- •Муниципальное общеобразовательное учреждение
- •Средняя общеобразовательная школа № 106
- •Вписанные и описанные окружности
- •Содержание.
- •Литература
- •2. Правильные многоугольники.
- •2.1. Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника.
- •2.2. Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
- •2.3.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
- •2.4. Решение задач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
- •2.5 Площади правильных многоугольников.
- •3. Построение правильных многоугольников.
- •3.1. Способы построения правильных многоугольников.
- •3.2. На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?
- •3 3 · 2 3 · 2 · 2 … Вообще 3 · 2n
- •4. Из истории.
- •4.1. 0 Вписанных углах. Гиппократ Хиосский.
- •4.2. 0 Правильных многоугольниках
- •5. Софизмы.
- •6. Решение задач.
- •Задача №2 (а.1091).
- •Задача № 4 (Ск. 10.349)**.
- •Задача № 5 (Ск. 10.349).
- •Решение.
- •Рецензия
- •Рецензия
2.3.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
Пусть S – площадь правильного n – угольника, аn – его сторона, Р – периметр, а, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что
S = ½Pr. (1)
В самом деле, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна ½аnr ( см.рис.п.2.2)
Следовательно,
S = n½anr = ½(nan) r = ½Pr.
Выведем далее следующие формулы:
an = 2R sin , (2)
r = R . (3)
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольникеА1Н1О
А1==۰ 1800= 900-.Следовательно,аn = 2А1Н1= 2Rcos( 900-) = 2Rsin, аr=OH1=Rsin( 900-) =Rcos.
Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
а3 = 2R sin = 2R sin 600 = 2R ۰ = R ; (4)
а4 = 2R sin = 2R sin 450 = 2R ۰ = R ; (5)
а6 = 2R sin = 2R sin 300 = 2R ۰ = R; (6)
2.4. Решение задач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
Для иллюстрации применения данных формул (1) – (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.
Задача № 1. Для квадрата со стороной а, вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
N |
R |
r |
a4 |
P |
S |
1 |
3 |
6 |
24 |
36 | |
2 |
2 |
4 |
16 |
16 | |
3 |
4 |
16 |
32 | ||
4 |
3,5 |
7 |
28 |
49 | |
5 |
8 |
4 |
16 |
16 |
Решение.
a4 = 2R sin = 2R sin 450 = 2R ۰ = R;
r = R cos = R cos 450 = R;
P = 4a; S = a2 .
1) a4 = R, R = , R = = .
r = ۰ = 3.
P = 4a = 4۰6 = 24, S = a2 = 36.
R= , R = 2,
a4 = ۰ = 4,
P = 4۰4 = 16, S = 16.
r = 4۰ = ,
a4 = 4۰ = ,
P = 4۰ = , S = 32.
a4 = 28 : 4 = 7,
R = = 3,5۰,
r = 3,5۰ = 3,5,
S = 49.
a4 = 4, P = 16,
R = = ,
r = ۰= 8.
Задача № 2. Для правильного треугольника со стороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
N |
R |
r |
a3 |
P |
S |
1 |
3 |
1,5 |
3 |
9 | |
2 |
10 | ||||
3 |
4 |
2 |
4 |
12 |
12 |
4 |
5 |
15 | |||
5 |
2 |
6 |
Решение.
а3 = 2R sin = 2R sin 600 = 2R۰ = R;
r = R cos = R cos 600 = R۰= ;
P = a + b + c = 3a,( т.к. а = b = c), S = .
1) r = = 1,5, a3 = ,
P = 3۰= , S = .
2) a3 = = = ,
R = = 2۰۰ = 2۰ = ۰,
r = : = ۰ =
P = ۰2 = .
3) r = 2۰2 = 4, a3 = ,
P = 3۰ = , S = = .
4) R = = ,
r = : = ۰ = ,
P = 3۰5 = 15, S = .
5) a3 = 6 : 3 = 2, S = = ,
R = = ,
r = : = ۰ = .
Используя решенные задачи, можно составить таблицу зависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружности для всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.
Количество сторон n |
а |
r |
S |
3 | |||
4 |
2R2 | ||
6 |
R |