Формула эйлера

Уравнение конического сечения ,

перигелийное расстояние (V=0) , .

Для параболической траектории e=1, p=2q

, где . [76]

Для движения по параболе аналог уравнения Кеплера («ЗАДАЧА 2-х ТЕЛ», [64]):

,

.

Выберем два момента времени и зафиксируем соответствующую им истинную аномалию и расстояние до Солнца

Тогда

; [77]

; [77’]

; [78]

. [78’]

Вычтем [78’]-[78]:

Для малых тел, в том числе комет , следовательно

, |*3 и вынесем за скобки

. [79]

Учитывая , преобразуем левую часть

[80]

и известны из [77] и [77'], надо вычислить .

так как для параболы .

Вспомним [75] . Используя тождество , получим

,

,

,

,

введем обозначение ,

. [81]

Итак, учитывая [81], можно записать

[82]

[77], [77’], [82] подставим в [80]:

сократим q:

. [83]

Избавимся от r’ и r. По определению : ,

,

,

,

.

Используя формулу разности кубов (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³, получим

,

,

[84]

Это формула Эйлера. Для движения в промежутке времени от t₁ до t₃ можно записать

,

где – S_d динамическое значение хорды параболы,

.

Формула Эйлера дает связь между суммой радиус-векторов, хордой и временем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ

Задача состоит в том, чтобы подыскать такое значение , чтобы выведя из него посредством уравнения Ольберса [73] и вычисляя из системы [11] и уравнения [75] () оба радиус-вектора и хорду, получить в правой части уравнения Эйлера [84] значение , совпадающее с наблюденным.

На практике можно рекомендовать следующую очередность вычислений:

1) ищем ,,M,m (в 0-м приближении можно взять );

2) выбираем произвольное значение 1.0<<1.5;

3) вычисляем из уравнения Ольберса [73];

4) вычисляем гелиоцентрические координаты x_i, y_i, z_i (i=1,3) по формулам [11];

5) вычисляем r₁, r₃, cos(V₃-V₁);

6) уточняем , M, m, , x_i, y_i, z_i, r₁, r₃, cos(V₃-V₁);

7) и подставляем в формулу Эйлера [84] ;

8) если , то надо выбирать новое и повторить все с п.2) до тех пор, пока .

(можно построить график зависимости по двум точкам от )

9) зная , по формулам [11] получаем x₁, y₁, z₁ и x₃, y₃, z₃.

Далее вычисляются элементы орбиты.

Элементы орбиты

Как было получено, для параболической орбиты

, ;

, .

; .

Проведем некоторые преобразования -

или

,

,

Разность истинных аномалий V₃-V₁ можно вычислить, зная , поскольку это небольшой угол, во всяком случае меньший 180^О. Таким образом определяется перигелийное расстояние q и истинная аномалия V₁. Истинная аномалия V₃ легко находится из тождества V₃=V₁+(V₃-V₁).

При движении по параболической орбите выполняется аналог уравнения Кеплера

отсюда легко найти Т₀.

Угловые элементы орбиты вычисляются аналогично эллиптическому движению.

Для контроля полученных элементов орбиты полезно вычислить положение светила во второй момент t₂ и сравнить с условием.

ВОПРОСЫ.

1. Объяснить, почему кометные траектории движения представляют параболическими орбитами?

2. В чем заключается теорема Эйлера для параболического движения?