Ошибки, содержащиеся в исходной информации

В процессе численного решения некоторой задачи приходится иметь дело с тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащимися в исходной информации, ошибками, возникающими при ограничении бесконечного математического процесса конечным числом операций (ошибки ограничения), и ошибками, возникающими в результате необходимости представлять число в виде конечной последовательности цифр (ошибки округления).

Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений, в том числе грубых просмотров, или из-за невозможности представить необходимую величину конечной дробью.

Всякое физическое измерение, будь то измерение расстояния, напряжения или интервала времени, не может быть выполнено абсолютно точно. Если, например, указано, что величина напряжения составляет 6.4837569146 В, то можно с уверенностью сказать, что по меньшей мере несколько младших значащих цифр недостоверны, потому что невозможно измерить напряжение с такой точностью. Если же экспериментальный результат содержит небольшое количество значащих цифр (например, промежуток времени в 2.3 сек), то можно быть абсолютно уверенным в том, что эта величина дана с некоторой ошибкой, так как лишь случайно величина интервала времени может составить в точности 2.3 сек. В таких случаях подразумеваются некоторые границы, внутри которых эта величина должна находиться, что-либо вроде 2.3±0.1 сек.

Независимо от количества значащих цифр в какой-либо величине, в ней может содержаться порой какая-нибудь грубая ошибка. Грубые ошибки могут возникнуть от опечаток, от ошибочного отсчета показаний прибора, от непонимания применяемых единиц измерения.

Многие числа нельзя представить точно ограниченным числом значащих цифр. Если в вычислениях используется число , то оно может быть представлено в виде 3.14, или 3.14159265, или 3.141592653589793, в зависимости от того, какая точность требуется в данном вычислении. В любом случае, однако, невозможно представитьточно, так как - иррациональное число и не может быть представлено конечным числом знаков. Даже обыкновенные дроби очень часто нельзя представить с помощью конечного числа десятичных знаков, как например, 1/3, которую можно представить только в виде периодической дроби.

Часто случается также, что дроби, которые являются конечными в одной системе счисления, становятся бесконечными в другой. Например, дробь 0.1 будучи переведена в двоичное представление, становится бесконечной дробью.

Ошибки ограничения

Те ошибки, которые содержатся в исходной информации, определяют точность результата вычислений независимо от того, каким методом эти вычисления проводятся. Два других типа ошибок – ошибки ограничения и ошибки округления – определяются теми численными методами, которые были использованы для решения задачи.

Ряд Тейлора для синуса может использоваться для вычисления синуса угла, выраженного в радианах. Так как ряд бесконечен, то невозможно использовать все члены ряда для вычислений; вычисления ограничиваются конечным числом членов, например, до х⁷ или х⁹. Отброшенные члены ряда (а их число бесконечно) вносят некоторую ошибку в результат вычислений. Эта ошибка называется ошибкой ограничения, так как возникает в результате ограничения бесконечного математического процесса.

Очень многие процессы, используемые при вычислениях, являются бесконечными, так что анализ ошибок ограничения очень важен.