, 44 |
|
— сопряженное 143 |
— интегрируемая невырожденная |
|
— фазовое 27, 65 |
255 |
|
— — приведенное 337, 342 |
— — — изоэнергетически 370 |
|
Прямая Максвелла 226 |
— координат галилеева 14 |
|
Путь характерный 277 |
— — инерциальная 12 |
|
Пучок квадрик евклидов 436 |
— — неподвижная 112 |
|
Работа поля 30 |
— — подвижная 112 |
|
— силы 30 |
— — симплектическая 193 |
|
Равновесие 22, 87, 90 |
—— консервативная 47 |
|
— относительное 346 |
— лагранжева 77 |
|
Размерность многообразия 73 |
— — натуральная 78 |
|
Расслоение касательное 75 |
— — неавтономная 80 |
|
— кокасательное 176, 320 |
Система механическая 15, 16 |
|
— лагранжево 448 |
— натуральная 78 |
|
— лежандрово 333, 452 |
— потенциальная 20, 26, 47 |
|
Расстояние между одновременными |
— с двумя степенями свободы 26 |
|
событиями 13 |
— с одной степенью свободы 21 |
|
— — точками аффинного |
Скобка Пуассона 184, 187 |
|
пространства 13 |
Скорость 14 |
|
— — — комплексного |
— вторая космическая 19 |
|
проективного пространства 309 |
— обобщенная 57 |
|
Расстройка частоты 357 |
— первая космическая 41 |
|
Расщепление сепаратрис 360 |
— секториальная 34 |
|
Резонанс параметрический 107, 192 |
— угловая 113 |
|
Ротор 169 |
След цепи при гомотопии 178 |
|
— двумерного поля скоростей 300 |
Сложение скоростей 112—115 |
|
Связь 70, 72 |
Слой расслоения над точкой 75 |
|
— голономная 71, 72, 85, 88 |
Событие 13 |
|
— идеальная 85 |
События одновременные 13 |
|
Сдвиг правый 186 |
Солитон 466 |
|
|
Соотношения между частотами 254 |
Среднее временное 251 |
Top инвариантный 369 |
|
— пространственное 251 |
— — нерезонансный 369 |
|
Структура галилеева 13 |
— — резонансный 369 |
|
— евклидова 12, 287 |
Точка контакта 320, 322 |
|
— комплексная 197 |
— мировая 13 |
|
— комплексного проективного |
— омблическая 397 |
|
пространства симплектическая |
— пространства моментов |
|
311 |
регулярная л* |
|
— — — — эрмитова 309 |
— фазовая 22 |
|
— контактная 314, 315, 319, 450 |
— фокальная к многообразию 411 |
|
— проективного алгебраического |
Траектория 15 |
|
многообразия симплектическая |
Трансверсальность подпространств |
|
312 |
196 |
|
— пуассонова 422 |
Триада симплектическая 461 |
|
— — трансверсальная 425 |
Трубка ротора 205 |
|
— симплектическая 175 |
Углы Эйлера 132, 133 |
|
— — линейная 191 |
Умножение внешнее 145, 148 |
|
— — стандартная 191 |
Уравнение Гамильтона—Якоби |
|
Тело твердое 119 |
224 |
|
Тензор инерции 122, 289 |
— Кортевега—де Фриза 465 |
|
— кривизны 272 |
— Матье 106 |
|
Теорема Айвори 442 |
— Ньютона 16 |
|
— Вильямсона 349 |
— Шредингера 408 |
|
— Галина 350 |
— Эйлера 127, 128 |
|
— Гарднера 467 |
— — для угловой скорости 293 |
|
— Гюйгенса 219 |
— Эйлера — Лагранжа 55 |
|
— Дарбу 201, 328 |
— Хилла 103 |
|
— — для контактных структур 328 |
— Якоби 275 |
|
— Клеро 79 |
Уравнения |
Гамильтона |
— Колмогорова 372 |
канонические 62, 207, 212 |
|
— Лакса 466 |
— Лагранжа 57 |
|
— Лапласа 258 |
— Ньютона 44 |
|
— Лиувилля 65, 178 |
— с частными производными |
|
— — об интегрируемых системах |
первого порядка нелинейные |
|
238, 239 |
335 |
|
— Нётер 81, 188, 190 |
— Эйлера 127 |
|
— Ньютона 42 |
— — для обобщенного твердого |
|
— об усреднении 251 |
тела 290, 291 |
|
— Пуанкаре геометрическая 384 |
Ускорение 15, 16 |
|
— — о возвращении 67 |
—— силы тяжести 19 |
|
— Пуансо 129 |
Условие интегрируемости поля |
|
— Пуассона 189, 190 |
плоскостей 318 |
|
— Рэлея 302 |
— — Фробениуса 318 |
|
— Штейнера 125 |
Устойчивость 91 |
|
— Якоби 228 |
— асимптотическая 104 |
|
Теоремы Варченко 431 |
— по Ляпунову 91, 104 |
|
Теория эргодическая 67, 256, 281 |
— сильная 105 |
|
Течения стационарные 297 |
Факторизация |
конфигурационного |
Тождество Якоби 181, 184, 189 |
пространства 345 |
—фазового потока 291 Фигуры Лиссажу 29 Форма базисная 146, 147
—Биркгофа нормальная для гамильтониана 353
—— — для преобразования 354
—внешняя 143, 144
—дифференциальная 153, 154
—замкнутая 171
—контактная 322
—кривизны 268
—неособая 206 Формула гомотопии 173
—Лейбница 182
—Стокса 167, 249
Фронт волновой 219
——, скорость движения 220
—лежандрова отображения 452 Функции, двойственные по Юнгу 60
—Казимира 424
—находящиеся в инволюции 238 Функция Гамильтона 62, 177, 237,
347
—— контактная 329
——, собственные числа 348
—действия 222
—квазиоднородная 429
—Лагранжа 52, 57
—производящая 227, 234
——, инвариантность 392
—тока 299
Функционал 53
—дифференцируемый 53
Характеристика 207, 225, 336, 447
Хвост ласточкин 226, 334, 419, 433, 460, 461
Центр инерции 45 Цепь 161 Цикл 172
Циркуляция 163 Частота собственная 95
—условно-периодического движения 251
Частоты независимые 251 Число Бетти 173
—степеней свободы 74 Члены резонансные 358 Эволюция 258
Эквивалентность отображений лагранжева 420
—— лежандрова 333
Экстремаль 54
— условная 85 Элемент контактный 314, 320
—— ориентированный 325
—— —, геодезический поток 325 Эллипсоид инерции 124, 394 Энергия кинетическая 21, 47, 78
—немеханическая 49
—полная 21, 26, 63
—потенциальная 18, 20, 21, 31, 78
—— эффективная 35